湖北省黄冈市部分学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案）

2022-2023学年湖北省黄冈市部分学校八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  使式子有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列各组数中，以、、为边长的三角形不是直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4.  若直角三角形中，斜边的长为，一条直角边长为，则这个三角形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，、、分别是各边的中点，是高，如果，那么的长为(    )

A.
B.
C.
D. 不能确定

6.  已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，是上一动点，过点作直线设交的平分线于点，交的外角平分线于点，若点运动到的中点，且时，则四边形是正方形．(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，，过点作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得，，依此法继续作下去，得(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  比较大小：______填“、、或”

10.  在实数范围内分解因式： ______ ．

11.  如图，在中，，是高，，则 ______ ．

12.  如图，在平行四边形中，已知对角线和相交于点，的周长为，，那么对角线______．

13.  直角三角形中两锐角平分线相交所成的角的度数是______．

14.  如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为______ ．

15.  如图，在中，点是的中点，点、分别在线段及其延长线上，且，给出下列条件：；；；从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是______只填写序号．

16.  如图所示，在矩形中，，，是上的动点，，于，则的值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：
；
．

19.  本小题分
已知 ，且为奇数，求的值．

20.  本小题分
某港口位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里它们离开港口小时后相距海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
 

21.  本小题分
在▱中，点、分别在、上，且求证：四边形是平行四边形．

22.  本小题分
如图，分别以的直角边及斜边向外作等边及等边，已知：，，垂足为，连接．
试说明：；
求证：四边形是平行四边形．
 

23.  本小题分
已知：如图．矩形中，是与的交点，过点的直线与、的延长线分别相交于点、．
求证：≌；
当与满足什么关系时，以、、、为顶点的四边形是菱形？并给出证明．

24.  本小题分
观察下列各式及证明过程：
；；．
验证：；．
按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出两个类似的等式，并选择其中一个写出验证过程；
针对上述各式反映的规律，写出用为自然数，且表示的等式，并验证．

25.  本小题分
如图，为正方形的边上一动点与、不重合，连接，过点作交于点，将沿所在的直线对折得到，延长交的延长线于点．
试探究与的数量关系，并证明你的结论；
当，，求的长；
当，时，求的长．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：式子有意义，
，解得．
故选：．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．，所以选项不符合题意；
B.与不能合并，所以选项不符合题意；
C.，所以选项符合题意；
D.，所以选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的性质对选项和选项进行判断；根据二次根式的加减法对选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项A中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意；
，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，可以判断出各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
 

4.【答案】 

【解析】解：设另一直角边为，
斜边的长为，一条直角边长为，
，
．
故选：．
设另一直角边为，根据勾股定理求出的值，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题利用了三角形中位线的性质和直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的性质．
由三角形中位线定理和直角三角形的性质可知，．
【解答】
解：点，分别是，的中点，
是三角形的中位线，有，
，点是的中点，
是中斜边上的中线，有，
．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：如图，由题意可设，，，，
在中，，
则，
故菱形的面积为，
故选：．

根据菱形的对角线互相垂直平分，可得菱形两条对角线的一半与边长在同一个直角三角形中，根据勾股定理可得另一条对角线的一半的长度，根据菱形的面积为对角线乘积的一半，可得答案．
本题考查菱形的性质、菱形的面积计算、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点，作，，
，为，的角平分线，
．
，
，
，
，
．
同理，
，
点运动到的中点，
，
四边形为一矩形，
若，则，
四边形为正方形．
故选：．
由题意可得四边形为一矩形，要使四边形是正方形，只需添加一条件，使其邻边相等即可．
本题考查正方形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些知识是解决问题的关键，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，，

，
故选：．
从数字找规律，即可解答．
本题考查了规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
而，
．
故答案为：．
先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．
此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较次方的方法等．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式

故答案为：
利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解即可．
本题主要考查了在实数范围内因式分解，熟练掌握提取公因式法和平方差公式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：在直角中，，，且，
，
，
，
．
故答案为：．
根据同角的余角相等知，，所以分别在和中利用锐角所对的直角边等于斜边的一半即可求出．
本题考查了同角的余角相等和锐角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：的周长为，，
，
．
故答案为：．
求出，根据平行四边形的性质，即可求解．
本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
 

13.【答案】或 

【解析】解：如图，，
、分别是和的角平分线，
，
，
，
两锐角的平分线的夹角是或，
故答案为：或．
作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线的定义可得，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，即为两角平分线的夹角．
本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
在中，，，，
，
即．
又于，于，
四边形是矩形，
，
的最小值即为直角三角形斜边上的高，即，
的最小值为，
故答案为：．
根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，知：的最小值即等于直角三角形斜边上的高．
本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
时，四边形是矩形，不一定是菱形；
时，是的中点，
是的中垂线，
，
平行四边形是菱形．
四边形是平行四边形，则一定成立，故不一定是菱形；
故答案是：．
根据点是的中点，点、分别是线段及其延长线上，且，即可证明四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理即可作出判断．
本题考查了菱形的判定方法，菱形的判别常用三种方法：
定义；四边相等；对角线互相垂直平分．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质和三角形的面积求出，根据勾股定理求出，求出、、根据三角形面积公式求出即可．
本题考查了三角形面积，矩形的性质，勾股定理的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等，等底等高的三角形面积相等．
 

17.【答案】解：四边形为矩形，
，，，
折叠矩形的一边，使点落在边的点处
，，
在中，，
，
设，则，，
在中，
，
，解得，
的长为． 

【解析】根据矩形的性质得，，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，在中，根据勾股定理得，然后解方程即可．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
 

18.【答案】解：


；



． 

【解析】先算乘法和零指数幂，再算减法即可；
先算乘除法，再化简，然后计算加减法即可．
本题考查二次根式的混合运算、零指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
解得．
又是奇数，．
当时，
原式
． 

【解析】先根据二次根式的乘除法则求出的值，再把原式进行化简，把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：根据题意，得
海里，
海里，
海里，
，
即，
．
由“远洋号”沿东北方向航行可知，，则，
即“海天”号沿西北方向航行． 

【解析】本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据路程速度时间分别求得、的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形是直角三角形，从而求解．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，，求出，根据平行四边形的判定得出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
 

22.【答案】解：在中，，
，
又是等边三角形，，
，
在和中，
≌，
．
是等边三角形，
，，
，
又，
，
，，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得≌是关键．
首先由中，由可以得到，又由是等边三角形，，由此得到，然后证得≌，继而证得结论；
根据知道，而是等边三角形，所以，并且，而，由此得到，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形．
 

23.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
，，
在与中，
，
≌；
当时，四边形是菱形．
证明：≌，
，
四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】由矩形的性质：，证得≌；
若四边形是菱形，则对角线互相垂直，进而解答即可．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和菱形的判定．解答此题的关键是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定与性质定理．
 

24.【答案】解：答案不唯一，如：，，
证明：；
，
证明：． 

【解析】按照规律写猜想并证明；
按规律写出第一个数换为，第二个数换为，第三个数换为的等式．
本题考查了算术平方根的计算和等式证明，认真阅读条件式子再根据规律猜想和证明是解题关键．
 

25.【答案】解：．
理由：四边形是正方形，
，，
．
，，
．
在和中，
≌，
；
过点作于，如图．
四边形是正方形，
．
，
，，
，
．
四边形是正方形，
，
．
由折叠可得，
，
．
设，则有，．
在中，
根据勾股定理可得，解得．
的长为；
过点作于，如图．
四边形是正方形，，，
．
，
，
．
设，则有，．
在中，
根据勾股定理可得，
解得，
．
的长为． 

【解析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，设未知数，然后运用勾股定理建立方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握．
要证，只需证≌即可；
过点作于，如图．易得，，，然后运用勾股定理可求得即，易得，从而有由折叠可得，即可得到，即可得到设，则有，在中运用勾股定理就可解决问题；
过点作于，如图，同的方法求出的长，就可得到的长．