人教版2023年中考数学模拟试卷

这是一份人教版2023年中考数学模拟试卷，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，作图题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。

人教版2023年中考数学模拟试卷（三）
一、单选题
1．（2023·宾阳模拟） 2023的绝对值为（　　）
A．2023 B．−2023 C．12023 D．−12023
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|2023|=2023，故A正确.
故答案为：A.
【分析】正数的绝对值为其本身，据此解答.
2．（2023·广西壮族自治区模拟）我国神舟十五号载人飞船于2022年11月30日，在距地面约390000米的轨道上与中国空间站天和核心舱交会对接成功，将390000用科学记数法表示应为（　　）
A．3.9×104 B．39×104 C．39×106 D．3.9×105
【答案】D
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：390000=3.9×105
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
3．（2023·覃塘模拟）如图，电路图上有3个开关A，B，C和一个小灯泡，同时闭合开关A，C或同时闭合开关B，C都可以使小灯泡发光.下列操作中，使“小灯泡发光”的事件是随机事件的是（　　）

A．不闭合开关 B．只闭合1个开关
C．只闭合2个开关 D．闭合3个开关
【答案】C
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：A、不闭合开关，小灯泡一定不会发光，属于不可能事件，本选项不符合题意；
B、只闭合1个开关，小灯泡一定不会发光，属于不可能事件，本选项不符合题意；
C、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，本选项符合题意；
D、闭合3个开关，小灯泡一定会发光，属于必然事件，本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】不闭合开关，小灯泡一定不会发光；只闭合1个开关，小灯泡一定不会发光；只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光；闭合3个开关，小灯泡一定会发光，然后根据随机事件、不可能事件、必然事件的概念进行判断.
4．（2019七上·定襄期中）数轴的原型来源于生活实际，数轴体现了（　　）的数学思想，是我们学习和研究有理数的重要工具．
A．整体 B．方程 C．转化 D．数形结合
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；数学思想
【解析】【解答】解：数轴是数学的重要内容之一，它体现的数学思想是数形结合的思想．
故答案为：D
【分析】因为数轴是解决数的运算的一种重要工具，所以它充分体现了数形结合的思想．
5．（2023·覃塘模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1，n)，其部分图象如图所示，则以下结论错误的是（　　）

A．abc>0
B．该二次函数的图象经过点(−2，−c)
C．3a+c<0
D．关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b=2a<0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc>0，故A不符合题意；
B、
∵抛物线经过点(0，c)，
点(0，c)与对称轴x=−1的对称点为点(−2，c)，
∴二次函数的图象经过点(−2，c)，故B符合题意；
C、
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点在(−3，0)和(−2，0)之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在(0，0)和(1，0)之间，
∴x=1时，y<0，
即a+b+c<0，
∵b=2a，
∴3a+c<0，故C不符合题意；
D、
∵抛物线开口向下，顶点为(−1，n)，
∴函数有最大值n，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由图象可得：抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，与y轴交于正半轴，据此可得a、b、c的符号，进而判断A；点（0，c）与对称轴x=-1的对称点为点（-2，c），据此判断B；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，则当x=1时，y<0，结合b=2a可判断C；根据函数的最大值为y=n可判断D.
6．（2023·保定模拟）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时AB∥CD），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：

由题意得，AEAB=AFAD，∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABD，
∴AEAB=EFBD，
∴25=2BD，
∴BD=5cm，
∴点B，D之间的距离减少了5−2=3(cm)，
故答案为：B．

【分析】连接BD，可证得△AEF∽△ABD，根据相似三角形的性质可得BD=5cm，则点B，D之间的距离减少了5−2=3(cm)。
7．（2023·南山模拟）一副三角形板如图放置，DE∥BC，∠C=∠DBE=90°，∠E=45°，∠A=30°，则∠ABD的度数为（　　）

A．5∘ B．15∘ C．20∘ D．25∘
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠C=∠DBE=90°，∠E=45°，∠A=30°，
∴∠EDB=45°，∠ABC=60°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC=45°，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=60°−45°=15°，
故答案为：B．

【分析】根据平行线的性质可得∠EDB=∠DBC=45°，利用∠ABD=∠ABC−∠DBC即可求解.
8．（2023·昌江模拟）分式方程23−x=1的解是（　　）
A．x=1 B．x=3 C．x=5 D．无解
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程的两边同乘3-x，得
2=3-x，
解得x=1.
检验：把x=1代入3-x =2≠0.
所以原分式方程的解为x=1.
故答案为：A.
【分析】方程的两边同乘3-x，得2=3-x，求出x的值，然后进行检验.
9．（2016·义乌）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）

A．84 B．336 C．510 D．1326
【答案】C
【知识点】数学常识
【解析】【解答】解：1×73+3×72+2×7+6=510，
故选C．
【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数．本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
10．如图，在边长为4的正六边形ABCDE中，先以点B为圆心，AB的长为半径作AC，再以点A为圆心，AB的长为半径作BP交AC于点P，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．43+8π3 B．43 C．43−8π3 D．23
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AP、PB，过点P作PG⊥AB，在BP上任取一点M，

由题意可知：PA=PB=AB=4，
∴△PAB是等边三角形，∠PBA=60°，
∵PG⊥AB，
∴在Rt△PGB中，sin60°=PGPB，
∴PG=PBsin60°=4×32=23，
∴S△PAB=12×4×23=43，
∵∠PBA=∠PAB=60°，
∴S扇形PAB=S扇形ABP=60°360°×π×42=8π3，
∴S弓形BMP=S扇形PAB−S△PAB=8π3−43，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=120°，
∴S扇形ABC=120°360°×π×42=16π3，
∵S阴影=S扇形ABC−S扇形ABP−S弓形BMP，
∴S阴影=16π3−8π3−(8π3−43)=43，
∴阴影部分的面积为43，
故答案为：B．

【分析】连接AP、PB，过点P作PG⊥AB，在BP上任取一点M，根据S阴影=S扇形ABC−S扇形ABP−S弓形BMP即可求解.
二、填空题
11．（2023·福田模拟）因式分解：x3–x＝　 　．
【答案】x（x+1）（x﹣1）
【知识点】提公因式法因式分解；因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】因式分解：x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）故答案为：x（x+1）（x﹣1）
【分析】提取公因式，进行彻底分解即可。
12．（2023八下·永定期中）已知等腰△ABC的底边BC=5，D是腰AB上一点，且CD=4，BD=3，则AD的长为　 　.

【答案】76
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵BC=5，CD=4，BD=3
∴CD2+BD2=BC2，
∴△BDC为直角三角形，∠BDC=90°，∠ADC=90°
设AD=x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AC=AB=BD+AD=3+x，
∴AC2=AD2+DC2，(3+x)2=x2+42
解得x=76，AD=76，
故答案为：76.
【分析】由勾股定理逆定理知△BDC为直角三角形，且∠BDC=90°，设AD=x，由等腰三角形的性质可得AC=AB=3+x，然后在Rt△ACD中，根据勾股定理进行计算.
13．（2022·交城模拟）不等式组x+22≥−1①3−2x>0②的解集是　 　．
【答案】−4≤x<32
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由①化简，
x+2≥−2，
x≥−4；
由②化简，
−2x>−3，
x<32；
综上，公共部分为：−4≤x<32；
故答案为：−4≤x<32．

【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集即可.
14．（2023九下·雨花开学考）如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝kx（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为　 　．

【答案】218
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点E作EM⊥x轴于点M，

∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，
∴∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，
∴∠MDE＋∠FDB＝90°，
而EM⊥OB，
∴∠MDE＋∠MED＝90°，
∴∠MED＝∠FDB，
∴Rt△MED∽Rt△BDF；
易得E（k3，3），F（4，k4）
∴AE=k3，BF=k4，
又∵EC＝AC−AE＝4−k3，CF＝BC−BF＝3−k4，
∴ED＝4−k3，DF＝3−k4，
∴EDDF=4−k33−k4=43，
∵Rt△MED∽Rt△BDF，
∴EM：DB＝ED：DF＝4：3，而EM＝3，
∴DB＝94，
在Rt△DBF中，DF2＝DB2＋BF2，即（3−k4）2＝（94）2＋（k4）2，
解得k＝218，
故答案为：218.
【分析】过点E作EM⊥x轴于点M，由折叠得∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，根据同角的余角相等得∠MED＝∠FDB，从而证明Rt△MED∽Rt△BDF，易得E（k3，3），F（4，k4），从而可用含k的式子表示出EC、CF，可得DE、DF，则EDDF=4−k33−k4=43，根据相似三角形对应边成比例可得EM：DB＝ED：DF＝4：3，求出DB，在Rt△DBF中，利用勾股定理即可求解．
15．（2022·云冈模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，CD平分∠ACB，点E是AC边上的中点，连接BE，与CD交于点M，则EM的长为　 　．

【答案】2522
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：过点D作DO1⊥AC，交AC于点O1 ，过点E作EO2⊥CD，交CD于点O2，连接BO1，BO1与CD相交于点F

∵BD⊥CBDO1⊥ACCD为角平分线
∴DO1=BD
在直角△CBD和直角△CO1D中
BD=DO1CD=CD
∴△CBD≌△CO1D
∴CO1=CB，∠BDF=∠O1DF
在△BDF△O1DF中
∵BD=DO1DF=DF∠O1DF=∠BDF
∴△BDF≌△O1DF
∴∠BFD=∠O1FD=90°
∵EO2⊥CD，O1B⊥CD
∴△CO2E∽△CFO1，△MO2E∽△MFB
∴O2EFO1=CECO1，O2EBF=EMBM
∵BF=FO1
∴CECO1=EMBM
∵△ABC为直角三角形
∴AC2=AB2+BC2
∴AC2=16+9
∴AC=5
∵点E是AC边上的中点，∠ABC=90°
∴BE=12AC=52
设EM=x
∴BM=BE−EM=52−x
∵CECO1=EMBM
∴523=x52−x
∴x=2522
经检验，x=2522是原方程的根
∴EM=2522
故答案为：2522．
【分析】过点D作DO1⊥AC，交AC于点O1 ，过点E作EO2⊥CD，交CD于点O2，连接BO1，BO1与CD相交于点F，设EM=x，则BM=BE−EM=52−x，再结合CECO1=EMBM，可得CECO1=EMBM，最后求出x=2522，即可得到EM=2522。
三、计算题
16．计算：（ 2 +π）0﹣2|1﹣sin30°|+（ 12 ）﹣1．
【答案】解：原式=1﹣1+2=2
【知识点】实数的运算；负整数指数幂的运算性质；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算乘方运算，代入特殊角的三角函数值，同时化简绝对值，再算加减法。
17．先化简，再求值： x2−2x+1x2−1 ÷（1﹣ 3x+1 ）其中x= 2 ．
【答案】解：原式= (x−1)2(x+1)(x−1) × x+1x−2 = x−1x−2 ，
当x= 2 时，原式= 2−12−2 =﹣ 22 。
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先将括号里的分式减法通分计算，同时将分子分母能分解因式的先分解因式，再将分数除法转化为乘法运算，约分化简，然后代入求值。
四、作图题
18．已知平行四边形ABCD．

（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．
【答案】（1）解：如图所示，AF即为所求；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵AF平分∠BAD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠4，
∴CE=CF
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出∠BAD的平分线即可。
（2）根据平行四边形的性质，可知AB∥DC，AD∥BC，再利用平行线的性质及角平分线的定义去证明∠2=∠4，然后根据等角对等边可证得结论。
五、解答题
19．某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料，准备由甲、乙两车间全部用于生产A产品．甲车间用每箱原材料可生产出A产品12千克，需耗水4吨；乙车间通过节能改造，用每箱原材料可生产出的A产品比甲车间少2千克，但耗水量是甲车间的一半．已知A产品售价为30元/千克，水价为5元/吨．如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200吨，那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润w最大？最大利润是多少？（注：利润=产品总售价﹣购买原材料成本﹣水费）
【答案】解：设甲车间用x箱原材料生产A产品，则乙车间用（60﹣x）箱原材料生产A产品．
由题意得4x+2（60﹣x）≤200，解得x≤40．
w=30[12x+10（60﹣x）]﹣80×60﹣5[4x+2（60﹣x）]=50x+12 600，
∵50＞0，
∴w随x的增大而增大．
∴当x=40时，w取得最大值，为14 600元．
答：甲车间用40箱原材料生产A产品，乙车间用20箱原材料生产A产品，可使工厂所获利润最大，最大利润为14 600元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】设甲车间用x箱原材料生产A产品，则乙车间用（60﹣x）箱原材料生产A产品，根据题意列出不等式，确定x的取值范围，列出w=30[12x+10（60﹣x）]﹣80×60﹣5[4x+2（60﹣x）]=50x+12 600，利用一次函数的性质，即可解答．
20．（2022·山西模拟）2021年复建后的“首义门”，坐落于太原五一广场，它气势恢宏，庄严肃穆．城台BH高11.7米，上部的城楼为四重檐歇山顶楼阁式建筑，阁楼主体为全木质卯榫结构．某校“综合与实践”小组要测量木质楼阁AB的高度，由于底部不能到达，他们在点C处测得楼阁顶部A的仰角为37°(∠α=37°)，沿CH方向前行41.5米到达点D处，测得城台顶部B的仰角为45°(∠β=45°)．其点A，B，H，D，C在同一竖直平面内．求木质楼阁AB的高度（结果保留1位小数．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41）．

【答案】解：根据题意可得：BH=11.7，AH⊥CH．
∴∠BHD=90°，
又∵∠β=45°，
∴∠HBD=∠β=45°，
∴DH=BH．
∴DH=11.7，
∴CH=CD+DH=41.5+11.7=53.2．
在△ACH中，∠C=37°，CH=53.2，
∴AH=CH⋅tan37°，
∴AH≈53.2×0.75=39.9．
∴AB=AH−BH=39.9−11.7=28.2（米）
答：木质楼阁AB的高度为28.2米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先求出CH=CD+DH=41.5+11.7=53.2，利用解直角三角形的方法求出AH≈53.2×0.75=39.9，再利用线段的和差求出AB=AH−BH=39.9−11.7=28.2即可。
六、综合题
21．我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了A：体操，B：跑操，C：舞蹈，D：健美操四项活动，为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有 　 　人．
（2）请将统计图2补充完整．
（3）统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是　 　 度．
（4）已知该校共有学生3600人，请根据调查结果估计该校喜欢健美操的学生人数．
【答案】（1）500
（2）解：A的人数：500﹣75﹣140﹣245=40（人）； 补全条形图如图：

（3）54
（4）解：245÷500×100%=49%， 3600×49%=1764（人）
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）140÷28%=500（人）， 故答案为：500
（ 3 ）75÷500×100%=15%，
360°×15%=54°，
故答案为：54；
【分析】（1）根据统计图提供的信息可知最喜欢“舞蹈”的有140人，其所占的百分比是28%，用最喜欢“舞蹈”的人数除以其所占的百分比即可算出本次被调查的学生 人数；
（2） 用本次被调查的学生 人数分别减去喜欢“跑操”、“舞蹈”、“健美操”的学生人数即可算出喜欢“体操”的学生人数；根据计算的人数即可补全条形统计图；
（3）用360°乘以喜欢“跑操”的人数所占的百分比即可算出 统计图1中B项目对应的扇形的圆心角 ；
（4）用样本估计总体，用该校的学生总人数乘以样本中喜欢“健美操”的学生人数所占的百分比即可估算出 该校喜欢健美操的学生人数．
22．（2020九上·洪洞期中）阅读材料：为解方程 (x2−1)2−3(x2−1)=0 ，我们可以将 x2−1 视为一个整体，然后设 x2−1=y, 将原方程化为 y2−3y=0①，解得 y1=0,y2=3 ．
当 y=0 时 x2−1=0, ∴x2=1, ∴x=±1
当 y=3 时， x2−1=3 ， ∴x2=4,∴x=±2
∴ 原方程的解为 x1=1,x2=−1,x3=2,x4=2
阅读后解答问题：
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到了降次的目的，体现了　 　的数学思想；
（2）利用上述材料中的方法解方程： (x2+x)2−(x2+x)−2=0
【答案】（1）换元；整体与划归
（2）令 x2+x=t ，则 t2−t−2=0 ，解得 t1=2 ， t2=−1 ，
当 t=2 时， x2+x=2 ，解得 x1=−2 ， x2=1 ，
当 t=−1 时， x2+x=−1 ， Δ<0 ，方程无解，
综上：方程的解是 x1=−2 ， x2=1 ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）将 x2−1 设为y，利用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想，
故答案是：换元，整体与划归；
【分析】（1）题目中的方法用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想；
（2）令 x2+x=t ，得 t2−t−2=0 ，用因式分解法解方程求出t的值，再求出x的值．
23．（2022·运城模拟）综合与实践
如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，将△OBC绕点C顺时针旋转，点B对应点为点E，点O对应点为点F．

（1）当点E落在CD的延长线上时，请解答以下两个问题
①如图1，若AB＝2a，BC＝2，连接OE，则OE2= ▲ （用含a的代数式表示）；
②如图2，延长BD交EF于点G，试猜想BG与EF的位置关系并加以证明；
（2）如图3，在图1的基础上继续绕点C旋转△OBC，点B对应点为点E，点O对应点为点F，当点E落在BD的延长线上时，已知∠ACE＝90°，求证：四边形CDEF是菱形．
【答案】（1）解：①a2−4a+5；
②由旋转可知∠CBO=∠CEF，即∠CBD=∠DEG，
∵∠BDC=∠EDG，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠DEG+∠EDG=90°，
∴∠DGE=90°，
∴DG⊥EF，即BG⊥EF；
（2）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OB=OC，∠OCB=∠OBC．
由旋转可知OC=CF，OB=EF，BC=CE，∠OCB=∠OBC=∠FEC=∠FCE，
∴OB=OC=EF=CF，∠CBE=∠CEB．
∵∠ACE=90°，
∴∠OCB+∠OCD=90°．
∵∠DCE+∠OCD=90°，
∴∠DCE=∠OCB=∠OBC=∠FEC=∠FCE．
∵∠CBE=∠CEB，即∠OBC=∠DEC，
∴∠DEC=∠DCE=∠FEC=∠FCE，
∴DE∥CF，CD∥EF，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∵EF=CF，
∴平行四边形CDEF是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】(1)解：如图，过点O作OH⊥CE于H．

由所作辅助线和四边形ABCD为矩形可知OH∥AD．
∵点O是矩形ABCD对角线交点，
∴O为AC中点，
∴H为CD中点，OH=12AD=1，
∴CH=DH=12CD=a．
由旋转可知CE=BC=2，
∴EH=CE−CH=2−a．
∴在Rt△OEH中，
OE2=OH2+EH2=1+(2−a)2=a2−4a+5．
故答案为：a2−4a+5；

【分析】（1）①先求出EH=CE−CH=2−a，再利用勾股定理可得OE2=OH2+EH2=1+(2−a)2=a2−4a+5；
②根据旋转的性质可得∠CBO=∠CEF，再结合∠BDC=∠EDG，∠CBD+∠BDC=90°，可得∠DGE=90°，从而得到 DG⊥EF，即BG⊥EF；
（2）先证明四边形CDEF是平行四边形，再结合EF=CF可得平行四边形CDEF是菱形。
24．（2023·泽州模拟）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为(−2，0)，点C的坐标为(−1，−4)．

（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．
（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．
（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，抛物线上是否存在点M，使∠MAB=∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点A的坐标为(−2，0)，点C的坐标为(−1，−4)，
∴4−2b+c=01−b+c=−4，解得：b=−1c=−6，
∴二次函数的表达式为y=x2−x−6；
令y=0，则x2−x−6=0，
解得：x1=3，x2=−2，
∴点B的坐标为(3，0)；
（2）解：如图，

∵点B的坐标为(3，0)，
∴OB=3，
设直线l的解析式为y=k1x+b1，
把点(3，0)，(−1，−4)代入得：
0=3k1+b1−4=−k1+b1，解得：k1=1b1=−3，
∴直线l的解析式为y=x−3，
∵四边形OBPQ为平行四边形，
∴PQ∥OB，PQ=OB=3，
∴PQ∥x轴，
设点P的坐标为(m，m2−m−6)，则点Q的坐标为(m，m−3)，
∴PQ=(m−3)−(m2−m−6)=−m2+2m+3，
∴−m2+2m+3=3，
解得：m=2或0（舍去），
∴点P的坐标为(2，−1)；
（3）解：对于y=x2−x−6，
令x=0，y=−6，
∴点D的坐标为(0，−6)，
∴OD=6，
∵点A(−2，0)，B(3，0)，
∴AB=5，BD=32+62=35，AD=22+62=210，
如图，过点A作AE⊥BD于点E，

∵S△ABD=12OD×AB=12AE×BD，
∴AE=25，
∴DE=AD2−AE2=25，
∴AE=DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADB=45°，
∵∠MAB=∠ADB，
∴∠MAB=45°，
过点M作MF⊥x轴于点F，
∴△AFM是等腰直角三角形，
∴AF=FM，
设点M的坐标为(t，t2−t−6)，
∴FM=|t2−t−6|，AF=t+2，
∴|t2−t−6|=t+2，
解得：t=−2（舍去）或2或4，
∴点M的坐标为(2，−4)或(4，6)．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出y=0时x的值，即得点B坐标；
（2）先求直线l的解析式为y=x−3， 由平行四边形的性质可得PQ∥OB，PQ=OB=3，
设点P的坐标为(m，m2−m−6)，则点Q的坐标为(m，m−3)，可得PQ=−m2+2m+3，由PQ=3建立方程，解之即可；
（3）求D（0，-6）即得OD=6，由A、B的坐标，可求出AB=5，BD=35，AD=210， 过点A作AE⊥BD于点E， 易证△ADE是等腰直角三角形，可得∠ADB=45°，即得∠MAB=45°，
过点M作MF⊥x轴于点F，可得△AFM是等腰直角三角形，即得AF=FM，设点M的坐标为(t，t2−t−6)，则FM=|t2−t−6|，AF=t+2，由AF=FM建立方程并解之即可.