2023年小升初『几何问题』专项复习 专题01《图形的拆拼（切拼）》 （提高版）

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2022-2023学年专题卷小升初数学几何问题精选真题汇编强化训练（提高）专题01 图形的拆拼（切拼）考试时间：100分钟；试卷满分：100分一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）如图，从一张长方形纸上剪下一个最大的正方形后，剩下的图形至少可以分成（　　）个正方形。A．0 B．3 C．4 D．12【思路点拨】根据题意，剪掉最大的正方形后，剩下的长方形的长是6分米、宽是8﹣6＝2（分米），用长除以宽即可求解。【规范解答】解：6÷（8﹣6）＝6÷2＝3（个）答：剩下的图形至少可以分成3个正方形。故选：B。【考点评析】本题主要考查图形的剪拼，关键是知道剩下的长方形的长和宽。2．（2分）下面（　　）个正方体正好可以拼成一个较大的大正方体．A．9 B．64 C．25 D．121【思路点拨】拼成大正方体的小正方体的个数，应该是一个数的立方数，1的立方除外，如2的立方8个，3的立方27个，4的立方64个，5的立方125个等．【规范解答】解：因为9、25、11都不是立方数；64是4的立方；所以64个正方体正好可以拼成一个较大的大正方体；故选：B。【考点评析】解答本题关键是明确拼成大正方体的小正方体的个数，应该是一个数的立方数．3．（2分）把三个正方体木块粘接成一个长方体，所粘接成的长方体木块的棱长总和是80厘米，这个长方体木块的表面积是（　　）平方厘米．A．200 B．310 C．224【思路点拨】一个正方体有12条棱，则3个正方体有36条棱，把3个相同的正方体拼成一个长方体，减少16条正方体的棱，即“12×3﹣16＝20”条棱长总和是80厘米，用“80÷20＝4厘米”求出正方体的棱长，进而求出长方体的长是：4×3＝12厘米，宽和高等于正方体的棱长4厘米，然后根据长方体表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，解答即可．【规范解答】解：80÷（12×3﹣16）＝80÷20＝4（厘米）4×3＝12（厘米）（12×4+12×4+4×4）×2＝112×2＝224（平方厘米）答：这个长方体木块的表面积是224平方厘米．故选：C．【考点评析】解答此题的关键是根据正方体拼组长方体的特征，先求出正方体的棱长，进而计算出长方体的表面积．4．（2分）在一块边长为4厘米的正方形铁皮上，剪出半径为1厘米的小圆片，最多可剪（　　）片。A．16 B．4 C．5 D．6【思路点拨】剪出半径为1厘米的小圆片，直径为2厘米，可以看作剪边长为2厘米的正方形，最多可剪：（4÷2）×（4÷2），据此求解即可。【规范解答】解：直径为1×2＝2（厘米）（4÷2）×（4÷2）＝2×2＝4（片）答：最多可剪4片。故选：B。【考点评析】解答此题的关键是明确正方形内切割成圆形的方法。5．（2分）如图，一个3×3的正方形网格，如果小正方形边长是2，那么阴影部分的面积是（　　）A．10 B．8 C．6 D．4【思路点拨】如上图所示，把阴影部分平均分成8个三角形，每个三角形的底是2，高是1，然后根据三角形的面积公式和解答即可．【规范解答】解：根据分析可得，×2×（×2）×8＝1×1×8＝8答：阴影部分的面积是8．故选：B．【考点评析】如果是拆拼图形，要抓住“拆、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定拆拼的方法．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）6．（2分）如图，把平行四边形转化成长方形，长方形的长是 　15　厘米，宽是 　6　厘米。【思路点拨】根据平行四边形面积公式的推导过程可知：把一个平行四边形转化为一个长方形，这个长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高，据此解答。【规范解答】解：如图所示，把平行四边形转化成长方形，长方形的长是15厘米，宽是6厘米。故答案为：15，6。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握平行四边形面积公式的推导过程及应用。7．（2分）用4个棱长为2分米的立方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是　32　立方分米，表面积是　64平方分米或72　平方分米．【思路点拨】（1）用4个棱长为2分米的立方体拼成一个长方体，这个长方体的体积就是4个正方体的体积和；用一个正方体的体积乘4即可．（2）只要找出拼成长方体后减少了几个面即可解决问题，4个正方体拼成长方体有2种拼法：①拼成长宽高分别为4分米、4分米、2分米的长方体，表面积减少了4×2＝8个小正方形面；②拼成长宽高分别为8分米、2分米、2分米的长方体，表面积减少了3×2＝6个面；根据正方体的表面积公式可以解决问题．【规范解答】解：（1）2×2×2×4＝8×4＝32（立方分米） （2）①2×2×6×4﹣2×2×8＝96﹣32＝64（平方分米）②2×2×6×4﹣2×2×6＝96﹣24＝72（平方分米）答：这个长方体的体积是 32立方分米，表面积是64平方分米或72平方分米．故答案为：32；64平方分米或72．【考点评析】抓住正方体拼组长方体的方法和表面积中减少的面是解答本题的关键．8．（2分）在探索四边形ABCD的内角和时，明明采用如图所示的转化方法，他是怎么样推算的？请你写出来 　180°×4＝720°；720°﹣360°＝360°　。【思路点拨】在四边形内取一点，连接四个顶点，把四边形分成四个三角形，利用三角形内角和定理，求出四个三角形的内角和，再减去中间的360°，就是四边形的内角和。【规范解答】解：180°×4＝720°720°﹣360°＝360°答：四边形ABCD的内角和为360°。故答案为：180°×4＝720°；720°﹣360°＝360°。【考点评析】本题主要考查多边形的内角和，关键是利用拆分的方法计算四边形内角和。9．（2分）图是一张长10cm、宽4cm的长方形纸片。小红在这张纸片上依次剪下边长为2cm的小正方形，她最多可以剪出 　10　个这样的小正方形。【思路点拨】以长为边，能剪出10÷2＝5（个）边长2cm的小正方形；以宽为边，能剪出4÷2＝2（个）小正方形；长和宽分别能剪出小正方形个数的乘积就是一共能剪出小正方形的个数。【规范解答】解：10÷2×（4÷2）＝5×2＝10（个）答：她最多可以剪出10个这样的小正方形。故选：10。【考点评析】本题主要考查图形的剪拼，在不确定没有剩余的情况下，不可用长方形面积除以小正方形面积。10．（2分）下图阴影部分的面积是 　32　平方厘米。（单位：厘米）【思路点拨】如图：阴影部分比较复杂和分散，对于此类问题通常使用割补法来计算。连接两条对角线，交于点O。正方形具有对称性，由此将左下角的阴影部分分成（1）与（2）两部分，把阴影（1）绕点O顺时针旋转90°至阴影部分①处，把阴影部分（2）绕点O逆时针旋转90°至阴影部分②处，使整个阴影部分割补成半个正方形。据此解答。【规范解答】解：连接正方形的两条对角线，交于点O。把阴影部分（1）绕点O顺时针旋转90°至阴影部分①处，把阴影部分（2）绕点O逆时针旋转90°至阴影部分②处，使原阴影部分变为正方形的一半。×8×8＝32（平方厘米）答：阴影部分的面积是32平方厘米。故答案为：32。【考点评析】求形状不规则的图形的面积，通常使用割补法将形状不规则的图形转化为形状规则的图形，进而来计算。11．（2分）“转化”是一种重要的数学思想。在探索圆面积公式时，妙想把分成16等份的圆形纸板（半径为r）拼成了近似的梯形（如图）。仔细观察，我们发现：梯形的上、下底的长度和相当于圆 　周长的一半　，梯形的高相当于圆的 　直径　。【思路点拨】如图一个圆剪拼成一个近似梯形，梯形的高相当于圆的两条半径，即直径；这个梯形的上、下底之和就是圆的周长的一半，据此解答即可。【规范解答】解：梯形的上、下底的长度和相当于圆周长的一半，梯形的高相当于圆的直径。故答案为：周长的一半，直径。【考点评析】本题考查了圆的面积的推导过程，关键是理解把一个圆剪拼成一个近似梯形，这个梯形的上、下底之和就是圆的周长的一半，高就是圆半径的2倍的知识。12．（2分）把5×5的方格纸剪成右面形状的小图形，最多可以剪 　8　个。【思路点拨】如图；动手剪一剪或者画一画，可以得出答案。【规范解答】解：如图：最多可以剪8个。故答案为：8。【考点评析】本题主要考查了学生的动手操作能力。13．（2分）用24个1平方厘米的小正方形拼成大长方形，一共有　4　种不同的拼法，其中周长最大的是　50　厘米．【思路点拨】因24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24，用24个小正方形拼成的长方形，不论怎样拼它的面积不变．根据拼成图形的长和宽，求出它们的周长，再进行比较．据此解答．【规范解答】解：根据分析知拼成后图形的面积不变，拼成后长方形的长和宽可分下列情况：（1）长24厘米，宽1厘米，周长是：（24+1）×2＝50（厘米）；（2）长12厘米，宽2厘米，周长是：（12+2）×2＝28（厘米）；（3）长8厘米，宽3厘米，周长是：（8+3）×2＝22（厘米）；（4）长6厘米，宽4厘米，周长是：（6+4）×2＝20（厘米）；故答案为：4，50．【考点评析】本题的关键是根据拼成后面积不变，分情况讨论组成长方形的长和宽．三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）14．（2分）一个长方形，长24厘米，宽8厘米．这个长方形一定能分成3个完全一样的正方形　√　（判断对错）【思路点拨】一个长方形，长24厘米，宽8厘米，长是宽的3倍，所以这个长方形一定能分成3个完全一样的正方形，据此解答即可．【规范解答】解：因为24÷8＝3（倍）所以长是宽的3倍，所以这个长方形一定能分成3个完全一样的正方形，因此题中说法正确．故答案为：√．【考点评析】此题主要考查了图形的拆拼问题的应用．15．（2分）已知一刀可以把一个平面切成2块，两刀最多可以把一个平面切成4块，三刀最多可以切成7块…，由此可以推测，五刀最多可以切成16块．　√　（判断对错）【思路点拨】可以发现，两条直线时比原来多了2块，三条直线比原来多了3块，四条直线时比原来多了4块，…，n条时比原来多了n块，则n＝1，S1＝1+1；n＝2，S2＝S1+2；n＝3，S3＝S2+3；n＝4，S4＝S3+4；…n＝n，Sn＝Sn﹣1+n．以上式子相加整理得，Sn＝1+1+2+3+…+n＝1+nn（n+1）．【规范解答】解：n＝5，S5＝1+nn（n+1）＝1+×5×（5+1）＝1+×5×6＝1+15＝16（块）答：五刀最多可以切成16块．故答案为：√．【考点评析】考查了通过操作实验探索规律．本题是找规律题，解题的关键是找到Sn＝1+1+2+3+…+n＝1+nn（n+1）．16．（2分）一个长13cm，宽7cm的长方形纸片，最多可以剪出多少个半径1cm的圆片，小明列式为：13×7÷（3.14×12）．　×　（判断对错）【思路点拨】本题运用长方形的面积除以一个圆的面积是错误的，在操作的过程中，有些面积是用不上的，用长方形的长或宽分别除以圆的直径，就可以求出在长边上可以剪出几个圆，在宽上可以剪出几个圆，这样就可以求出在剪出圆的总个数．【规范解答】解：因为圆的直径是1×2＝2厘米，所以长可以剪圆的个数是：13÷2＝6（个）…1（厘米），所以剪6个；宽可以剪的个数是：7÷2＝3（个）…1（厘米），所以可以剪3个；因此一共可以剪的个数是：6×3＝18（个）．因此题干中的列式计算的方法是错误的．故答案为：×．【考点评析】本题主要考查了学生的想象思维能力及实际操作实践的能力，有些问题要解决，还要与实际相结合．17．（2分）用一张长方形的纸只能剪一个正方形．　×　（判断对错）【思路点拨】长方形的长和宽不等，如果长方形的长是宽的整数倍，只要把长方形的长平均分成几份，就会得到几个正方形；或者长和宽的数值只要有公因数，公因数作为正方形的边长即可得到多个正方形；据此判断得解．【规范解答】解：例如：或所以用一张长方形的纸只能剪一个正方形是错误的；故答案为：×．【考点评析】此题应结合题意进行分析，分析过程中最好通过实践操作得出问题答案，并进行验证．18．（2分）把2块棱长都为2厘米的正方体拼成一个长方体，表面积增加了8平方厘米．　×　 （判断对错）【思路点拨】由合拼图形的特征可知，拼成一个长方体比2块棱长都为2厘米的正方体少了2个正方形的面，依此即可作出判断．【规范解答】解：2×2×2＝8（平方厘米）把2块棱长都为2厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了8平方厘米．所以原题说法错误．故答案为：×．【考点评析】考查了正方体合拼成长方体的表面积，本题可以根据公式计算，也可以观察合拼图形的特点求解．四．计算题（共2小题，满分10分，每小题5分）19．（5分）如图是一个棱长3cm的正方体，在它的上面、前面、右面的正中位置，各向下面、后面、左面对挖一个洞口是四边长均为1cm的长方体，求剩下图形的体积是多少？【思路点拨】根据题干可得，这个图形剩下的体积等于原正方体的体积减去3个长宽高分别是1厘米、1厘米、3厘米的小长方体的体积，因为最中间的棱长为1厘米的小正方体被多减了2次，所以再加上2个棱长1厘米的小正方体的体积，就是这个图形剩下的体积．【规范解答】解：3×3×3﹣1×1×3×3+1×1×1×2＝27﹣9+2＝20（立方厘米）答：剩下图形的体积是20立方厘米．【考点评析】解答此题的关键是明确剩下的体积比原来正方体的体积减少了哪几个部分．20．（5分）在如图的梯形内画出一条线段，把这个梯形分成两个三角形，并计算出最大三角形的面积．【思路点拨】直接连接梯形的对角线就可以把梯形分成两个三角形，以梯形的下底为底边的三角形的面积最大，三角形与梯形的高相等，根据三角形的面积＝底×高÷2进行求解即．【规范解答】解：如下图进行划分：22×12÷2＝264÷2＝132（平方米）答：最大三角形的面积是12平方米．【考点评析】解决本题要注意，无论连接哪条对角线，分成的2个三角形都是以梯形的下底为底边的三角形的面积最大．五．操作题（共3小题，满分14分）21．（4分）（1）求出大正方形的周长．（2）把这个大正方形分成四个相同的小正方形，画一画，并求出每个小正方形的周长．【思路点拨】（1）大正方形的边长是12米，根据正方形的周长＝边长×4，直接代入求解；（2）这个大正方形分成四个相同的小正方形，就分别找出大正方形的四个边的中点，然后把相对边的中点相连，这样就可以把大正方形分成四个相同的小正方形；每个小正方形的边长都是大正方形边长的一半，由此求出小正方形的边长，再根据正方形的周长公式求解．【规范解答】解：（1）12×4＝48（米）答：大正方形的周长是48米． （2）12÷2＝6（米）6×4＝24（米）答：每个小正方形的周长是24米．【考点评析】熟练掌握正方形的特点，以及正方形的周长公式是解决本题的关键．22．（4分）把一个边长是8厘米的正方形分成长3厘米宽2厘米的小长方形，最多能分成　10　个．在图中把你的分法画出来．（每个小格表示边长1厘米的正方形）【思路点拨】长3厘米宽2厘米的小长方形竖着放2行，再横着放2行，数出其中的个数即可求解．【规范解答】解：如图所示：把一个边长是8厘米的正方形分成长3厘米宽2厘米的小长方形，最多能分成10个．故答案为：10．【考点评析】考查了图形的拆拼（切拼），关键是掌握画长方形的作图能力．23．（6分）画一条线段，按要求把图形分成两个部分。（1）分成两个梯形。（2）分成一个梯形和一个三角形。【思路点拨】（1）连接对边上的两点（顶点除外），且不平行于另两边；（2）经过顶点作一条边的平行线，与另一边交于一点，据此画图即可。【规范解答】解：（1）如图：（画法不唯一）。（2）如图：（画法不唯一）。【考点评析】解题的关键是掌握梯形和三角形的特征。六．应用题（共8小题，满分40分，每小题5分）24．（5分）一块长120厘米、宽40厘米的红布，最多可以做成底和高都是8厘米的直角三角形小旗多少面？【思路点拨】因两个底和高都是8厘米的直角三角形小旗，可拼成一个边长是8厘米的正方形，可求出在长28厘米，宽16厘米的长方形红纸上，能剪多少个边长是8厘米正方形．据此解答．【规范解答】解：120÷8＝15（个）40÷8＝5（个）15×5×2＝150（面）答：最多可以做成底和高都是8厘米的直角三角形小旗150面．【考点评析】本题的关键是先求出能剪多少个小正方形，然后再乘上2．25．（5分）在如图的长方形纸上剪下一个最大的正方形．剩下部分是什么图形？剩下部分的面积是多少平方分米？【思路点拨】由于27分米大于14分米，所以剪下一个最大的正方形的边长只能是14分米；则剩下部分是长为14分米，宽为27﹣14＝13分米的长方形，把它们代入长方形面积公式即可解答．【规范解答】解：剪下一个最大的正方形的边长只能以长方形的宽为边长，即14分米；所以剩下部分是长为14分米，宽为27﹣14＝13分米的长方形；14×13＝182（平方厘米）答：剩下部分是长方形；它的面积是182平方厘米．【考点评析】本题是图形的切拼，要剪下一个最大的正方形，只能以长方形短边的长度作为正方形边的长度．26．（5分）同样大小的长方形小纸片摆成了下边这样的图形．已知小纸片的长是12厘米，求阴影部分的总面积．【思路点拨】如图，由最下两行（或最上两行）可以看出，小纸片的5个长＝小纸片的3个长+小纸片的3个宽，由此推出小纸片的2个长＝小纸片的3个宽，由此又推出小纸片的长是小纸片宽的，由于小纸片的长是12厘米，所以小纸片的宽是12÷＝8（厘米），则大长方形的长＝12×5＝60（厘米），宽＝8×3+12＝36（厘米），它的面积是60×36＝2160（平方厘米）；小长方形的面积是12×8＝96（平方厘米）；阴影部分面积＝大长方形面积﹣小长方形面积×22，依此列式计算即可求解．【规范解答】解：由题意可知：小纸片的宽：12÷＝8（厘米），大长方形的长：12×5＝60（厘米），宽：8×3+12＝36（厘米），它的面积是：60×36＝2160（平方厘米）；小长方形的面积是：12×8＝96（平方厘米）；阴影部分面积＝大长方形面积﹣小长方形面积×22：2160﹣96×22＝2160﹣2112＝48（平方厘米）．答：图中阴影部分的总面积是48平方厘米．【考点评析】本题主要是考查图形拼组及长方形面积的计算．关键是求出小长方形纸的宽，由图可以看出小纸片的长是小纸片宽的．27．（5分）直角梯形ABCD的上底是18厘米，下底是27厘米，高是24厘米（如图）．请你过梯形的某一个顶点画两条直线，把这个梯形分成面积相等的三部分（要求写出解答过程，画出示意图，图中的有关线段要标明长度）．【思路点拨】把直角梯形分成三部分后每部分的面积是[（18+27）×24]÷2÷3＝180（平方厘米）．又三角形的面积＝底×高×．由于180÷18＝20厘米，180÷24÷＝15厘米，由此在CD上截取CE＝20厘米，在AD上截取AF＝15厘米．连接BE，BF，就可以把这个梯形平均分成三部分．这时S△BCE＝×20×18＝180（平方厘米），S△ABF＝×15×24＝180（平方厘米），S四边形BFDE＝×（27+18）×24﹣180﹣180＝180（平方厘米）．如图：【规范解答】解：[（18+27）×24]÷2÷3＝180（平方厘米）．那么，在CD上截取CE＝20厘米，在AD上截取AF＝15厘米．连接BE，BF，就可以把这个梯形平均分成三部分．这时S△BCE＝×20×18＝180（平方厘米），S△ABF＝×15×24＝180（平方厘米），S四边形BFDE＝×（27+18）×24﹣180﹣180＝180（平方厘米）．如图：【考点评析】在求出平均每个图形面积的基础上，根据三角形的面积公式求出在相应边上应截取线段的长度是完成本题的关键．28．（5分）用长5厘米、宽4厘米的长方形，照图的样子拼成正方形．拼成的正方形的边长最小是多少厘米？需要几个长方形？【思路点拨】（1）求拼成的正方形的边长最小是多少厘米，即求5和4的最小公倍数，因为5和4是互质数，是互质数的两个数，它们的最大公约数是1，最小公倍数即这两个数的乘积；（2）根据求出的正方形的边长进行分析：看能放几排，几列，然后相乘即可．【规范解答】解：（1）4×5＝20，即拼成的正方形的边长20厘米；20÷4×（20÷5）＝5×4＝20（个）答：拼成的正方形的边长是20厘米，需要20个长方形．【考点评析】此题主要考查了求两个数的最大公因数：是互质数的两个数，它们的最大公约数是1，最小公倍数即这两个数的乘积．29．（5分）一根圆柱形木料，锯下5分米长的一段后，剩下的木料的表面积比原来减少了94.2平方分米．锯下的这段木料的体积是多少立方分米？【思路点拨】根据题干，切割后表面积减少了高为5分米的圆柱的侧面积，由此利用减少的表面积94.2平方分米，即可求出这个圆柱的底面半径，再利用圆的面积公式计算得出圆柱的底面积；再利用圆柱的体积＝底面积×高即可计算．【规范解答】解：圆柱的底面半径是：94.2÷5÷3.14÷2＝3（分米）；所以圆柱的底面积是：3.14×32＝28.26（平方分米）；所以剩下木料体积是：28.26×5＝141.3（立方分米）；答：锯下的这段木料的体积是141.3立方分米．【考点评析】抓住圆柱的切割特点，在理解表面积减少94.2平方分米就是高为5分米的圆柱的侧面积的基础上，求出圆柱的底面半径是解决此题的关键．30．（5分）如图是由9个正三角形拼成的六边形。已知最小的正三角形边长为1cm，求左边①号正三角形的边长。【思路点拨】设第二小的等边三角形①的边长为x，而中间的小等边三角形的边长是1，根据等边三角形的三边都相等可得到其它等边三角形的边长分别x+1，x+2，x+3，利用最大三角形的边长相等得出方程x+3＝2x，求得x，进一步得出答案即可。【规范解答】解：如图：设第二小的等边三角形①的边长为x，而中间的小等边三角形的边长是1，所以其它等边三角形的边长分别x+1，x+2，x+3，利用最大三角形的边长相等得出方程：x+3＝2x    x＝3答：①号正三角形的边长3厘米。【考点评析】此题考查一元一次方程的实际运用，等边三角形的性质，根据图形，设出未知数，利用大等边三角形的边长建立方程解决问题。31．（5分）在上底为4厘米，下底为6厘米的梯形中画一条线段，把梯形分成面积相等的两部分（画出三种分法）【思路点拨】本题划线的时候，只要坚持一个准则，保持每个图形上下底的和是5厘米，这样画出的线都能把这个图形分成面积相等的两部分．【规范解答】解：画图如下：【考点评析】本题考查了学生观察、分析解决问题的能力，同时考查了学生动手操作的能力