贵州省贵阳市五校2022届高三联合考试（六）理数试题

贵阳市五校2022届高三年级联合考试（六）

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．由，解得，即，即，又由

，即，所以，故选B．

2．由，解得，则，故在复平面内对应的点位于第四象限，故选A．

3．故①正确；“”是“”的必要不充分条件，② 错误；若“”为假命题，则均为假命题，故“”为真命题，③正确，假设且，则，与矛盾，故④正确，故选C．

4．设B点的坐标为，由抛物线方程，得，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为1米，故选D．

5．由得，其中为向量夹角．，即向量在向量方向上的投影，故选B．

6. 根据三视图还原该几何体如图1所示，图中可得，，，．从而，，，所以该几何体的表面积为，故选D．

7．因为与关于y轴对称，，所以，，则，，(或)，所以

，故，故选A．

8．函数的定义域为，故排除B，当时，，故排除A，D，故选C．

9． 设男生人数为，依题意可得列联表如下：

若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则，

由，解得，因为为整数，所以若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有人，故选A．

10．三棱锥中，平面，则，，直角三角形中，，则，又，，则平面，则，则线段中点为三棱锥的外接球的球心，又由，可得，则三棱锥的外接球的半径为1，故在球O内任取一点，该点取自三棱锥内的概率为，故选D．

11．当时，，，两式相减，整理得

①，又当时，②，①②，整理得

，又因，得，从而数列为等差数列当时，即，解得，所以公差，则，故当时，

，

易见随的增大而增大，从而恒成立，所以，故的最小值为，故选C．

12．由不等式恒成立，可知对恒成立．设，则该函数为上的增函数，故，故对任意的恒成立，设，则，当时，，故为上的增函数，而当时，有，不合题意；当时，对任意的恒成立，当时，若，则，当时，，故在为减函数，在为增函数，故，所以，故，综上：的取值范围是，故选B．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13． 因为，所以，又因为正方形面积之和为，所以，所以，故公差，所以．

14．展开式的通项，所以展开式中的系数为．

15．如图2所示，在中，，．所以，故点在圆上．因为．所以直线与圆存在交点．则点到直线的距离，即．

16．，则，，所以，，则在上单调递减，且，，所以，代入，可得，又，所以，即．令，画出的图象如图3：当时，，，即在上共有六个根，，即，则．

图3

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

解：（1）由正弦定理及，

得，

∵sin A≠0，∴，

∴，

∴，

又，

．…………………………………………………………………（6分）

（2）由，及余弦定理，

得，

∴，

又，

，

故三角形ABC的周长的取值范围．……………………………………………（12分）

18．（本小题满分12分）

解：（1）因为100位居民中，共有78位居民非常满意，

所以，解得，

又，解得．………………………………………（4分）

（2）由（1）可知，年龄在[35，45)的居民共有25人，年龄在[45，55)的居民共有20人，按分层抽样抽取9人，则共有5人年龄在[35，45)内，4人年龄在[45，55)内．

由题可知X所有可能的取值分别为．可得

，，

，，

则X的分布列为

所以．………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（1）直线平面．证明如下：

分别是的中点，

，

又，

，

又，

，

又，

．…………………………………………………………………………（6分）

（2）方法一：在平面内，过点作，如图4建系．

则，

，

设的一个法向量为，

则

，

同理可得，的一个法向量为，

，

，

即二面角的正弦值为．………………………………………………（12分）

方法二：连接交于，连接，则．

，如图5建系．

则，

，

 设的一个法向量为，

则

，

同理可得，的一个法向量为，

，

，

即二面角的正弦值为．………………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

（1）解：当直线与轴垂直时，的周长 ；

，

，

所以内切圆半径．………………………………………（4分）

（2）证明：若证，，成等差数列，即证：；

设，（不妨令在轴上方），又设直线：，

：，所以，

联立和椭圆方程消去得，

化简得，

，由韦达定理，得，，

此时：

（※），

将韦达定理带入

（※）

，

又，

所以，

所以，，的斜率，，成等差数列．………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

 解：（1），

，

是定义域上的单调递增函数，

在定义域上恒成立，即在上恒成立．

即，令，则，当且仅当等号成立．

实数的取值范围为，．…………………………………………………（5分）

（2）由（1）知，

根据题意由有两个极值点，即方程有两个正根，．

所以，，

不妨设，则在，上是减函数，

，

，

令，则，又，

即，解得，．

设，

则，在，上单调递增，

， ，，

即，

所以的取值范围为．……………………………………（12分）

22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

解：（1）点M在曲线C上，，

．…………………………………………………………………（5分）

（2）直线l的极坐标方程为，

直线l的直角坐标方程为：．

点P在曲线C上，设，

则点P到直线l的距离为，    

当时，．……………………………………………………………（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】

（1）证明：由，且，得，

故，所以，又，

所以，即．……………………………………………………（5分）

（2）解：由且，得，且，

所以≥，

当且仅当取等号，所以的最小值为．……………………………………（10分