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    人教版2023年中考数学模拟试卷

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    这是一份人教版2023年中考数学模拟试卷,共23页。试卷主要包含了单选题,填空题,计算题,作图题,解答题,综合题等内容,欢迎下载使用。

    人教版2023年中考数学模拟试卷(三)
    一、单选题
    1.(2023·宾阳模拟) 2023的绝对值为(  )
    A.2023 B.−2023 C.12023 D.−12023
    【答案】A
    【知识点】绝对值及有理数的绝对值
    【解析】【解答】解:|2023|=2023,故A正确.
    故答案为:A.
    【分析】正数的绝对值为其本身,据此解答.
    2.(2023·广西壮族自治区模拟)我国神舟十五号载人飞船于2022年11月30日,在距地面约390000米的轨道上与中国空间站天和核心舱交会对接成功,将390000用科学记数法表示应为(  )
    A.3.9×104 B.39×104 C.39×106 D.3.9×105
    【答案】D
    【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
    【解析】【解答】解:390000=3.9×105
    故答案为:D.
    【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.
    3.(2023·覃塘模拟)如图,电路图上有3个开关A,B,C和一个小灯泡,同时闭合开关A,C或同时闭合开关B,C都可以使小灯泡发光.下列操作中,使“小灯泡发光”的事件是随机事件的是(  )

    A.不闭合开关 B.只闭合1个开关
    C.只闭合2个开关 D.闭合3个开关
    【答案】C
    【知识点】随机事件
    【解析】【解答】解:A、不闭合开关,小灯泡一定不会发光,属于不可能事件,本选项不符合题意;
    B、只闭合1个开关,小灯泡一定不会发光,属于不可能事件,本选项不符合题意;
    C、只闭合2个开关,小灯泡可能发光也可能不发光,是随机事件,本选项符合题意;
    D、闭合3个开关,小灯泡一定会发光,属于必然事件,本选项不符合题意;
    故答案为:C.
    【分析】不闭合开关,小灯泡一定不会发光;只闭合1个开关,小灯泡一定不会发光;只闭合2个开关,小灯泡可能发光也可能不发光;闭合3个开关,小灯泡一定会发光,然后根据随机事件、不可能事件、必然事件的概念进行判断.
    4.(2019七上·定襄期中)数轴的原型来源于生活实际,数轴体现了(  )的数学思想,是我们学习和研究有理数的重要工具.
    A.整体 B.方程 C.转化 D.数形结合
    【答案】D
    【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;数学思想
    【解析】【解答】解:数轴是数学的重要内容之一,它体现的数学思想是数形结合的思想.
    故答案为:D
    【分析】因为数轴是解决数的运算的一种重要工具,所以它充分体现了数形结合的思想.
    5.(2023·覃塘模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,n),其部分图象如图所示,则以下结论错误的是(  )

    A.abc>0
    B.该二次函数的图象经过点(−2,−c)
    C.3a+c<0
    D.关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根
    【答案】B
    【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数的最值;二次函数图象上点的坐标特征
    【解析】【解答】解:A、
    ∵抛物线开口向下,
    ∴a<0,
    ∵对称轴为直线x=−b2a=−1,
    ∴b=2a<0,
    ∵抛物线与y轴交于正半轴,
    ∴c>0,
    ∴abc>0,故A不符合题意;
    B、
    ∵抛物线经过点(0,c),
    点(0,c)与对称轴x=−1的对称点为点(−2,c),
    ∴二次函数的图象经过点(−2,c),故B符合题意;
    C、
    ∵抛物线的对称轴为直线x=−1,抛物线与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间,
    ∴抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间,
    ∴x=1时,y<0,
    即a+b+c<0,
    ∵b=2a,
    ∴3a+c<0,故C不符合题意;
    D、
    ∵抛物线开口向下,顶点为(−1,n),
    ∴函数有最大值n,
    ∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点,
    ∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根,故D不符合题意.
    故答案为:B.
    【分析】由图象可得:抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,与y轴交于正半轴,据此可得a、b、c的符号,进而判断A;点(0,c)与对称轴x=-1的对称点为点(-2,c),据此判断B;根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间,则当x=1时,y<0,结合b=2a可判断C;根据函数的最大值为y=n可判断D.
    6.(2023·保定模拟)一种燕尾夹如图1所示,图2是在闭合状态时的示意图,图3是在打开状态时的示意图(此时AB∥CD),相关数据如图(单位:cm).从图2闭合状态到图3打开状态,点B,D之间的距离减少了(  )

    A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
    【答案】B
    【知识点】相似三角形的判定与性质
    【解析】【解答】解:连接BD,如图所示:

    由题意得,AEAB=AFAD,∠A=∠A,
    ∴△AEF∽△ABD,
    ∴AEAB=EFBD,
    ∴25=2BD,
    ∴BD=5cm,
    ∴点B,D之间的距离减少了5−2=3(cm),
    故答案为:B.

    【分析】连接BD,可证得△AEF∽△ABD,根据相似三角形的性质可得BD=5cm,则点B,D之间的距离减少了5−2=3(cm)。
    7.(2023·南山模拟)一副三角形板如图放置,DE∥BC,∠C=∠DBE=90°,∠E=45°,∠A=30°,则∠ABD的度数为(  )

    A.5∘ B.15∘ C.20∘ D.25∘
    【答案】B
    【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理
    【解析】【解答】解:∵∠C=∠DBE=90°,∠E=45°,∠A=30°,
    ∴∠EDB=45°,∠ABC=60°,
    ∵DE∥BC,
    ∴∠EDB=∠DBC=45°,
    ∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=60°−45°=15°,
    故答案为:B.

    【分析】根据平行线的性质可得∠EDB=∠DBC=45°,利用∠ABD=∠ABC−∠DBC即可求解.
    8.(2023·昌江模拟)分式方程23−x=1的解是(  )
    A.x=1 B.x=3 C.x=5 D.无解
    【答案】A
    【知识点】解分式方程
    【解析】【解答】解:方程的两边同乘3-x,得
    2=3-x,
    解得x=1.
    检验:把x=1代入3-x =2≠0.
    所以原分式方程的解为x=1.
    故答案为:A.
    【分析】方程的两边同乘3-x,得2=3-x,求出x的值,然后进行检验.
    9.(2016·义乌)我国古代《易经》一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”.如图,一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结,满七进一,用来记录孩子自出生后的天数,由图可知,孩子自出生后的天数是(  )

    A.84 B.336 C.510 D.1326
    【答案】C
    【知识点】数学常识
    【解析】【解答】解:1×73+3×72+2×7+6=510,
    故选C.
    【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”,可以表示满七进一的数为:千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数.本题是以古代“结绳计数”为背景,按满七进一计算自孩子出生后的天数,运用了类比的方法,根据图中的数学列式计算;本题题型新颖,一方面让学生了解了古代的数学知识,另一方面也考查了学生的思维能力.
    10.如图,在边长为4的正六边形ABCDE中,先以点B为圆心,AB的长为半径作AC,再以点A为圆心,AB的长为半径作BP交AC于点P,则图中阴影部分的面积为(  )

    A.43+8π3 B.43 C.43−8π3 D.23
    【答案】B
    【知识点】等边三角形的判定与性质;扇形面积的计算;解直角三角形;正多边形的性质
    【解析】【解答】解:如图,连接AP、PB,过点P作PG⊥AB,在BP上任取一点M,

    由题意可知:PA=PB=AB=4,
    ∴△PAB是等边三角形,∠PBA=60°,
    ∵PG⊥AB,
    ∴在Rt△PGB中,sin60°=PGPB,
    ∴PG=PBsin60°=4×32=23,
    ∴S△PAB=12×4×23=43,
    ∵∠PBA=∠PAB=60°,
    ∴S扇形PAB=S扇形ABP=60°360°×π×42=8π3,
    ∴S弓形BMP=S扇形PAB−S△PAB=8π3−43,
    ∵六边形ABCDEF是正六边形,
    ∴∠ABC=120°,
    ∴S扇形ABC=120°360°×π×42=16π3,
    ∵S阴影=S扇形ABC−S扇形ABP−S弓形BMP,
    ∴S阴影=16π3−8π3−(8π3−43)=43,
    ∴阴影部分的面积为43,
    故答案为:B.

    【分析】连接AP、PB,过点P作PG⊥AB,在BP上任取一点M,根据S阴影=S扇形ABC−S扇形ABP−S弓形BMP即可求解.
    二、填空题
    11.(2023·福田模拟)因式分解:x3–x=   .
    【答案】x(x+1)(x﹣1)
    【知识点】提公因式法因式分解;因式分解﹣运用公式法
    【解析】【解答】因式分解:x3﹣x=x(x+1)(x﹣1)故答案为:x(x+1)(x﹣1)
    【分析】提取公因式,进行彻底分解即可。
    12.(2023八下·永定期中)已知等腰△ABC的底边BC=5,D是腰AB上一点,且CD=4,BD=3,则AD的长为   .

    【答案】76
    【知识点】等腰三角形的性质;勾股定理;勾股定理的逆定理
    【解析】【解答】解:∵BC=5,CD=4,BD=3
    ∴CD2+BD2=BC2,
    ∴△BDC为直角三角形,∠BDC=90°,∠ADC=90°
    设AD=x,
    ∵△ABC是等腰三角形,
    ∴AC=AB=BD+AD=3+x,
    ∴AC2=AD2+DC2,(3+x)2=x2+42
    解得x=76,AD=76,
    故答案为:76.
    【分析】由勾股定理逆定理知△BDC为直角三角形,且∠BDC=90°,设AD=x,由等腰三角形的性质可得AC=AB=3+x,然后在Rt△ACD中,根据勾股定理进行计算.
    13.(2022·交城模拟)不等式组x+22≥−1①3−2x>0②的解集是   .
    【答案】−4≤x<32
    【知识点】解一元一次不等式组
    【解析】【解答】解:由①化简,
    x+2≥−2,
    x≥−4;
    由②化简,
    −2x>−3,
    x<32;
    综上,公共部分为:−4≤x<32;
    故答案为:−4≤x<32.

    【分析】先分别解出两个不等式的解集,然后根据“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集即可.
    14.(2023九下·雨花开学考)如图,已知,在矩形AOBC中,OB=4,OA=3,分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,F是边BC上的一个动点(不与B、C重合),过F点的反比例函数y=kx(k>0)的图象与AC边交于点E,将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB上的点D处,则k的值为   .

    【答案】218
    【知识点】勾股定理;矩形的性质;翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定与性质;反比例函数图象上点的坐标特征
    【解析】【解答】解:如图,过点E作EM⊥x轴于点M,

    ∵将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB上的D点处,
    ∴∠EDF=∠C=90°,EC=ED,CF=DF,
    ∴∠MDE+∠FDB=90°,
    而EM⊥OB,
    ∴∠MDE+∠MED=90°,
    ∴∠MED=∠FDB,
    ∴Rt△MED∽Rt△BDF;
    易得E(k3,3),F(4,k4)
    ∴AE=k3,BF=k4,
    又∵EC=AC−AE=4−k3,CF=BC−BF=3−k4,
    ∴ED=4−k3,DF=3−k4,
    ∴EDDF=4−k33−k4=43,
    ∵Rt△MED∽Rt△BDF,
    ∴EM:DB=ED:DF=4:3,而EM=3,
    ∴DB=94,
    在Rt△DBF中,DF2=DB2+BF2,即(3−k4)2=(94)2+(k4)2,
    解得k=218,
    故答案为:218.
    【分析】过点E作EM⊥x轴于点M,由折叠得∠EDF=∠C=90°,EC=ED,CF=DF,根据同角的余角相等得∠MED=∠FDB,从而证明Rt△MED∽Rt△BDF,易得E(k3,3),F(4,k4),从而可用含k的式子表示出EC、CF,可得DE、DF,则EDDF=4−k33−k4=43,根据相似三角形对应边成比例可得EM:DB=ED:DF=4:3,求出DB,在Rt△DBF中,利用勾股定理即可求解.
    15.(2022·云冈模拟)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,CD平分∠ACB,点E是AC边上的中点,连接BE,与CD交于点M,则EM的长为   .

    【答案】2522
    【知识点】相似三角形的判定与性质;三角形的综合
    【解析】【解答】解:过点D作DO1⊥AC,交AC于点O1 ,过点E作EO2⊥CD,交CD于点O2,连接BO1,BO1与CD相交于点F

    ∵BD⊥CBDO1⊥ACCD为角平分线
    ∴DO1=BD
    在直角△CBD和直角△CO1D中
    BD=DO1CD=CD
    ∴△CBD≌△CO1D
    ∴CO1=CB,∠BDF=∠O1DF
    在△BDF△O1DF中
    ∵BD=DO1DF=DF∠O1DF=∠BDF
    ∴△BDF≌△O1DF
    ∴∠BFD=∠O1FD=90°
    ∵EO2⊥CD,O1B⊥CD
    ∴△CO2E∽△CFO1,△MO2E∽△MFB
    ∴O2EFO1=CECO1,O2EBF=EMBM
    ∵BF=FO1
    ∴CECO1=EMBM
    ∵△ABC为直角三角形
    ∴AC2=AB2+BC2
    ∴AC2=16+9
    ∴AC=5
    ∵点E是AC边上的中点,∠ABC=90°
    ∴BE=12AC=52
    设EM=x
    ∴BM=BE−EM=52−x
    ∵CECO1=EMBM
    ∴523=x52−x
    ∴x=2522
    经检验,x=2522是原方程的根
    ∴EM=2522
    故答案为:2522.
    【分析】过点D作DO1⊥AC,交AC于点O1 ,过点E作EO2⊥CD,交CD于点O2,连接BO1,BO1与CD相交于点F,设EM=x,则BM=BE−EM=52−x,再结合CECO1=EMBM,可得CECO1=EMBM,最后求出x=2522,即可得到EM=2522。
    三、计算题
    16.计算:( 2 +π)0﹣2|1﹣sin30°|+( 12 )﹣1.
    【答案】解:原式=1﹣1+2=2
    【知识点】实数的运算;负整数指数幂的运算性质;特殊角的三角函数值
    【解析】【分析】先算乘方运算,代入特殊角的三角函数值,同时化简绝对值,再算加减法。
    17.先化简,再求值: x2−2x+1x2−1 ÷(1﹣ 3x+1 )其中x= 2 .
    【答案】解:原式= (x−1)2(x+1)(x−1) × x+1x−2 = x−1x−2 ,
    当x= 2 时,原式= 2−12−2 =﹣ 22 。
    【知识点】利用分式运算化简求值
    【解析】【分析】先将括号里的分式减法通分计算,同时将分子分母能分解因式的先分解因式,再将分数除法转化为乘法运算,约分化简,然后代入求值。
    四、作图题
    18.已知平行四边形ABCD.

    (1)尺规作图:作∠BAD的平分线交直线BC于点E,交DC延长线于点F(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
    (2)在(1)的条件下,求证:CE=CF.
    【答案】(1)解:如图所示,AF即为所求;

    (2)解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC,AD∥BC,
    ∴∠1=∠2,∠3=∠4.
    ∵AF平分∠BAD,
    ∴∠1=∠3,
    ∴∠2=∠4,
    ∴CE=CF
    【知识点】等腰三角形的判定与性质;平行四边形的性质;作图-角的平分线
    【解析】【分析】(1)利用尺规作图作出∠BAD的平分线即可。
    (2)根据平行四边形的性质,可知AB∥DC,AD∥BC,再利用平行线的性质及角平分线的定义去证明∠2=∠4,然后根据等角对等边可证得结论。
    五、解答题
    19.某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料,准备由甲、乙两车间全部用于生产A产品.甲车间用每箱原材料可生产出A产品12千克,需耗水4吨;乙车间通过节能改造,用每箱原材料可生产出的A产品比甲车间少2千克,但耗水量是甲车间的一半.已知A产品售价为30元/千克,水价为5元/吨.如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200吨,那么该厂如何分配两车间的生产任务,才能使这次生产所能获取的利润w最大?最大利润是多少?(注:利润=产品总售价﹣购买原材料成本﹣水费)
    【答案】解:设甲车间用x箱原材料生产A产品,则乙车间用(60﹣x)箱原材料生产A产品.
    由题意得4x+2(60﹣x)≤200,解得x≤40.
    w=30[12x+10(60﹣x)]﹣80×60﹣5[4x+2(60﹣x)]=50x+12 600,
    ∵50>0,
    ∴w随x的增大而增大.
    ∴当x=40时,w取得最大值,为14 600元.
    答:甲车间用40箱原材料生产A产品,乙车间用20箱原材料生产A产品,可使工厂所获利润最大,最大利润为14 600元.
    【知识点】一元一次不等式的应用;一次函数的实际应用
    【解析】【分析】设甲车间用x箱原材料生产A产品,则乙车间用(60﹣x)箱原材料生产A产品,根据题意列出不等式,确定x的取值范围,列出w=30[12x+10(60﹣x)]﹣80×60﹣5[4x+2(60﹣x)]=50x+12 600,利用一次函数的性质,即可解答.
    20.(2022·山西模拟)2021年复建后的“首义门”,坐落于太原五一广场,它气势恢宏,庄严肃穆.城台BH高11.7米,上部的城楼为四重檐歇山顶楼阁式建筑,阁楼主体为全木质卯榫结构.某校“综合与实践”小组要测量木质楼阁AB的高度,由于底部不能到达,他们在点C处测得楼阁顶部A的仰角为37°(∠α=37°),沿CH方向前行41.5米到达点D处,测得城台顶部B的仰角为45°(∠β=45°).其点A,B,H,D,C在同一竖直平面内.求木质楼阁AB的高度(结果保留1位小数.参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,2≈1.41).

    【答案】解:根据题意可得:BH=11.7,AH⊥CH.
    ∴∠BHD=90°,
    又∵∠β=45°,
    ∴∠HBD=∠β=45°,
    ∴DH=BH.
    ∴DH=11.7,
    ∴CH=CD+DH=41.5+11.7=53.2.
    在△ACH中,∠C=37°,CH=53.2,
    ∴AH=CH⋅tan37°,
    ∴AH≈53.2×0.75=39.9.
    ∴AB=AH−BH=39.9−11.7=28.2(米)
    答:木质楼阁AB的高度为28.2米.
    【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
    【解析】【分析】先求出CH=CD+DH=41.5+11.7=53.2,利用解直角三角形的方法求出AH≈53.2×0.75=39.9,再利用线段的和差求出AB=AH−BH=39.9−11.7=28.2即可。
    六、综合题
    21.我市中小学全面开展“阳光体育”活动,某校在大课间中开设了A:体操,B:跑操,C:舞蹈,D:健美操四项活动,为了解学生最喜欢哪一项活动,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图,请根据统计图回答下列问题:

    (1)这次被调查的学生共有    人.
    (2)请将统计图2补充完整.
    (3)统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是    度.
    (4)已知该校共有学生3600人,请根据调查结果估计该校喜欢健美操的学生人数.
    【答案】(1)500
    (2)解:A的人数:500﹣75﹣140﹣245=40(人); 补全条形图如图:

    (3)54
    (4)解:245÷500×100%=49%, 3600×49%=1764(人)
    【知识点】用样本估计总体;扇形统计图;条形统计图
    【解析】【解答】解:(1)140÷28%=500(人), 故答案为:500
    ( 3 )75÷500×100%=15%,
    360°×15%=54°,
    故答案为:54;
    【分析】(1)根据统计图提供的信息可知最喜欢“舞蹈”的有140人,其所占的百分比是28%,用最喜欢“舞蹈”的人数除以其所占的百分比即可算出本次被调查的学生 人数;
    (2) 用本次被调查的学生 人数分别减去喜欢“跑操”、“舞蹈”、“健美操”的学生人数即可算出喜欢“体操”的学生人数;根据计算的人数即可补全条形统计图;
    (3)用360°乘以喜欢“跑操”的人数所占的百分比即可算出 统计图1中B项目对应的扇形的圆心角 ;
    (4)用样本估计总体,用该校的学生总人数乘以样本中喜欢“健美操”的学生人数所占的百分比即可估算出 该校喜欢健美操的学生人数.
    22.(2020九上·洪洞期中)阅读材料:为解方程 (x2−1)2−3(x2−1)=0 ,我们可以将 x2−1 视为一个整体,然后设 x2−1=y, 将原方程化为 y2−3y=0①,解得 y1=0,y2=3 .
    当 y=0 时 x2−1=0, ∴x2=1, ∴x=±1
    当 y=3 时, x2−1=3 , ∴x2=4,∴x=±2
    ∴ 原方程的解为 x1=1,x2=−1,x3=2,x4=2
    阅读后解答问题:
    (1)在由原方程得到方程①的过程中,利用   法达到了降次的目的,体现了   的数学思想;
    (2)利用上述材料中的方法解方程: (x2+x)2−(x2+x)−2=0
    【答案】(1)换元;整体与划归
    (2)令 x2+x=t ,则 t2−t−2=0 ,解得 t1=2 , t2=−1 ,
    当 t=2 时, x2+x=2 ,解得 x1=−2 , x2=1 ,
    当 t=−1 时, x2+x=−1 , Δ<0 ,方程无解,
    综上:方程的解是 x1=−2 , x2=1 .
    【知识点】因式分解法解一元二次方程;换元法解一元二次方程
    【解析】【解答】解:(1)将 x2−1 设为y,利用的是换元法,体现了整体与划归的数学思想,
    故答案是:换元,整体与划归;
    【分析】(1)题目中的方法用的是换元法,体现了整体与划归的数学思想;
    (2)令 x2+x=t ,得 t2−t−2=0 ,用因式分解法解方程求出t的值,再求出x的值.
    23.(2022·运城模拟)综合与实践
    如图1,在矩形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,将△OBC绕点C顺时针旋转,点B对应点为点E,点O对应点为点F.

    (1)当点E落在CD的延长线上时,请解答以下两个问题
    ①如图1,若AB=2a,BC=2,连接OE,则OE2= ▲ (用含a的代数式表示);
    ②如图2,延长BD交EF于点G,试猜想BG与EF的位置关系并加以证明;
    (2)如图3,在图1的基础上继续绕点C旋转△OBC,点B对应点为点E,点O对应点为点F,当点E落在BD的延长线上时,已知∠ACE=90°,求证:四边形CDEF是菱形.
    【答案】(1)解:①a2−4a+5;
    ②由旋转可知∠CBO=∠CEF,即∠CBD=∠DEG,
    ∵∠BDC=∠EDG,∠CBD+∠BDC=90°,
    ∴∠DEG+∠EDG=90°,
    ∴∠DGE=90°,
    ∴DG⊥EF,即BG⊥EF;
    (2)证明:∵四边形ABCD为矩形,
    ∴OB=OC,∠OCB=∠OBC.
    由旋转可知OC=CF,OB=EF,BC=CE,∠OCB=∠OBC=∠FEC=∠FCE,
    ∴OB=OC=EF=CF,∠CBE=∠CEB.
    ∵∠ACE=90°,
    ∴∠OCB+∠OCD=90°.
    ∵∠DCE+∠OCD=90°,
    ∴∠DCE=∠OCB=∠OBC=∠FEC=∠FCE.
    ∵∠CBE=∠CEB,即∠OBC=∠DEC,
    ∴∠DEC=∠DCE=∠FEC=∠FCE,
    ∴DE∥CF,CD∥EF,
    ∴四边形CDEF是平行四边形.
    ∵EF=CF,
    ∴平行四边形CDEF是菱形.
    【知识点】菱形的判定;矩形的性质;旋转的性质
    【解析】【解答】(1)解:如图,过点O作OH⊥CE于H.

    由所作辅助线和四边形ABCD为矩形可知OH∥AD.
    ∵点O是矩形ABCD对角线交点,
    ∴O为AC中点,
    ∴H为CD中点,OH=12AD=1,
    ∴CH=DH=12CD=a.
    由旋转可知CE=BC=2,
    ∴EH=CE−CH=2−a.
    ∴在Rt△OEH中,
    OE2=OH2+EH2=1+(2−a)2=a2−4a+5.
    故答案为:a2−4a+5;

    【分析】(1)①先求出EH=CE−CH=2−a,再利用勾股定理可得OE2=OH2+EH2=1+(2−a)2=a2−4a+5;
    ②根据旋转的性质可得∠CBO=∠CEF,再结合∠BDC=∠EDG,∠CBD+∠BDC=90°,可得∠DGE=90°,从而得到 DG⊥EF,即BG⊥EF;
    (2)先证明四边形CDEF是平行四边形,再结合EF=CF可得平行四边形CDEF是菱形。
    24.(2023·泽州模拟)综合与探究
    如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与直线l交于B,C两点,其中点A的坐标为(−2,0),点C的坐标为(−1,−4).

    (1)求二次函数的表达式和点B的坐标.
    (2)若P为直线l上一点,Q为抛物线上一点,当四边形OBPQ为平行四边形时,求点P的坐标.
    (3)如图2,若抛物线与y轴交于点D,连接AD,BD,抛物线上是否存在点M,使∠MAB=∠ADB?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1)解:∵点A的坐标为(−2,0),点C的坐标为(−1,−4),
    ∴4−2b+c=01−b+c=−4,解得:b=−1c=−6,
    ∴二次函数的表达式为y=x2−x−6;
    令y=0,则x2−x−6=0,
    解得:x1=3,x2=−2,
    ∴点B的坐标为(3,0);
    (2)解:如图,

    ∵点B的坐标为(3,0),
    ∴OB=3,
    设直线l的解析式为y=k1x+b1,
    把点(3,0),(−1,−4)代入得:
    0=3k1+b1−4=−k1+b1,解得:k1=1b1=−3,
    ∴直线l的解析式为y=x−3,
    ∵四边形OBPQ为平行四边形,
    ∴PQ∥OB,PQ=OB=3,
    ∴PQ∥x轴,
    设点P的坐标为(m,m2−m−6),则点Q的坐标为(m,m−3),
    ∴PQ=(m−3)−(m2−m−6)=−m2+2m+3,
    ∴−m2+2m+3=3,
    解得:m=2或0(舍去),
    ∴点P的坐标为(2,−1);
    (3)解:对于y=x2−x−6,
    令x=0,y=−6,
    ∴点D的坐标为(0,−6),
    ∴OD=6,
    ∵点A(−2,0),B(3,0),
    ∴AB=5,BD=32+62=35,AD=22+62=210,
    如图,过点A作AE⊥BD于点E,

    ∵S△ABD=12OD×AB=12AE×BD,
    ∴AE=25,
    ∴DE=AD2−AE2=25,
    ∴AE=DE,
    ∴△ADE是等腰直角三角形,
    ∴∠ADB=45°,
    ∵∠MAB=∠ADB,
    ∴∠MAB=45°,
    过点M作MF⊥x轴于点F,
    ∴△AFM是等腰直角三角形,
    ∴AF=FM,
    设点M的坐标为(t,t2−t−6),
    ∴FM=|t2−t−6|,AF=t+2,
    ∴|t2−t−6|=t+2,
    解得:t=−2(舍去)或2或4,
    ∴点M的坐标为(2,−4)或(4,6).
    【知识点】待定系数法求二次函数解析式;平行四边形的性质;等腰直角三角形;二次函数图象上点的坐标特征
    【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式,再求出y=0时x的值,即得点B坐标;
    (2)先求直线l的解析式为y=x−3, 由平行四边形的性质可得PQ∥OB,PQ=OB=3,
    设点P的坐标为(m,m2−m−6),则点Q的坐标为(m,m−3),可得PQ=−m2+2m+3,由PQ=3建立方程,解之即可;
    (3)求D(0,-6)即得OD=6,由A、B的坐标,可求出AB=5,BD=35,AD=210, 过点A作AE⊥BD于点E, 易证△ADE是等腰直角三角形,可得∠ADB=45°,即得∠MAB=45°,
    过点M作MF⊥x轴于点F,可得△AFM是等腰直角三角形,即得AF=FM,设点M的坐标为(t,t2−t−6),则FM=|t2−t−6|,AF=t+2,由AF=FM建立方程并解之即可.
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