2022-2023学年湖北省黄冈市黄梅县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省黄冈市黄梅县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列式子计算结果正确的是( )
A. 2+ 5= 7B. 6÷ 3= 2
C. 2 2×3 2=6 2D. 6 2− 2=6
2. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A：∠B：∠C=1：2：3B. ∠A+∠B=∠C
C. a=32，b=42，c=52D. a2−b2=c2
3. 给出下列判断，正确的是( )
A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．
4. 若y= x−3+ 6−2x−4，则点P(x,y)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5. 如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF，若∠ABE=35°，则∠CFD的度数为( )
A. 80°
B. 70°
C. 75°
D. 45°
6. 如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AB，AC与BD相交于O，若AB=3，AD=5，则BD的长为( )
A. 2 13B. 13C. 2 11D. 11
7. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab=8，大正方形的面积为25，则EF的长为( )
A. 9B. 9 2C. 3 2D. 3
8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=8，AB=4 3，点H、G分别是边CD、BC上的动点，连接AH、GH，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为( )
A. 2B. 3C. 2 3D. 4
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 如果式子 1−xx+2有意义，那么x的取值范围是 ．
10. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是______ ．
11. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F是AO的中点，连接EF.若AC=12，则EF= ______ ．
12. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a|− b2− (a+b)2结果为______ ．
13. 某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪(如图所示)，测温仪离地面的距离AB=2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的感应器地方时(即BC=0.8米)，则人头顶离测温仪的距离AD等于______ 米.
14. 如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA=OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2.则OC的长为______cm．
15. 斐波那契(约1170−1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n个数可以用1 5[(1+ 52)n−(1− 52)n]表示.通过计算求出斐波那契数列中的第2个数为______ ．
16. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°.△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，连接DE交AB于点G，EF与AC交于点H.以下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=14BD.其中，正确的结论有______.(填写所有正确结论的序号)
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题9.0分)
计算：
(1)2 12+3 6−6 13− 24；
(2)3 18÷ 2+ 12× 3−( 5+2)( 5−2)；
(3)( 2+1)2−( 24)−1+( 2023−1)0．
18. (本小题8.0分)
已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，请解决下列问题．
(1)若∠C=90°，a=24，c=25，求b；
(2)若a、b、c三边满足|a−5|+(b−12)2+ c−13=0，试判断△ABC的形状．
19. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF．
(1)求证：AE=CF；
(2)若AD=AE，∠DFC=140°，求∠DAE的度数．
20. (本小题8.0分)
求值：
(1)已知x= 3+ 5，y= 3− 5，试求代数式2x2−4xy+2y2的值．
(2)先化简，再求值：(x−yx2−2xy+y2−xx2−2xy)÷yx−2y，其中x=2 2+1，y=1− 2．
21. (本小题8.0分)
“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措.如图，某村有一块三角形空地ABC，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点D是BC边上的一点，过点D作垂直于AC的小路DE.经测量，AB=13米，AD=12米，AC=15米，BD=5米．
(1)求DC的长；
(2)求小路DE的长．
22. (本小题8.0分)
如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于F，连接AE，CF．
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AB=4，BC=8，求EF的长．
23. (本小题10.0分)
如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．
(1)【猜想】：如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是______ ，位置关系是______ ．
(2)【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，(1)中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=5，CE=2 2，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是______ ．
24. (本小题13.0分)
如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是(−6,8)．

(1)动点P从点B出发，沿BC方向以每秒2个单位的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CO方向以每秒2个单位的速度向点O匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.设运动时间为t(s)(0①当点C在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值；
②是否存在某一时刻t，使△ABP≌△PCQ？若存在，求出t的值，并判断此时∠APQ的度数；
(2)矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．
①求点D的坐标；
②若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： 2+ 5不能合并，故选项A错误，不符合题意；
6÷ 3= 2，故选项B正确，符合题意；
2 2×3 2=12，故选项C错误，不符合题意；
6 2− 2=5 2，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
根据二次根式混合运算的运算法则可以判断各个选项是否正确，本题得以解决．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
B、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
C、∵(32)2+(42)2≠(52)2，
∴△ABC不是直角三角形；
D、∵a2−b2=c2，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理求出最大角，即可判断．
本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，能熟记定理的内容是解此题的关键．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
根据平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】
解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故不符合题意；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故不符合题意；
D、有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故符合题意，
故选：D．
4.【答案】D
【解析】解：由题意得：
x−3≥0且6−2x≥0，
解得：x≥3且x≤3，
∴x=3，
∴y=−4，
∴点P(3,−4)在第四象限，
故选：D．
根据二次根式 a(a≥0)可得x−3≥0且6−2x≥0，从而可得x=3，进而可得y=−4，然后根据平面直角坐标系中点的坐标特征，即可解答．
本题考查了二次根式有意义的条件，点的坐标，熟练掌握二次根式 a(a≥0)是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCF=∠DCF=∠BAF=45°，
∵∠ABE=35°，
∴∠CFB=∠ABE+∠BAF=80°，
在△BCF和△DCF中，
BC=DC∠BCF=∠DCFCF=CF，
∴△BCF≌△DCF(SAS)，
∴∠CFD=∠CFB=80°，
故选：A．
先根据正方形的性质、三角形的外角性质可得∠CFB=80°，再根据SAS定理证出△BCF≌△DCF，然后根据全等三角形的性质即可得．
本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，AD//CB，
∵AC⊥BC，
∴AC= BC2−AB2= 52−32=4，
∴AO=CO=2，
∴BO= AB2+OA2= 32+22= 13，
∴BD=2BO=2 13，
故选：A．
根据平行四边形的性质得出BC=AD=3，AD//CB，再由勾股定理确定AC=4，利用平行四边形的性质确定AO=CO=2，继续利用勾股定理求解即可．
本题主要考查平行四边形的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
a2+b2=25，ab=8，
∴(a−b)2
=a2−2ab+b2
=(a2+b2)−2ab
=25−2×8
=25−16
=9，
由图可知：EF2=(a−b)2+(a−b)2，
∴EF2=9+9，
解得EF=3 2，
故选：C．
根据题意和图形可知：a2+b2=25，ab=8，即可得到(a−b)2的值，然后即可计算出EF的值．
本题考查勾股定理的证明、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】B
【解析】解：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．

∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，
∴∠D=180°−∠BCD=60°，AB=CD=4 3，
∵AM=DM=DC=4 3，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，CM=DM=AM，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AC=12，
在Rt△ACN中，AC=12，∠ACN=∠DAC=30°，
∴AN=12AC=6，
∵AE=EH，GF=FH，
∴EF=12AG=3，
∵G是边BC上的动点，
∴AG的最小值为AN的长，
∴EF的最小值为3．
故选：B．
如图，连接AC，作AN⊥BC于N.首先证明∠ACD=90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF=12AG，求出AG的最小值即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD=90°．
9.【答案】x≤1且x≠−2
【解析】解：根据题意得：1−x≥02+x≠0，
解得x≤1且x≠−2，
故答案为：x≤1且x≠−2．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可．
本题考查的知识点为：分式有意义的条件是分母不等于0；二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0；正确列式是解题的关键．
10.【答案】9
【解析】解：由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D−S正方形C=S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B=S正方形D−S正方形C
∵正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，
∴S正方形B+5=20−6，
∴S正方形B=9．
故答案为：9．
根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D−S正方形C=S正方形E解得即可．
本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
11.【答案】3
【解析】解：在矩形ABCD中，AO=OC=12AC，AC=BD=12，
∵点F是AO的中点，点E为边AD的中点，
∴EF为△AOD的中位线，
∴EF=12OD=14BD=3．
故答案为：3．
由AC=4AF可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．
本题考查矩形的性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
12.【答案】0
【解析】解：由实数a、b在数轴上的位置可知，a<0|b|，
∴a+b<0，
∴原式=−a−|b|−|a+b|
=−a−b+a+b
=0，
故答案为：0．
根据实数a、b在数轴上的位置确定a、b、a+b的符号，再根据绝对值，二次根式的性质和化简方法进行计算即可．
本题考查二次根式的性质与化简，绝对值，理解绝对值的定义，掌握二次根式的性质与化简方法是正确解答的前提．
13.【答案】1.0
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵AB=2.4米，BE=CD=1.8米，ED=BC=0.8米，
∴AE=AB−BE=2.4−1.8=0.6(米)，
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：
AD= AE2+DE2= 0．82+0．62=1.0(米)，
故答案为：1.0．
过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
14.【答案】4
【解析】解：根据作图方法，可得AC=BC=OA，
∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB是菱形．
∵AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴12AB×OC=12×2×OC=4，
解得OC=4．
故答案为：4．
四边形OACB的四条边都相等，则这个四边形是菱形．AB和OC是菱形OACB的两条对角线，则菱形的面积=12AB×OC．
本题侧重考查尺规作图，掌握四边相等的四边形是菱形、对角线相互垂直的四边形的面积是其两条对角线乘积的一半是解决此题的关键．
15.【答案】1
【解析】解：第2个数，当n=2时，
1 5[(1+ 52)n−(1− 52)n]
=1 5[(1+ 52)2−(1− 52)2]
=1 5×(1+ 52+1− 52)(1+ 52−1− 52)
=1 5×1× 5
=1．
故答案为：1．
把2代入式子化简求得答案即可．
此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
16.【答案】①③④
【解析】解：①如图，连接CF，
∵∠ACB=90°，F为AB中点，
∴CF=12AB=AF，
∴点F在AC的垂直平分线上，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE=CE，
∴点E在AC的垂直平分线上，
∴EF⊥AC，故①正确；
②∵△ABD是等边三角形，F是AB中点，
∴DF⊥AB，
∴AD>DF，
∴四边形ADFE不可能是菱形，故②不正确；
③∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD，∠DAB=60°，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠DAB=∠ABC=60°，
∴AD//BC，
∵AC⊥EF，∠ACB=90°，
∴EF//AD，
∵△ACE是等边三角形，EF⊥AC，
∴∠AEC=∠CAE=60°，∠AEF=30°，
∴EF=2AF=AB，
∴AD=EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AG=12AF=14AB=14AD，
∴AD=4AG，故③正确；
④∵∠BAC=30°，
∴FH=12AF=14AB=14BD，
∴FH=14BD，故④正确；
正确的结论有①③④，
故答案为：①③④．
连接CF，证明点E，点F在AC的垂直平分线上，即可判断①正确；根据等腰三角形的性质可得DF⊥AB，所以AD>DF，进而可以判断②错误；根据等边三角形的性质，证明四边形ADFE是平行四边形，进而可以判断③正确；根据含30度角的直角三角形即可判断④正确．
本题考查了菱形的判定、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=4 3+3 6−2 3−2 6
=2 3+ 6；
(2)原式=9+6−5+4
=14；
(3)原式=2+2 2+1−2 2+1
=4．
【解析】(1)先化简二次根式，再合并即可；
(2)先计算乘法和除法，再计算加减即可；
(3)先利用完全平方公式、负整数指数幂和零指数幂的法则计算，再计算加减即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)∵∠C=90°，a=24 c=25，
∴b= c2−a2= 252−242=7；
(2)△ABC是直角三角形，
理由：∵|a−5|+(b−12)2+ c−13=0，
∴a−5=0，b−12=0，c−13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵a2+b2=52+122=169，c2=132=169，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】(1)根据勾股定理得出b即可；
(2)根据非负性得出a，b，c的值，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．
此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据利用勾股定理的逆定理解答．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵BE=DF，
在△ABE与△CDF中
AB=DC∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)
∴AE=CF；
(2)由(1)知，△ABE≌△CDF，则∠AEB=∠DFC=140°．
∴∠DEA=40°．
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠DEA=40°．
∴∠DAE=180°−2∠ADE=100°．
【解析】(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
(2)由(1)中全等三角形的对应角相等推知：∠AEB=∠DFC=140°，则∠DEA=40°；然后根据等腰△ADE的性质和三角形内角和定理求解即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
20.【答案】解：(1)2x2−4xy+2y2
=2(x2−2xy+y2)
=2(x−y)2，
当x= 3+ 5，y= 3− 5时
原式=2( 3+ 5− 3+ 5)2
=2×20
=40；
(2)原式=[x−y(x−y)2−xx(x−2y)]⋅x−2yy
=(1x−y−1x−2y)⋅x−2yy
=[(x−2y)−(x−y)(x−y)(x−2y)]⋅x−2yy
=−y(x−y)(x−2y)⋅x−2yy
=1−(x−y)，
当x=2 2+1，y=1− 2时，原式=−13 2=− 26．
【解析】(1)首先把代数式进行变形，然后再代入x、y的值，进而可得答案；
(2)首先把分式化简，先算括号里面的减法，再算括号外的除法，化简后，再代入x、y的值即可．
此题主要考查了二次根式的化简求值，以及分式的混合计算，关键是正确把代数式和分式化简．
21.【答案】解：(1)∵AB=13米，AD=12米，BD=5米，
∴AB2=BD2+AD2，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AC=15米，
∴CD= AC2−AD2=9(米)；
(2)∵DE⊥AC，
∴S△ADC=12AD⋅CD=12AC⋅DE，
∴DE=AD⋅DCAC=12×915=365(米)，
故小路DE的长为365米．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论；
(2)根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题主要考查了勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方法，属于常考题型．
22.【答案】(1)证明：∵点O是AC的中点，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴FA=FC，EA=EC，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
∠FAO=∠ECOOA=OC∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴FA=EC，
∴AE=EC=CF=FA，
∴四边形AECF为菱形；
(2)解：设AE=CE=x，
则BE=8−x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，
∴AC=4 5，
∴AO=2 5．
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BE2=AE2，
即42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
即AE=5．
在Rt△AEO中，由勾股定理得AO2+OE2=AE2，
∴OE= AE2−AO2= 52−(2 5)2= 5，
∴EF=2OE=2 5．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；
(2)由勾股定理可求BE，AC的长，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证得△AOF≌△COE是解题的关键．
23.【答案】BE=AD BE⊥AD 21+2或 21−2
【解析】解：(1)∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC，
∴AC−DC=BC−EC，
∴BE=AD，
点E在BC上，点D在AC上，且∠ACB=90°，
∴BE⊥AD，
故答案为：BE=AD，BE⊥AD；
(2)成立．理由如下：
如图2，AC与BE交于M，AD与BE交于N，
由题意可知：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠CE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE与△ACD中，
BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，∠CAD=∠CBE，
又∵∠ACB=90°，∠BMC=∠AMN，
在△ANM中，
∴∠MAN+∠AMN=∠CBE+∠BMC=90°，
∴∠ANM=90°，
∴BE⊥AD，
所以结论成立；

(3)①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，

∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=2 2，
∴DE= CE2+CD2=4，
∵CM⊥AD，
∴CM=EM=12DE=2，
在Rt△ACM中，AC=5，
∴AM= AC2−CM2= 52−22= 21，
∴AE=AM−EM= 21−2；
②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N，

∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=2 2，
∴DE= CE2+CD2=4，
∵CN⊥AD，
∴CN=NE=12DE=2，
在Rt△ACN中，AC=5，
∴AN= AC2−CN2= 52−22= 21，
∴AE=AN+NE= 21+2，
综上，AE的长为 21+2或 21−2．
故答案为： 21+2或 21−2．
(1)利用等腰直角三角形的性质得出AC=BC，EC=DC，再作差，得出BE=AD，再用∠ACB=90°，即可得出结论；
(2)先由旋转的性质得出∠BCE=∠ACD，进而判断出△BCE≌△ACD(SAS)，得出BE=AD，∠CAD=∠CBE，AC与BE交于M，AD与BE交于N，利用全等的性质和对顶角相等进而得出∠MAN+∠AMN=90°，即可得出结论；
(3)分两种情况，①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，求出CM=EM=12DE=2，再用勾股定理求出AM，利用线段的加减即可得出结论；
②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N，求出CM=EM=12DE=4，再由勾股定理求出根据勾股定理得，AN，利用线段的加减即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)①由题意得，BP=CQ=2t，
∴PC=BC−BP=(8−2t)，
∵点C在线段PQ的垂直平分线上，
∴PC=CQ，
即8−2t=2t，
∴t=2；
②存在某一时刻t，使△ABP≌△PCQ，
∵△ABP≌△PCQ，∠B=∠C=90°，
∴AB=PC，BP=CQ，∠APB=∠PQC，
∴8−2t=6，
∴t=1，
∵∠PQC+∠QPC=90°，
∴∠APB+∠QPC=90°，
∴∠APQ=90°．
(2)①∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标是(−6,8)，
∴∠BAD=∠OCB=90°，AB=OC=6，OA=BC=8，
∴BO=10；
由折叠的性质得：BE=AB=6，∠BED=∠BAD=90°，DE=AD，
∴OE=BO−BE=10−6=4，∠OED=90°，
设D(0,a)，则OD=a，DE=AD=OA−OD=8−a，
在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE2+OE2=OD2，
即(8−a)2+42=a2，
解得：a=5，
∴D(0,5)；
②当OE、OM是菱形的边时，

∵OE=4，
∴OM=OE=4，
∴M(4,0)，或(−4,0)，
当OE是对角线，OM是边长时，

∵OB=10，OC=6，BC=8，OE=4
∴cs∠COB=OCOB=35，
∴cs∠HOM=OHOM=35，
∵OH=12OE=2，
∴OM=103，
∴M(−103,0)；
当OM是对角线，OE是边长时，

∵OB=10，OC=6，BC=8，OE=4
cs∠COB=OCOB=35，
∴cs∠HOE=OHOE=35，
∴OH=125，
∴OM=245，
∴M(−245,0)；
综上，点M的坐标为(4,0)或(−4,0)或(−103,0)或(−245,0)．
【解析】(1)①根据线段垂直平分线的性质可得PC=CQ即可解答；
②根据全等三角形的性质可知8−2t=6即可解答；
(2)①根据矩形的性质及折叠的性质可得OE=4，∠OED=90°，最后利用勾股定理即可解答；
②根据菱形的性质分情况讨论即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．