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北师大版数学八年级下册期中模拟精品练习（含详细解析）
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这是一份北师大版数学八年级下册期中模拟精品练习（含详细解析），共40页。试卷主要包含了下列各式由左到右是分解因式的是，计算等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，该三角形的面积为15，点O是边BC上任意一点，则点O分别到AB，AC边的距离之和等于（ ）
A．5B．7.5C．9D．10
2．等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．60°或120°B．30°或150°C．30°或120°D．60°
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．BC＝ECB．EC＝BEC．BC＝BED．AE＝EC
4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．50°B．70°C．75°D．80°
5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于（ ）
A．10B．9C．8D．6
6．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D在AC上，BC＝BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
7．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）
8．下列各式由左到右是分解因式的是（ ）
A．x2+6x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y） 2
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4） 2
9．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果为（ ）
A．﹣299B．299C．﹣2D．2
10．多项式x3+6x2y+9xy2与x3y﹣9xy3的公因式是（ ）
A．x（x+3y）2B．x（x+3y）C．xy（x+3y）D．x（x﹣3y）
11．下列各式中，属于分式的是（ ）
A．x﹣3B．C．D．
12．下列各式：，，+y，，，其中分式共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．下面四个式子中，分式为（ ）
A．B．C．D．+
14．分式有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≠0B．x≠2
C．x≠0且x≠2D．x为一切实数
15．无论x取什么数，总有意义的分式是（ ）
A．B．C．D．
16．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．1C．0或1D．0或1或﹣1
17．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
18．小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时．
A．B．C．D．
19．计算÷（﹣）的结果为（ ）
A．aB．﹣aC．D．
20．方程＝1的解是（ ）
A．无解B．x＝﹣1C．x＝0D．x＝1
21．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A．B．
C．D．
22．某人承包1125平方米的铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划的1.5倍，结果提前4天完成了任务，则原计划每天铺（ ）
A．70平方米B．65平方米C．75平方米D．85平方米
23．解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（ ）
A．B．C．D．
24．若不等式（a﹣3）x＞2的解集是x＜，则a的取值范围是（ ）
A．a≠3B．a＞3C．a＜3D．a≤3
二．填空题（共21小题）
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB＝10，CD＝3，则S△ABD＝ ．
26．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，已知BD＝2，AB＝4，则DE＝ ．
27．如图：AB∥CD，GN平分∠BGH，HN平分∠DHG，点N到直线AB的距离是2，则点N到直线CD的距离是 ．
28．如图，△ABC中，∠BAC＝100°，DF、EG分别是AB、AC的垂直平分线，则∠DAE等于 度．
29．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长是 ．
30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D，点E分别在边AC，AB上，且DE垂直平分AB．若AD＝2，则CD的长为 ．
31．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为点D．若∠BAC＝30°，则∠DBC的度数为 °．
32．下列各单项式9x2y2、6x4y3、﹣18x3y4的公因式是 ．
33．因式分解：a2﹣4＝ ．
34．分解因式：m2﹣2m+1＝ ．
35．分解因式：x2y2﹣9y2＝ ．
36．因式分解：ax2﹣4a＝ ．
37．分解因式：x2+ax+b＝（x﹣1）（x﹣3），则a+b＝ ．
38．已知x2﹣2x﹣1＝0，则x4﹣x3﹣3x2﹣x+2022＝ ．
39．将分式化成分母为x（x﹣2）的分式： ．
40．分式与的最简公分母为 ．
41．如果2a2+4a﹣1＝0，那么代数式的值是 ．
42．写出一个含有字母m，且m≠2的分式，这个分式可以是 ．
43．若分式有意义，则x应满足 ．
44．当x＝ 时，分式的值是1．
45．如图，已知一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝mx﹣n的图象相交于点P（﹣2，1），则关于不等式x+b≥mx﹣n的解集为 ．
三．解答题（共15小题）
46．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD交AC于点E．
（1）求证：CB＝CE；
（2）若∠CEB＝80°，求∠DBC的大小．
47．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点F为AB上一点，连接CF，过点B作BE⊥BC交CF的延长线于点E，交AD于点H，且∠1＝∠2
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠1＝22°，∠AFC＝110°，求∠BCE的度数．
48．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E．
求证：DF∥AC．
证明：
∵AD平分∠BAC
∴∠ ＝∠ （角平分线的定义）
∵EF垂直平分AD
∴ ＝ （线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）
∴∠BAD＝∠ADF（ ）
∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）
∴DF∥AC（ ）
49．已知BD是△ABC的角平分线，ED⊥BC，∠BAC＝90°，∠C＝30°．
（1）求证：CE＝BE；
（2）若AD＝3，求△ABC的面积．
50．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CE是高，连接DE．
（1）求证：BC＝2DE；
（2）若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．
51．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
52．如图，△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为点F，G，△ADE的周长为6cm．
（1）求△ABC中BC边的长度；
（2）若∠BAC＝116°，求∠DAE的度数．
53．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，BC＝6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）求出发2秒后，PQ的长；
（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．
54．指出下列多项式的公因式：
（1）3a2y﹣3ay+6y；
（2）xy3﹣x3y2；
（3）﹣27a2b3+36a3b2+9a2b．
55．（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）
（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy
56．分解因式
（1）9m2﹣4；
（2）2ax2+12ax+18a；
（3）（x+3）（x﹣5）+x2﹣9．
57．因式分解
（1）a2（x﹣2a）2+a（2a﹣x）3
（2）2xy+9﹣x2﹣y2．
58．因式分解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．
59．若x﹣5是多项式x2+ax+5的一个因式，求a的值．
60．因式分解：
（1）2x2﹣8；
（2）x4﹣2x2+1．
北师大版数学八年级下册期中模拟精品练习（含详细解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共24小题）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，该三角形的面积为15，点O是边BC上任意一点，则点O分别到AB，AC边的距离之和等于（ ）
A．5B．7.5C．9D．10
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：连接AO，
∵在△ABC中，AB＝AC＝6，该三角形的面积为15，
∴三角形ABC的面积
＝△ABO的面积+△ACO的面积
＝
＝
＝
＝15，
解得：OE+OF＝5，
故选：A．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答．
2．等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．60°或120°B．30°或150°C．30°或120°D．60°
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】A
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；
当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．
故选：A．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．BC＝ECB．EC＝BEC．BC＝BED．AE＝EC
【考点】直角三角形的性质；等腰三角形的判定．
【答案】C
【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD＝∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE＝∠DCE，再结合∠BEC＝∠A+∠ACE、∠BCE＝∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC＝∠BCE，利用等角对等边即可得出BC＝BE，此题得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE．
又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC＝∠BCE是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．50°B．70°C．75°D．80°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝25°，
∵∠B＝60°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于（ ）
A．10B．9C．8D．6
【考点】角平分线的性质．
【答案】B
【分析】作EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EH＝DE＝3，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作EH⊥BC于H，
∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线，EH⊥BC，
∴EH＝DE＝3，
∴△BCE的面积＝×BC×EH＝9，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D在AC上，BC＝BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【考点】等腰三角形的判定；平行线的性质．
【答案】C
【分析】由在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°°，BD平分∠ABC，DE∥BC，可求得∠ABD＝∠EDB＝∠DBC＝∠A＝36°，∠BDC＝∠ABC＝∠C＝72°，∠AED＝∠ADE，即可得△ABC，△ABD，△EBD，△BCD，△AED是等腰三角形．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠EDB＝∠A，
∴AD＝BD，EB＝ED，
即△ABD和△EBD是等腰三角形，
∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
即△BCD是等腰三角形，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
即△AED是等腰三角形．
∴图中共有5个等腰三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定、平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
7．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）
【考点】因式分解的意义．
【答案】C
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义．严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．
8．下列各式由左到右是分解因式的是（ ）
A．x2+6x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y） 2
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4） 2
【考点】因式分解的意义．
【答案】D
【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
B．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C．等式两边不相等，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
9．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果为（ ）
A．﹣299B．299C．﹣2D．2
【考点】因式分解﹣提公因式法；有理数的混合运算．
【答案】B
【分析】直接提取公因式（﹣2）99，进而得出答案．
【解答】解：原式＝（﹣2）99×（﹣2+1）
＝（﹣2）99×（﹣1）
＝299．
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
10．多项式x3+6x2y+9xy2与x3y﹣9xy3的公因式是（ ）
A．x（x+3y）2B．x（x+3y）C．xy（x+3y）D．x（x﹣3y）
【考点】公因式．
【答案】B
【分析】分别将多项式x3+6x2y+9xy2与多项式x3y﹣9xy3进行因式分解，再寻找他们的公因式．
【解答】解：∵x3+6x2y+9xy2＝x（x2+6xy+9y2）＝x（x+3y）2，
x3y﹣9xy3＝xy（x2﹣9y2）＝xy（x+3y）（x﹣3y），
∴多项式x3+6x2y+9xy2与多项式x3y﹣9xy3的公因式是x（x+3y）．
故选：B．
【点评】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．
11．下列各式中，属于分式的是（ ）
A．x﹣3B．C．D．
【考点】分式的定义．
【答案】C
【分析】判断分式的依据是看代数式的分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：A、分母中不含字母，不是分式，故选项A错误；
B、分母中不含字母，不是分式，故选项B错误；
C、分母中含有字母，是分式，故选项C正确；
D、分母中不含字母，不是分式，故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．
12．下列各式：，，+y，，，其中分式共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】分式的定义．
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：，+y，的分母均不含有字母，因此他们是整式，而不是分式．，的分母中均含有字母，因此是分式．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
13．下面四个式子中，分式为（ ）
A．B．C．D．+
【考点】分式的定义．
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：A、的分母中不含有字母，因此它是整式，而不是分式，故本选项错误；
B、分母中含有字母，因此它们是分式，故本选项正确；
C、是整式，而不是分式，故本选项错误；
D、的分母中不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的定义，熟知一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式是解答此题的关键．
14．分式有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≠0B．x≠2
C．x≠0且x≠2D．x为一切实数
【考点】分式有意义的条件．
【答案】B
【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零进而得出答案．
【解答】解：分式有意义，
则x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
15．无论x取什么数，总有意义的分式是（ ）
A．B．C．D．
【考点】分式有意义的条件．
【答案】A
【分析】按照分式有意义，分母不为零即可求解．
【解答】解：A．，无论x为何值x4+3≠0，故此分式总有意义，
B．，当7x+8≠0时分式有意义，则x＝﹣时，分式无意义；
C．，x3+2可能为零，故分式有可能无意义；
D．，x2≠0，x≠0时，分式有意义；
故选：A．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，按照分式有意义，分母不为零即可求解．
16．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．1C．0或1D．0或1或﹣1
【考点】分式的值为零的条件．
【答案】A
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣x＝0且x2﹣1≠0，
解得：x＝0．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确解方程是解题关键．
17．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】最简分式．
【答案】B
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A、＝，不是最简分式，错误；
B、是最简分式，正确；
C、＝2﹣x，不是最简分式，错误；
D、＝﹣，不是最简分式，错误；
故选：B．
【点评】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
18．小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时．
A．B．C．D．
【考点】列代数式（分式）．
【答案】C
【分析】设从家到学校的单程为1，那么总路程为2，根据平均速度＝，列分式并化简即可得出答案．
【解答】解：设上学路程为1，则往返总路程为2，上坡时间为，下坡时间为，
则平均速度＝＝（千米/时）．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式以及平均数的求法，用到的知识点是平均速度＝，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
19．计算÷（﹣）的结果为（ ）
A．aB．﹣aC．D．
【考点】分式的乘除法．
【答案】B
【分析】除法转化为乘法，再约分即可得．
【解答】解：原式＝•（﹣a2）＝﹣a，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式的除法运算法则．
20．方程＝1的解是（ ）
A．无解B．x＝﹣1C．x＝0D．x＝1
【考点】解分式方程；分式方程的解．
【答案】C
【分析】移项可得﹣1＝＝0，可得x＝0；
【解答】解：＝1，
∴移项可得﹣1＝＝0，
∴x＝0，
经检验x＝0是方程的根，
∴方程的根是x＝0；
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解法；掌握分式方程的求解方法，验根是关键．
21．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【答案】C
【分析】由每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书可得出每个B型包装箱可以装书（x+15）本，利用数量＝总数÷每个包装箱可以装书数量，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵每个A型包装箱可以装书x本，每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书，
∴每个B型包装箱可以装书（x+15）本．
依题意得：＝﹣6．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．某人承包1125平方米的铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划的1.5倍，结果提前4天完成了任务，则原计划每天铺（ ）
A．70平方米B．65平方米C．75平方米D．85平方米
【考点】分式方程的应用．
【答案】C
【分析】设原计划每天铺x米，根据人承包1125平方米的铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划1.5倍，结果提前4天完成了任务，可列方程求解．
【解答】解：设原计划每天铺x米，
＝3++4
x＝75．
经检验x＝75是方程的解．
故原计划铺75平方米．
故选：C．
【点评】本题考查理解题意的能力，设出计划铺多少，以时间作为等量关系列方程求解．
23．解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（ ）
A．B．C．D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【答案】D
【分析】实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，＞向右＜向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：由图示可看出，这个不等式组的解集是﹣5＜x≤4．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来 （＞，⩾向右画；＜，⩽向左画 ），表示解集时“⩾”，“⩽”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
24．若不等式（a﹣3）x＞2的解集是x＜，则a的取值范围是（ ）
A．a≠3B．a＞3C．a＜3D．a≤3
【考点】解一元一次不等式．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质可得a﹣3＜0，由此求出a的取值范围．
【解答】解：∵（a﹣3）x＞2的解集为x＜，
∴不等式两边同时除以（a﹣3）时不等号的方向改变，
∴a﹣3＜0，
∴a＜3．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质：在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．本题解不等号时方向改变，所以a﹣3小于0．
二．填空题（共21小题）
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB＝10，CD＝3，则S△ABD＝ 15 ．
【考点】角平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝3，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10×3＝15，
故答案为15．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
26．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，已知BD＝2，AB＝4，则DE＝ 6 ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，由垂直平分线的性质得AB＝AC＝CE，即可得到结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴AB＝AC；
又∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC＝EC，
∴AB＝AC＝CE＝5；
∵BD＝CD＝3，
∴DE＝CD+CE＝2+4＝6，
故答案为6．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键．
27．如图：AB∥CD，GN平分∠BGH，HN平分∠DHG，点N到直线AB的距离是2，则点N到直线CD的距离是 2 ．
【考点】角平分线的性质；平行线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】作NP⊥AB于P，NQ⊥EF于Q，NR⊥CD于R，根据角平分线的性质定理解答．
【解答】解：作NP⊥AB于P，NQ⊥EF于Q，NR⊥CD于R，
∵GN平分∠BGH，NP⊥AB，NQ⊥EF，
∴NQ＝NP＝2，
∵HN平分∠DHG，NQ⊥EF，NR⊥CD，
∴NR＝NQ＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
28．如图，△ABC中，∠BAC＝100°，DF、EG分别是AB、AC的垂直平分线，则∠DAE等于 20 度．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】图中涉及两条垂直平分线，要根据其特点，转化为关于等腰三角形的知识解答．
【解答】解：∵DF、EG分别是AB、AC的垂直平分线
∴（1）DA＝DB，则∠B＝∠DAF，设∠B＝∠DAF＝x度
（2）EA＝EC，∠C＝∠EAG，设∠C＝∠EAG＝y度
因为∠BAC＝100°
所以x+y+∠DAE＝100°
根据三角形内角和定理，x+y+x+y+∠DAE＝180°
解得∠DAE＝20°．
【点评】主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
29．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长是 4 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AF．由AB＝AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC＝2EF＝4．
【解答】解：如图，连接AF．
∵AB＝AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD．
∵在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝2，
∴AC＝2EF＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD是解题的关键．
30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D，点E分别在边AC，AB上，且DE垂直平分AB．若AD＝2，则CD的长为 1 ．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AD＝2，DE垂直平分AB．
∴DE＝1，∠DBE＝∠A＝30°，∠CBA＝60°，
∴BD平分∠CBE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝1，
故答案为：1
【点评】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答．
31．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为点D．若∠BAC＝30°，则∠DBC的度数为 15 °．
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C的度数，然后在Rt△DBC中，求出∠DBC的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°；
又∵BD⊥AC垂足为D，
∴∠DBC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣75°＝15°．
故答案为：15．
【点评】要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．注意：本题中可简单的利用同角的余角相等这一性质解题．垂直和直角总是联系在一起．
32．下列各单项式9x2y2、6x4y3、﹣18x3y4的公因式是 3x2y2 ．
【考点】公因式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数3，相同字母的最低指数次幂x2y2，然后即可确定公因式．
【解答】解：单项式9x2y2、6x4y3、﹣18x3y4系数的最大公约数3，相同字母的最低指数次幂x2y2，
∴单项式9x2y2、6x4y3、﹣18x3y4的公因式是3x2y2．
故答案为3x2y2．
【点评】本题主要考查公因式的定义，掌握找公因式的正确方法是解题的关键．找公因式的方法：一是找系数的最大公约数，二是找相同字母的最低指数次幂．
33．因式分解：a2﹣4＝ （a+2）（a﹣2） ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
34．分解因式：m2﹣2m+1＝ （m﹣1）2 ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】符合完全平方公式的结构形式，直接利用完全平方公式分解因式即可．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【解答】解：m2﹣2m+1＝（m﹣1）2．
【点评】本题主要考查完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
35．分解因式：x2y2﹣9y2＝ y2（x+3）（x﹣3） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】y2（x+3）（x﹣3）．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝y2（x2﹣9）
＝y2（x+3）（x﹣3）．
故答案为：y2（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
36．因式分解：ax2﹣4a＝ a（x+2）（x﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可得到答案．
【解答】解：ax2﹣4a
＝a（x2﹣4）
＝a（x﹣2）（x+2）．
故答案为：a（x﹣2）（x+2）．
【点评】本题考查的是因式分解的知识，掌握因式分解的方法：提公因式、乘法公式、十字相乘法和分组分解法是解题的关键．
37．分解因式：x2+ax+b＝（x﹣1）（x﹣3），则a+b＝ ﹣1 ．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【答案】﹣1．
【分析】通过整式乘法运算求解．
【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴x2+ax+b＝x2﹣4x+3，即a＝﹣4，b＝3．
∴a+b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查整式的运算，解题关键是进行乘法运算后对比等式两侧的系数．
38．已知x2﹣2x﹣1＝0，则x4﹣x3﹣3x2﹣x+2022＝ 2022 ．
【考点】因式分解的应用．
【答案】2022．
【分析】把原式变形，变出x2﹣2x的形式即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴x4﹣x3﹣3x2﹣x+2022
＝x4﹣2x3+x3﹣2x2﹣x2﹣x+2022
＝x2（x2﹣2x）+x（x2﹣2x）﹣x2﹣x+2022
＝x2+x﹣x2﹣x+2022
＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是用因式分解进行恒等变形．
39．将分式化成分母为x（x﹣2）的分式： ．
【考点】通分．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的基本性质，直接计算即可．
【解答】解：根据分式的基本性质，在分子分母上同时乘以（x﹣2），
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式的通分，解决此题的关键是能熟记分式的基本性质，要注意分子分母必须同时乘同一个数（或式子）．
40．分式与的最简公分母为 2xy2 ．
【考点】最简公分母．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据最简公分母的定义求解．
【解答】解：分式与的最简公分母为2xy2．
故答案为2xy2．
【点评】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
41．如果2a2+4a﹣1＝0，那么代数式的值是 ．
【考点】分式的化简求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝﹣a（a+2）
＝﹣a2﹣2a，
∵2a2+4a﹣1＝0，
∴a2+2a＝，
∴原式＝﹣，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
42．写出一个含有字母m，且m≠2的分式，这个分式可以是 （答案不唯一） ．
【考点】分式的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式含有字母m，且m≠2，可知当m＝2时分式的分母为0，据此可得分式．
【解答】解：含有字母m，且m≠2的分式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
43．若分式有意义，则x应满足 x≠2 ．
【考点】分式有意义的条件．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零进而得出答案．
【解答】解：若分式有意义，则2﹣x≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
44．当x＝ 5 时，分式的值是1．
【考点】分式的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意列式计算即可．
【解答】解：由题意得，x﹣3＝2，
解得，x＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是求分式的值，根据题意正确列出算式是解题的关键．
45．如图，已知一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝mx﹣n的图象相交于点P（﹣2，1），则关于不等式x+b≥mx﹣n的解集为 x≥﹣2 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．
【解答】解：∵一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝mx﹣n的图象相交于点P（﹣2，1），
∴不等式x+b≥mx﹣n的解集是x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了观察函数图象的能力．
三．解答题（共15小题）
46．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD交AC于点E．
（1）求证：CB＝CE；
（2）若∠CEB＝80°，求∠DBC的大小．
【考点】等腰三角形的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）想办法证明∠CBE＝∠CEB即可．
（2）利用等腰三角形的性质求出∠C即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，∠DBC+∠C＝90°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵∠CBE＝∠CBD+∠DBE，∠CEB＝∠A+∠ABE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CB＝CE．
（2）解：∵∠CEB＝∠CBE＝80°，
∴∠C＝180°﹣2×80°＝20°，
∵∠CDB＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣20°＝70°．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
47．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点F为AB上一点，连接CF，过点B作BE⊥BC交CF的延长线于点E，交AD于点H，且∠1＝∠2
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠1＝22°，∠AFC＝110°，求∠BCE的度数．
【考点】等腰三角形的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）想办法证明∠ABC＝∠ACB即可．
（2）根据∠AFC＝∠FBC+∠ECB，想办法求出∠FBC即可．
【解答】（1）证明：∵EB⊥BC，AD⊥BC，
∴EB∥AD，
∴∠2＝∠BAD，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠ACD＝90°，∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
（2）解：∵∠2＝∠1＝22°，∠EBC＝90°，
∴∠FBC＝68°，
∵∠AFC＝∠FBC+∠ECB，
∴∠ECB＝110°﹣68°＝42°．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
48．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E．
求证：DF∥AC．
证明：
∵AD平分∠BAC
∴∠ BAD ＝∠ DAC （角平分线的定义）
∵EF垂直平分AD
∴ FD ＝ FA （线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）
∴∠BAD＝∠ADF（ 等边对等角 ）
∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）
∴DF∥AC（ 内错角相等两直线平行 ）
【考点】线段垂直平分线的性质；平行线的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等边对等角解决问题即可．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠DAC（角平分线的定义）
∵EF垂直平分AD
∴FD＝FA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）
∴∠BAD＝∠ADF（等边对等角）
∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）
∴DF∥AC（内错角相等两直线平行）．
故答案为：BAD，DAC，FD，FA，等边对等角，内错角相等两直线平行．
【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
49．已知BD是△ABC的角平分线，ED⊥BC，∠BAC＝90°，∠C＝30°．
（1）求证：CE＝BE；
（2）若AD＝3，求△ABC的面积．
【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明DC＝DB即可解决问题．
（2）解直角三角形求出AB，AC即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∴∠C＝∠DBC，
∴DC＝DB，
∵DE⊥BC，
∴EC＝BE．
（2）解：在Rt△ABD中，∵∠A＝90°，AD＝3，∠ABD＝30°，
∴BD＝2AD＝6，AB＝AD＝3，
∴DB＝DC＝6，
∴AC＝9，
∴△ABC的面积＝×＝．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
50．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CE是高，连接DE．
（1）求证：BC＝2DE；
（2）若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BD＝CD，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝BAC，求得∠BAD＝25°，根据三角形的内角和得到∠BCE＝∠BAD＝25°，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴DE＝BD＝CD，
∴BC＝2DE；
（2）解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠BAD＝BAC，
∵∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝25°，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴∠BCE＝∠BAD＝25°，
∵DE＝CD，
∴∠DEC＝∠DCE＝25°，
∴∠BDE＝50°，
∴∠ADE＝40°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
51．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
52．如图，△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为点F，G，△ADE的周长为6cm．
（1）求△ABC中BC边的长度；
（2）若∠BAC＝116°，求∠DAE的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明BC＝△ADE的周长即可解决问题．
（2）求出∠ADE+∠AED即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
则△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝6（cm），
∴BC＝6cm，
（2）∵∠BAC＝116°，
∴∠B+∠C＝180°﹣116°＝64°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，
∵∠ADE＝∠B+∠DAB，∠AED＝∠C+∠EAC，
∴∠ADE+∠AED＝128°，
∴∠DAE＝180°﹣128°＝52°．
【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
53．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，BC＝6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）求出发2秒后，PQ的长；
（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．
【考点】等腰三角形的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；
②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12，易求得t；
③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
【解答】解：（1）BQ＝2×2＝4cm，
BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
PQ＝＝2（cm）；
（2）解：分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5，
∴BC+CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12
∴t＝12÷2＝6秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝＝＝4.8（cm）
∴CE＝＝3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC+CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．
54．指出下列多项式的公因式：
（1）3a2y﹣3ay+6y；
（2）xy3﹣x3y2；
（3）﹣27a2b3+36a3b2+9a2b．
【考点】公因式．
【答案】见试题解答内容
【分析】多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
【解答】解：（1）（3a2y﹣3ay+6y）的公因式是：3y；
（2）（xy3﹣x3y2）的公因式是：xy2；
（3）（﹣27a2b3+36a3b2+9a2b）的公因式是：﹣9a2b．
【点评】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
55．（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）
（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接提取公因式（x﹣a）分解因式即可．
（2）先提取公因式xy，然后利用完全平方公式进一步进行因式分解．
【解答】（1）解：x（x﹣a）+y（a﹣x）
＝x（ x﹣a ）﹣y（ x﹣a ）
＝（ x﹣a ）（ x﹣y ）；
（2）解：x3y﹣10x2y+25xy
＝xy（ x2﹣10x+25）
＝xy（ x﹣5）2．
【点评】考查了因式分解﹣提公因式法．当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
56．分解因式
（1）9m2﹣4；
（2）2ax2+12ax+18a；
（3）（x+3）（x﹣5）+x2﹣9．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】（1）（3m+2）（3m﹣2）；
（2）2a（x+3）2；
（3）2（x+3）（x﹣4）．
【分析】（1）利用平方差公式分解因式；
（2）提公因式后，利用完全平方公式分解因式；
（3）先将x2﹣9分解为（x+3）（x﹣3），再提公因式分解因式即可．
【解答】解：（1）9m2﹣4
＝（3m+2）（3m﹣2）；
（2）2ax2+12ax+18a
＝2a（x2+6x+9）
＝2a（x+3）2；
（3）（x+3）（x﹣5）+x2﹣9
＝（x+3）（x﹣5）+（x﹣3）（x+3）
＝（x+3）（x﹣5+x﹣3）
＝（x+3）（2x﹣8）
＝2（x+3）（x﹣4）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
57．因式分解
（1）a2（x﹣2a）2+a（2a﹣x）3
（2）2xy+9﹣x2﹣y2．
【考点】因式分解﹣分组分解法；因式分解﹣提公因式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接提取公因式a（x﹣2a）2，进而分解因式即可；
（2）重新分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）a2（x﹣2a）2+a（2a﹣x）3
＝a2（x﹣2a）2﹣a（x﹣2a）3
＝a（x﹣2a）2[a﹣（x﹣2a）]
＝a（x﹣2a）2（3a﹣x）；
（2）2xy+9﹣x2﹣y2
＝﹣（x2+y2﹣2xy）+9
＝9﹣（x﹣y）2
＝（3+x﹣y）（3﹣x+y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
58．因式分解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先提取（a﹣b）进而利用平方差公式以及提取公因式法分解因式即可．
【解答】解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）
＝（a﹣b）[（3a+b）2﹣（a+3b）2]，
＝（a﹣b）[9a2+b2+6ab﹣（a2+9b2+6ab）]，
＝（a﹣b）（8a2﹣8b2），
＝8（a﹣b）（a2﹣b2），
＝8（a﹣b）2（a+b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，根据已知正确提取公因式是解题关键．
59．若x﹣5是多项式x2+ax+5的一个因式，求a的值．
【考点】因式分解的意义．
【答案】见试题解答内容
【分析】设多项式的另一个因式为x+b，则（x﹣5）（x+b）＝x2+ax+5，然后先求得b的值，从而可得到a的值．
【解答】解：设多项式的另一个因式为x+b．则（x﹣5）（x+b）＝x2+（b﹣5）x﹣5b＝x2+ax+5．
所以﹣5b＝5，解得b＝﹣1．
所以a＝b﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6．
【点评】本题主要考查的是因式分解的意义，确定多项式的另一个因式是解题的关键．
60．因式分解：
（1）2x2﹣8；
（2）x4﹣2x2+1．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】（1）2（x+2）（x﹣2）．
（2）（x+1）2（x﹣1）2．
【分析】（1）利用提公因式法提公因式后，再按照平方差公式分解即可．
（2）先按照完全平方公式分解，再按照平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）2x2﹣8
＝2（x2﹣4）
＝2（x+2）（x﹣2）．
（2）x4﹣2x2+1
＝（x2﹣1）2
＝（x+1）2（x﹣1）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解题的关键．
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1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，该三角形的面积为15，点O是边BC上任意一点，则点O分别到AB，AC边的距离之和等于（ ）
A．5B．7.5C．9D．10
2．等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．60°或120°B．30°或150°C．30°或120°D．60°
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．BC＝ECB．EC＝BEC．BC＝BED．AE＝EC
4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．50°B．70°C．75°D．80°
5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于（ ）
A．10B．9C．8D．6
6．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D在AC上，BC＝BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
7．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）
8．下列各式由左到右是分解因式的是（ ）
A．x2+6x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y） 2
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4） 2
9．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果为（ ）
A．﹣299B．299C．﹣2D．2
10．多项式x3+6x2y+9xy2与x3y﹣9xy3的公因式是（ ）
A．x（x+3y）2B．x（x+3y）C．xy（x+3y）D．x（x﹣3y）
11．下列各式中，属于分式的是（ ）
A．x﹣3B．C．D．
12．下列各式：，，+y，，，其中分式共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．下面四个式子中，分式为（ ）
A．B．C．D．+
14．分式有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≠0B．x≠2
C．x≠0且x≠2D．x为一切实数
15．无论x取什么数，总有意义的分式是（ ）
A．B．C．D．
16．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．1C．0或1D．0或1或﹣1
17．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
18．小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时．
A．B．C．D．
19．计算÷（﹣）的结果为（ ）
A．aB．﹣aC．D．
20．方程＝1的解是（ ）
A．无解B．x＝﹣1C．x＝0D．x＝1
21．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A．B．
C．D．
22．某人承包1125平方米的铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划的1.5倍，结果提前4天完成了任务，则原计划每天铺（ ）
A．70平方米B．65平方米C．75平方米D．85平方米
23．解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（ ）
A．B．C．D．
24．若不等式（a﹣3）x＞2的解集是x＜，则a的取值范围是（ ）
A．a≠3B．a＞3C．a＜3D．a≤3
二．填空题（共21小题）
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB＝10，CD＝3，则S△ABD＝ ．
26．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，已知BD＝2，AB＝4，则DE＝ ．
27．如图：AB∥CD，GN平分∠BGH，HN平分∠DHG，点N到直线AB的距离是2，则点N到直线CD的距离是 ．
28．如图，△ABC中，∠BAC＝100°，DF、EG分别是AB、AC的垂直平分线，则∠DAE等于 度．
29．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长是 ．
30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D，点E分别在边AC，AB上，且DE垂直平分AB．若AD＝2，则CD的长为 ．
31．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为点D．若∠BAC＝30°，则∠DBC的度数为 °．
32．下列各单项式9x2y2、6x4y3、﹣18x3y4的公因式是 ．
33．因式分解：a2﹣4＝ ．
34．分解因式：m2﹣2m+1＝ ．
35．分解因式：x2y2﹣9y2＝ ．
36．因式分解：ax2﹣4a＝ ．
37．分解因式：x2+ax+b＝（x﹣1）（x﹣3），则a+b＝ ．
38．已知x2﹣2x﹣1＝0，则x4﹣x3﹣3x2﹣x+2022＝ ．
39．将分式化成分母为x（x﹣2）的分式： ．
40．分式与的最简公分母为 ．
41．如果2a2+4a﹣1＝0，那么代数式的值是 ．
42．写出一个含有字母m，且m≠2的分式，这个分式可以是 ．
43．若分式有意义，则x应满足 ．
44．当x＝ 时，分式的值是1．
45．如图，已知一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝mx﹣n的图象相交于点P（﹣2，1），则关于不等式x+b≥mx﹣n的解集为 ．
三．解答题（共15小题）
46．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD交AC于点E．
（1）求证：CB＝CE；
（2）若∠CEB＝80°，求∠DBC的大小．
47．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点F为AB上一点，连接CF，过点B作BE⊥BC交CF的延长线于点E，交AD于点H，且∠1＝∠2
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠1＝22°，∠AFC＝110°，求∠BCE的度数．
48．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E．
求证：DF∥AC．
证明：
∵AD平分∠BAC
∴∠ ＝∠ （角平分线的定义）
∵EF垂直平分AD
∴ ＝ （线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）
∴∠BAD＝∠ADF（ ）
∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）
∴DF∥AC（ ）
49．已知BD是△ABC的角平分线，ED⊥BC，∠BAC＝90°，∠C＝30°．
（1）求证：CE＝BE；
（2）若AD＝3，求△ABC的面积．
50．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CE是高，连接DE．
（1）求证：BC＝2DE；
（2）若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．
51．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
52．如图，△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为点F，G，△ADE的周长为6cm．
（1）求△ABC中BC边的长度；
（2）若∠BAC＝116°，求∠DAE的度数．
53．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，BC＝6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）求出发2秒后，PQ的长；
（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．
54．指出下列多项式的公因式：
（1）3a2y﹣3ay+6y；
（2）xy3﹣x3y2；
（3）﹣27a2b3+36a3b2+9a2b．
55．（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）
（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy
56．分解因式
（1）9m2﹣4；
（2）2ax2+12ax+18a；
（3）（x+3）（x﹣5）+x2﹣9．
57．因式分解
（1）a2（x﹣2a）2+a（2a﹣x）3
（2）2xy+9﹣x2﹣y2．
58．因式分解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．
59．若x﹣5是多项式x2+ax+5的一个因式，求a的值．
60．因式分解：
（1）2x2﹣8；
（2）x4﹣2x2+1．
北师大版数学八年级下册期中模拟精品练习（含详细解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共24小题）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，该三角形的面积为15，点O是边BC上任意一点，则点O分别到AB，AC边的距离之和等于（ ）
A．5B．7.5C．9D．10
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：连接AO，
∵在△ABC中，AB＝AC＝6，该三角形的面积为15，
∴三角形ABC的面积
＝△ABO的面积+△ACO的面积
＝
＝
＝
＝15，
解得：OE+OF＝5，
故选：A．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答．
2．等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．60°或120°B．30°或150°C．30°或120°D．60°
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】A
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；
当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．
故选：A．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．BC＝ECB．EC＝BEC．BC＝BED．AE＝EC
【考点】直角三角形的性质；等腰三角形的判定．
【答案】C
【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD＝∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE＝∠DCE，再结合∠BEC＝∠A+∠ACE、∠BCE＝∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC＝∠BCE，利用等角对等边即可得出BC＝BE，此题得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE．
又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC＝∠BCE是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．50°B．70°C．75°D．80°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝25°，
∵∠B＝60°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于（ ）
A．10B．9C．8D．6
【考点】角平分线的性质．
【答案】B
【分析】作EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EH＝DE＝3，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作EH⊥BC于H，
∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线，EH⊥BC，
∴EH＝DE＝3，
∴△BCE的面积＝×BC×EH＝9，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D在AC上，BC＝BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【考点】等腰三角形的判定；平行线的性质．
【答案】C
【分析】由在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°°，BD平分∠ABC，DE∥BC，可求得∠ABD＝∠EDB＝∠DBC＝∠A＝36°，∠BDC＝∠ABC＝∠C＝72°，∠AED＝∠ADE，即可得△ABC，△ABD，△EBD，△BCD，△AED是等腰三角形．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠EDB＝∠A，
∴AD＝BD，EB＝ED，
即△ABD和△EBD是等腰三角形，
∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
即△BCD是等腰三角形，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
即△AED是等腰三角形．
∴图中共有5个等腰三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定、平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
7．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）
【考点】因式分解的意义．
【答案】C
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义．严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．
8．下列各式由左到右是分解因式的是（ ）
A．x2+6x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y） 2
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4） 2
【考点】因式分解的意义．
【答案】D
【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
B．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C．等式两边不相等，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
9．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果为（ ）
A．﹣299B．299C．﹣2D．2
【考点】因式分解﹣提公因式法；有理数的混合运算．
【答案】B
【分析】直接提取公因式（﹣2）99，进而得出答案．
【解答】解：原式＝（﹣2）99×（﹣2+1）
＝（﹣2）99×（﹣1）
＝299．
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
10．多项式x3+6x2y+9xy2与x3y﹣9xy3的公因式是（ ）
A．x（x+3y）2B．x（x+3y）C．xy（x+3y）D．x（x﹣3y）
【考点】公因式．
【答案】B
【分析】分别将多项式x3+6x2y+9xy2与多项式x3y﹣9xy3进行因式分解，再寻找他们的公因式．
【解答】解：∵x3+6x2y+9xy2＝x（x2+6xy+9y2）＝x（x+3y）2，
x3y﹣9xy3＝xy（x2﹣9y2）＝xy（x+3y）（x﹣3y），
∴多项式x3+6x2y+9xy2与多项式x3y﹣9xy3的公因式是x（x+3y）．
故选：B．
【点评】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．
11．下列各式中，属于分式的是（ ）
A．x﹣3B．C．D．
【考点】分式的定义．
【答案】C
【分析】判断分式的依据是看代数式的分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：A、分母中不含字母，不是分式，故选项A错误；
B、分母中不含字母，不是分式，故选项B错误；
C、分母中含有字母，是分式，故选项C正确；
D、分母中不含字母，不是分式，故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．
12．下列各式：，，+y，，，其中分式共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】分式的定义．
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：，+y，的分母均不含有字母，因此他们是整式，而不是分式．，的分母中均含有字母，因此是分式．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
13．下面四个式子中，分式为（ ）
A．B．C．D．+
【考点】分式的定义．
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：A、的分母中不含有字母，因此它是整式，而不是分式，故本选项错误；
B、分母中含有字母，因此它们是分式，故本选项正确；
C、是整式，而不是分式，故本选项错误；
D、的分母中不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的定义，熟知一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式是解答此题的关键．
14．分式有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≠0B．x≠2
C．x≠0且x≠2D．x为一切实数
【考点】分式有意义的条件．
【答案】B
【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零进而得出答案．
【解答】解：分式有意义，
则x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
15．无论x取什么数，总有意义的分式是（ ）
A．B．C．D．
【考点】分式有意义的条件．
【答案】A
【分析】按照分式有意义，分母不为零即可求解．
【解答】解：A．，无论x为何值x4+3≠0，故此分式总有意义，
B．，当7x+8≠0时分式有意义，则x＝﹣时，分式无意义；
C．，x3+2可能为零，故分式有可能无意义；
D．，x2≠0，x≠0时，分式有意义；
故选：A．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，按照分式有意义，分母不为零即可求解．
16．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．1C．0或1D．0或1或﹣1
【考点】分式的值为零的条件．
【答案】A
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣x＝0且x2﹣1≠0，
解得：x＝0．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确解方程是解题关键．
17．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】最简分式．
【答案】B
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A、＝，不是最简分式，错误；
B、是最简分式，正确；
C、＝2﹣x，不是最简分式，错误；
D、＝﹣，不是最简分式，错误；
故选：B．
【点评】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
18．小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时．
A．B．C．D．
【考点】列代数式（分式）．
【答案】C
【分析】设从家到学校的单程为1，那么总路程为2，根据平均速度＝，列分式并化简即可得出答案．
【解答】解：设上学路程为1，则往返总路程为2，上坡时间为，下坡时间为，
则平均速度＝＝（千米/时）．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式以及平均数的求法，用到的知识点是平均速度＝，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
19．计算÷（﹣）的结果为（ ）
A．aB．﹣aC．D．
【考点】分式的乘除法．
【答案】B
【分析】除法转化为乘法，再约分即可得．
【解答】解：原式＝•（﹣a2）＝﹣a，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式的除法运算法则．
20．方程＝1的解是（ ）
A．无解B．x＝﹣1C．x＝0D．x＝1
【考点】解分式方程；分式方程的解．
【答案】C
【分析】移项可得﹣1＝＝0，可得x＝0；
【解答】解：＝1，
∴移项可得﹣1＝＝0，
∴x＝0，
经检验x＝0是方程的根，
∴方程的根是x＝0；
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解法；掌握分式方程的求解方法，验根是关键．
21．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【答案】C
【分析】由每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书可得出每个B型包装箱可以装书（x+15）本，利用数量＝总数÷每个包装箱可以装书数量，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵每个A型包装箱可以装书x本，每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书，
∴每个B型包装箱可以装书（x+15）本．
依题意得：＝﹣6．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．某人承包1125平方米的铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划的1.5倍，结果提前4天完成了任务，则原计划每天铺（ ）
A．70平方米B．65平方米C．75平方米D．85平方米
【考点】分式方程的应用．
【答案】C
【分析】设原计划每天铺x米，根据人承包1125平方米的铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划1.5倍，结果提前4天完成了任务，可列方程求解．
【解答】解：设原计划每天铺x米，
＝3++4
x＝75．
经检验x＝75是方程的解．
故原计划铺75平方米．
故选：C．
【点评】本题考查理解题意的能力，设出计划铺多少，以时间作为等量关系列方程求解．
23．解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（ ）
A．B．C．D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【答案】D
【分析】实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，＞向右＜向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：由图示可看出，这个不等式组的解集是﹣5＜x≤4．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来 （＞，⩾向右画；＜，⩽向左画 ），表示解集时“⩾”，“⩽”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
24．若不等式（a﹣3）x＞2的解集是x＜，则a的取值范围是（ ）
A．a≠3B．a＞3C．a＜3D．a≤3
【考点】解一元一次不等式．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质可得a﹣3＜0，由此求出a的取值范围．
【解答】解：∵（a﹣3）x＞2的解集为x＜，
∴不等式两边同时除以（a﹣3）时不等号的方向改变，
∴a﹣3＜0，
∴a＜3．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质：在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．本题解不等号时方向改变，所以a﹣3小于0．
二．填空题（共21小题）
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB＝10，CD＝3，则S△ABD＝ 15 ．
【考点】角平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝3，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10×3＝15，
故答案为15．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
26．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，已知BD＝2，AB＝4，则DE＝ 6 ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，由垂直平分线的性质得AB＝AC＝CE，即可得到结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴AB＝AC；
又∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC＝EC，
∴AB＝AC＝CE＝5；
∵BD＝CD＝3，
∴DE＝CD+CE＝2+4＝6，
故答案为6．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键．
27．如图：AB∥CD，GN平分∠BGH，HN平分∠DHG，点N到直线AB的距离是2，则点N到直线CD的距离是 2 ．
【考点】角平分线的性质；平行线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】作NP⊥AB于P，NQ⊥EF于Q，NR⊥CD于R，根据角平分线的性质定理解答．
【解答】解：作NP⊥AB于P，NQ⊥EF于Q，NR⊥CD于R，
∵GN平分∠BGH，NP⊥AB，NQ⊥EF，
∴NQ＝NP＝2，
∵HN平分∠DHG，NQ⊥EF，NR⊥CD，
∴NR＝NQ＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
28．如图，△ABC中，∠BAC＝100°，DF、EG分别是AB、AC的垂直平分线，则∠DAE等于 20 度．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】图中涉及两条垂直平分线，要根据其特点，转化为关于等腰三角形的知识解答．
【解答】解：∵DF、EG分别是AB、AC的垂直平分线
∴（1）DA＝DB，则∠B＝∠DAF，设∠B＝∠DAF＝x度
（2）EA＝EC，∠C＝∠EAG，设∠C＝∠EAG＝y度
因为∠BAC＝100°
所以x+y+∠DAE＝100°
根据三角形内角和定理，x+y+x+y+∠DAE＝180°
解得∠DAE＝20°．
【点评】主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
29．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长是 4 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AF．由AB＝AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC＝2EF＝4．
【解答】解：如图，连接AF．
∵AB＝AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD．
∵在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝2，
∴AC＝2EF＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD是解题的关键．
30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D，点E分别在边AC，AB上，且DE垂直平分AB．若AD＝2，则CD的长为 1 ．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AD＝2，DE垂直平分AB．
∴DE＝1，∠DBE＝∠A＝30°，∠CBA＝60°，
∴BD平分∠CBE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝1，
故答案为：1
【点评】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答．
31．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为点D．若∠BAC＝30°，则∠DBC的度数为 15 °．
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C的度数，然后在Rt△DBC中，求出∠DBC的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°；
又∵BD⊥AC垂足为D，
∴∠DBC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣75°＝15°．
故答案为：15．
【点评】要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．注意：本题中可简单的利用同角的余角相等这一性质解题．垂直和直角总是联系在一起．
32．下列各单项式9x2y2、6x4y3、﹣18x3y4的公因式是 3x2y2 ．
【考点】公因式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数3，相同字母的最低指数次幂x2y2，然后即可确定公因式．
【解答】解：单项式9x2y2、6x4y3、﹣18x3y4系数的最大公约数3，相同字母的最低指数次幂x2y2，
∴单项式9x2y2、6x4y3、﹣18x3y4的公因式是3x2y2．
故答案为3x2y2．
【点评】本题主要考查公因式的定义，掌握找公因式的正确方法是解题的关键．找公因式的方法：一是找系数的最大公约数，二是找相同字母的最低指数次幂．
33．因式分解：a2﹣4＝ （a+2）（a﹣2） ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
34．分解因式：m2﹣2m+1＝ （m﹣1）2 ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】符合完全平方公式的结构形式，直接利用完全平方公式分解因式即可．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【解答】解：m2﹣2m+1＝（m﹣1）2．
【点评】本题主要考查完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
35．分解因式：x2y2﹣9y2＝ y2（x+3）（x﹣3） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】y2（x+3）（x﹣3）．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝y2（x2﹣9）
＝y2（x+3）（x﹣3）．
故答案为：y2（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
36．因式分解：ax2﹣4a＝ a（x+2）（x﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可得到答案．
【解答】解：ax2﹣4a
＝a（x2﹣4）
＝a（x﹣2）（x+2）．
故答案为：a（x﹣2）（x+2）．
【点评】本题考查的是因式分解的知识，掌握因式分解的方法：提公因式、乘法公式、十字相乘法和分组分解法是解题的关键．
37．分解因式：x2+ax+b＝（x﹣1）（x﹣3），则a+b＝ ﹣1 ．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【答案】﹣1．
【分析】通过整式乘法运算求解．
【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴x2+ax+b＝x2﹣4x+3，即a＝﹣4，b＝3．
∴a+b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查整式的运算，解题关键是进行乘法运算后对比等式两侧的系数．
38．已知x2﹣2x﹣1＝0，则x4﹣x3﹣3x2﹣x+2022＝ 2022 ．
【考点】因式分解的应用．
【答案】2022．
【分析】把原式变形，变出x2﹣2x的形式即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴x4﹣x3﹣3x2﹣x+2022
＝x4﹣2x3+x3﹣2x2﹣x2﹣x+2022
＝x2（x2﹣2x）+x（x2﹣2x）﹣x2﹣x+2022
＝x2+x﹣x2﹣x+2022
＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是用因式分解进行恒等变形．
39．将分式化成分母为x（x﹣2）的分式： ．
【考点】通分．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的基本性质，直接计算即可．
【解答】解：根据分式的基本性质，在分子分母上同时乘以（x﹣2），
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式的通分，解决此题的关键是能熟记分式的基本性质，要注意分子分母必须同时乘同一个数（或式子）．
40．分式与的最简公分母为 2xy2 ．
【考点】最简公分母．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据最简公分母的定义求解．
【解答】解：分式与的最简公分母为2xy2．
故答案为2xy2．
【点评】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
41．如果2a2+4a﹣1＝0，那么代数式的值是 ．
【考点】分式的化简求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝﹣a（a+2）
＝﹣a2﹣2a，
∵2a2+4a﹣1＝0，
∴a2+2a＝，
∴原式＝﹣，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
42．写出一个含有字母m，且m≠2的分式，这个分式可以是 （答案不唯一） ．
【考点】分式的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式含有字母m，且m≠2，可知当m＝2时分式的分母为0，据此可得分式．
【解答】解：含有字母m，且m≠2的分式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
43．若分式有意义，则x应满足 x≠2 ．
【考点】分式有意义的条件．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零进而得出答案．
【解答】解：若分式有意义，则2﹣x≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
44．当x＝ 5 时，分式的值是1．
【考点】分式的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意列式计算即可．
【解答】解：由题意得，x﹣3＝2，
解得，x＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是求分式的值，根据题意正确列出算式是解题的关键．
45．如图，已知一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝mx﹣n的图象相交于点P（﹣2，1），则关于不等式x+b≥mx﹣n的解集为 x≥﹣2 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．
【解答】解：∵一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝mx﹣n的图象相交于点P（﹣2，1），
∴不等式x+b≥mx﹣n的解集是x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了观察函数图象的能力．
三．解答题（共15小题）
46．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD交AC于点E．
（1）求证：CB＝CE；
（2）若∠CEB＝80°，求∠DBC的大小．
【考点】等腰三角形的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）想办法证明∠CBE＝∠CEB即可．
（2）利用等腰三角形的性质求出∠C即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，∠DBC+∠C＝90°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵∠CBE＝∠CBD+∠DBE，∠CEB＝∠A+∠ABE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CB＝CE．
（2）解：∵∠CEB＝∠CBE＝80°，
∴∠C＝180°﹣2×80°＝20°，
∵∠CDB＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣20°＝70°．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
47．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点F为AB上一点，连接CF，过点B作BE⊥BC交CF的延长线于点E，交AD于点H，且∠1＝∠2
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠1＝22°，∠AFC＝110°，求∠BCE的度数．
【考点】等腰三角形的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）想办法证明∠ABC＝∠ACB即可．
（2）根据∠AFC＝∠FBC+∠ECB，想办法求出∠FBC即可．
【解答】（1）证明：∵EB⊥BC，AD⊥BC，
∴EB∥AD，
∴∠2＝∠BAD，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠ACD＝90°，∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
（2）解：∵∠2＝∠1＝22°，∠EBC＝90°，
∴∠FBC＝68°，
∵∠AFC＝∠FBC+∠ECB，
∴∠ECB＝110°﹣68°＝42°．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
48．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E．
求证：DF∥AC．
证明：
∵AD平分∠BAC
∴∠ BAD ＝∠ DAC （角平分线的定义）
∵EF垂直平分AD
∴ FD ＝ FA （线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）
∴∠BAD＝∠ADF（ 等边对等角 ）
∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）
∴DF∥AC（ 内错角相等两直线平行 ）
【考点】线段垂直平分线的性质；平行线的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等边对等角解决问题即可．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠DAC（角平分线的定义）
∵EF垂直平分AD
∴FD＝FA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）
∴∠BAD＝∠ADF（等边对等角）
∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）
∴DF∥AC（内错角相等两直线平行）．
故答案为：BAD，DAC，FD，FA，等边对等角，内错角相等两直线平行．
【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
49．已知BD是△ABC的角平分线，ED⊥BC，∠BAC＝90°，∠C＝30°．
（1）求证：CE＝BE；
（2）若AD＝3，求△ABC的面积．
【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明DC＝DB即可解决问题．
（2）解直角三角形求出AB，AC即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∴∠C＝∠DBC，
∴DC＝DB，
∵DE⊥BC，
∴EC＝BE．
（2）解：在Rt△ABD中，∵∠A＝90°，AD＝3，∠ABD＝30°，
∴BD＝2AD＝6，AB＝AD＝3，
∴DB＝DC＝6，
∴AC＝9，
∴△ABC的面积＝×＝．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
50．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CE是高，连接DE．
（1）求证：BC＝2DE；
（2）若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BD＝CD，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝BAC，求得∠BAD＝25°，根据三角形的内角和得到∠BCE＝∠BAD＝25°，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴DE＝BD＝CD，
∴BC＝2DE；
（2）解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠BAD＝BAC，
∵∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝25°，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴∠BCE＝∠BAD＝25°，
∵DE＝CD，
∴∠DEC＝∠DCE＝25°，
∴∠BDE＝50°，
∴∠ADE＝40°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
51．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
52．如图，△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为点F，G，△ADE的周长为6cm．
（1）求△ABC中BC边的长度；
（2）若∠BAC＝116°，求∠DAE的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明BC＝△ADE的周长即可解决问题．
（2）求出∠ADE+∠AED即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
则△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝6（cm），
∴BC＝6cm，
（2）∵∠BAC＝116°，
∴∠B+∠C＝180°﹣116°＝64°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，
∵∠ADE＝∠B+∠DAB，∠AED＝∠C+∠EAC，
∴∠ADE+∠AED＝128°，
∴∠DAE＝180°﹣128°＝52°．
【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
53．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，BC＝6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）求出发2秒后，PQ的长；
（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．
【考点】等腰三角形的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；
②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12，易求得t；
③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
【解答】解：（1）BQ＝2×2＝4cm，
BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
PQ＝＝2（cm）；
（2）解：分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5，
∴BC+CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12
∴t＝12÷2＝6秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝＝＝4.8（cm）
∴CE＝＝3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC+CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．
54．指出下列多项式的公因式：
（1）3a2y﹣3ay+6y；
（2）xy3﹣x3y2；
（3）﹣27a2b3+36a3b2+9a2b．
【考点】公因式．
【答案】见试题解答内容
【分析】多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
【解答】解：（1）（3a2y﹣3ay+6y）的公因式是：3y；
（2）（xy3﹣x3y2）的公因式是：xy2；
（3）（﹣27a2b3+36a3b2+9a2b）的公因式是：﹣9a2b．
【点评】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
55．（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）
（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接提取公因式（x﹣a）分解因式即可．
（2）先提取公因式xy，然后利用完全平方公式进一步进行因式分解．
【解答】（1）解：x（x﹣a）+y（a﹣x）
＝x（ x﹣a ）﹣y（ x﹣a ）
＝（ x﹣a ）（ x﹣y ）；
（2）解：x3y﹣10x2y+25xy
＝xy（ x2﹣10x+25）
＝xy（ x﹣5）2．
【点评】考查了因式分解﹣提公因式法．当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
56．分解因式
（1）9m2﹣4；
（2）2ax2+12ax+18a；
（3）（x+3）（x﹣5）+x2﹣9．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】（1）（3m+2）（3m﹣2）；
（2）2a（x+3）2；
（3）2（x+3）（x﹣4）．
【分析】（1）利用平方差公式分解因式；
（2）提公因式后，利用完全平方公式分解因式；
（3）先将x2﹣9分解为（x+3）（x﹣3），再提公因式分解因式即可．
【解答】解：（1）9m2﹣4
＝（3m+2）（3m﹣2）；
（2）2ax2+12ax+18a
＝2a（x2+6x+9）
＝2a（x+3）2；
（3）（x+3）（x﹣5）+x2﹣9
＝（x+3）（x﹣5）+（x﹣3）（x+3）
＝（x+3）（x﹣5+x﹣3）
＝（x+3）（2x﹣8）
＝2（x+3）（x﹣4）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
57．因式分解
（1）a2（x﹣2a）2+a（2a﹣x）3
（2）2xy+9﹣x2﹣y2．
【考点】因式分解﹣分组分解法；因式分解﹣提公因式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接提取公因式a（x﹣2a）2，进而分解因式即可；
（2）重新分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）a2（x﹣2a）2+a（2a﹣x）3
＝a2（x﹣2a）2﹣a（x﹣2a）3
＝a（x﹣2a）2[a﹣（x﹣2a）]
＝a（x﹣2a）2（3a﹣x）；
（2）2xy+9﹣x2﹣y2
＝﹣（x2+y2﹣2xy）+9
＝9﹣（x﹣y）2
＝（3+x﹣y）（3﹣x+y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
58．因式分解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先提取（a﹣b）进而利用平方差公式以及提取公因式法分解因式即可．
【解答】解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）
＝（a﹣b）[（3a+b）2﹣（a+3b）2]，
＝（a﹣b）[9a2+b2+6ab﹣（a2+9b2+6ab）]，
＝（a﹣b）（8a2﹣8b2），
＝8（a﹣b）（a2﹣b2），
＝8（a﹣b）2（a+b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，根据已知正确提取公因式是解题关键．
59．若x﹣5是多项式x2+ax+5的一个因式，求a的值．
【考点】因式分解的意义．
【答案】见试题解答内容
【分析】设多项式的另一个因式为x+b，则（x﹣5）（x+b）＝x2+ax+5，然后先求得b的值，从而可得到a的值．
【解答】解：设多项式的另一个因式为x+b．则（x﹣5）（x+b）＝x2+（b﹣5）x﹣5b＝x2+ax+5．
所以﹣5b＝5，解得b＝﹣1．
所以a＝b﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6．
【点评】本题主要考查的是因式分解的意义，确定多项式的另一个因式是解题的关键．
60．因式分解：
（1）2x2﹣8；
（2）x4﹣2x2+1．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】（1）2（x+2）（x﹣2）．
（2）（x+1）2（x﹣1）2．
【分析】（1）利用提公因式法提公因式后，再按照平方差公式分解即可．
（2）先按照完全平方公式分解，再按照平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）2x2﹣8
＝2（x2﹣4）
＝2（x+2）（x﹣2）．
（2）x4﹣2x2+1
＝（x2﹣1）2
＝（x+1）2（x﹣1）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解题的关键．
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