2023届贵州省贵阳市高三下学期适应性考试（一）数学（文）试题含解析

2023届贵州省贵阳市高三下学期适应性考试（一）数学（文）试题

一、单选题

1．集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解不等式可求得集合，由交集定义可得结果.

【详解】由得：或，即，

.

故选：C.

2．已知是虚数单位，复数的共轭复数的虚部为（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】C

【分析】利用复数乘方运算得到，从而得到的共轭复数及其虚部.

【详解】，

故复数的共轭复数为，故共轭复数的虚部为4.

故选：C

3．在一场跳水比赛中，7位裁判给某选手打分从低到高依次为，8.1，8.4，8.5，9.0，9.5，，若去掉一个最高分和一个最低分后的平均分与不去掉的平均分相同，那么最低分的值不可能是（    ）

A．7.7 B．7.8 C．7.9 D．8.0

【答案】D

【分析】根据所给条件可得出，再由的范围验证选项即可得解.

【详解】因为去掉最高分与最低分后平均分为，

所以，

解得，

由于得分按照从低到高的顺序排列的，故，，

当时，，满足上述条件，故A错误；当时，，满足上述条件，故B错误；当时，，满足上述条件，故C错误；当时，，不满足上述条件，故D正确.

故选：D

4．等差数列中，，则数列的前9项之和为（    ）

A．24 B．27 C．48 D．54

【答案】B

【分析】根据等差数列下标和性质求出，再根据等差数列求和公式计算可得.

【详解】解：在等差数列中，，则

所以，又，

所以，

所以.

故选：B

5．香农-威纳指数（）是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数，其计算公式是，其中是该群落中生物的种数，为第个物种在群落中的比例，下表为某个只有甲､乙､丙三个种群的群落中各种群个体数量统计表，根据表中数据，该群落的香农-威纳指数值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知公式和对数运算直接计算求解即可.

【详解】由题意知：.

故选：A.

6．如图，在中，，则（    ）

A．9 B．18 C．6 D．12

【答案】D

【分析】由可得，则，代入化简即可得出答案.

【详解】由可得：，

所以，所以，

，

因为，

所以.

故选：D.

7．棱锥的内切球半径，其中，分别为该棱锥的体积和表面积，如图为某三棱锥的三视图，若每个视图都是直角边长为的等腰直角形，则该三棱锥内切球半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三视图还原三棱锥，求得棱锥表面积和体积后，代入公式即可求得内切球半径.

【详解】由三视图可还原三棱锥如下图所示，

其中平面，，，

，

棱锥表面积，

该棱锥的内切球半径.

故选：C.

8．已知直线，直线，其中实数，则直线与的交点位于第一象限的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先由两条直线相交，联立方程组写出两条直线的交点坐标，接下来根据交点在第一象限得到a的范围，利用几何概型概率计算公式计算即可

【详解】当时，，此时，

所以，直线与无交点；

当时，由，解得：，

由题意，解得，

又，

由几何概型的概率公式知，所求的概率为.

故选：A.

9．以双曲线的实轴为直径的圆与该双曲线的渐近线分别交于A，B，C，D四点，若四边形的面积为，则该双曲线的离心率为（    ）

A．或2 B．2或 C． D．

【答案】B

【分析】先由双曲线与圆的对称性得到，再将代入，从而得到，，进而结合得到关于的齐次方程，由此转化为关于双曲线离心率的方程即可得解.

【详解】依题意，根据双曲线与圆的对称性，可得四边形为矩形，如图，

不放设点位于第一象限，则，

因为双曲线的渐近线方程为，则，

以双曲线的实轴为直径的圆的方程为，则，

将代入，得，

则，即，所以，则，故，

又，所以，则，则，

所以，则，即，

所以，即，解得或，

因为，所以或.

故选：B.

10．函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

①的图象关于直线对称

②的图象关于点对称

③将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象

④若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是

A．①④ B．②④ C．③④ D．②③

【答案】B

【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论．

【详解】解：由函数的图象可得，由，解得，

又函数过点，所以，，

又，得，所以函数，

当时，，即的图象关于点对称，故②正确；

当时，，故①错误；

将函数的图象向左平移个单位长度得到，故③错误；

当，则，

令，解得，此时，即，

令，解得，此时，即，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因为方程在上有两个不相等的实数根，即与在上有两个交点，

所以，故④正确；

故选：B

11．如图，在三棱锥中，  平面平面，是边长为的等边三角形，，则该几何体外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设外心为，外心为，DB中点为E，过外心分别作平面，平面垂线，则垂线交点O为外接球球心.后利用正弦定理可得，外接圆半径，又注意到四边形为矩形，则外接球半径.

【详解】设外心为，外心为，DB中点为E.

因，平面，平面平面，

平面平面，则平面，又平面，

则.过，分别作平面，平面垂线，则垂线交点O为外接球球心，

则四边形为矩形.外接圆半径.

又因，，则.故外接圆半径.

又.

 又平面，平面，则.

故外接球半径，

故外接球表面积为.

故选：A

【点睛】结论点睛：本题涉及底面与侧面垂直的三棱锥的外接球.设底面与侧面外接圆半径为，底面与侧面公共棱长度为，则外接球半径.

12．函数，若，且，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由对数的运算性质和函数奇偶性的定义判断为奇函数，再由导数判断的单调性，将原不等式两边去掉“”，解不等式可得所求取值范围.

【详解】因为

，所以为奇函数，

又，

当时，，，所以，

所以在上单调递增，又因为为奇函数，

所以在R上单调递增，

由可得，

所以，

所以，

所以，

，因为，

所以，所以，

解得：，又因为，

所以.

故选：D.

二、填空题

13．函数在点处的切线方程为____________．

【答案】

【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.

【详解】，

则，

所以函数在点处的切线方程为，

即.

故答案为：.

14．正实数a，b满足，则的最小值为__________．

【答案】##

【分析】由结合基本不等式求解即可.

【详解】解：由题得.

当且仅当时，取等号，所以的最小值为.

故答案为：

15．赵爽是我国汉代数学家，他在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”被选为第24届国际数学家大会的会徽.如图所示，“赵爽弦”图中的大正方形是由4个全等的直角三角形和小正方形拼成，现连接，当正方形的边长为1且其面积与正方形的面积之比为1∶5时，___________.

【答案】.

【分析】根据图形，由面积可得出直角三角的三边长，求出角的三角函数，利用求解.

【详解】由题意得，，故直角三角形斜边为，

设直角三角形中较短直角边长为，如图中，则较长直角边长为，

如图中,

则由勾股定理可得，解得，

，

，,

.

故答案为：.

16．抛物线，圆，直线l过圆心M且与抛物线E交于A，B与圆M交于C，D.若，则___________.

【答案】##

【分析】设直线的方程为，由题意可知圆的圆心为弦的中点，据此联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系即可求出，再由弦长公式即可得解.

【详解】由可得，

故圆心，半径，

因为直线l过圆心M且，所以，，即为的中点，

显然，直线斜率为0时，不符合题意，设直线的方程为，

联立，消元得，

设，由，

所以，

由为的中点可知，，即，

所以

,

所以.

故答案为：

三、解答题

17．等比数列的前n项和为，，且成等差数列．

(1)求；

(2)若，求数列前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差中项的性质结合等比通项，解方程得出；

（2）由错位相减法得出数列前n项和．

【详解】（1）证明：∵是等比数列，且   ①

又成等差数列，∴，∴    ②

联立①②得，

∴．

（2）由（1）知，

∴    ①

    ②

①②得

18．2022年9月3日至2022年10月8日，因为疫情，贵阳市部分高中学生只能居家学习，为了监测居家学习效果，某校在恢复正常教学后举行了一次考试，在考试中，发现学生总体成绩相较疫情前的成绩有明显下降．为了解学生成绩下降的原因，学校进行了问卷调查，从问卷中随机抽取了200份学生问卷，发现其中有96名学生成绩下降，在这些成绩下降的学生中有54名学生属于“长时间使用手机娱乐”（每天使用手机娱乐2个小时以上）的学生．

(1)根据以上信息，完成下面的列联表，并判断能否有把握认为“成绩下降”与“长时间使用手机娱乐”有关？

(2)在被抽取的200名学生中“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的女生有12人，现从“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的学生中按性别分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进一步访谈，求被访谈的两人为一男一女的概率．

参考公式：，其中．

【答案】(1)表格见解析，有

(2)

【分析】（1）根据题意完成列联表，计算，并与临界值对比分析；

（2）根据分层抽样求抽取的人数，利用列举法结合古典概型运算求解.

【详解】（1）根基题意可得：列联表如下：

∴有把握认为学习成绩下降与“长时间使用手机娱乐”有关.

（2）在抽取的6人中，女生有人，男生有人，

设女生为1，2，男生为a，b，c，d，从访谈的6人中抽取2人的基本事件共有15种：

，

设“被访谈的两人中一男一女生”为事件A，共有8种，则.

19．如图①，在梯形中，，E为中点，现沿将折起，如图②，其中F，G分别是的中点．

(1)求证：平面；

(2)若，求点B到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，证明，可得平面，再根据线面垂直的性质可得，在证明，再根据线面垂直的判定定理即可得证；

（2）先利用勾股定理可得，从而可得面，再根据线面垂直的性质可得，设H是中点，连接，证明，再在三棱锥中，利用等体积法即可得解.

【详解】（1）连接，

在图①中，因为，E为中点，

所以且，

所以四边形为正方形，

则和都是等腰直角三角形，

在图②中，由且F是的中点，

则，

又平面，

所以平面，

又平面，所以，

又因为，所以，

因为，且G是的中点，所以，

又因为平面，

所以平面；

（2）在图②中，因为，所以，

又因为，

所以，所以，

又由（1）知面，

所以面，

又面，所以，

设H是中点，连接，

因为，

所以，又平面，

所以平面，

又平面，所以，

由题易得，

，

所以的面积为，

的面积为，

设点B到平面的距离为d，

由有，

即，所以，

所以点B到平面的距离为.

20．椭圆的右顶点，过椭圆右焦点的直线l与C交于点M，N，当l垂直于x轴时．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线与y轴交于P点，直线与y轴交于Q点，点，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆性质和通径公式即可求出椭圆方程；

（2）利用代数法分别表示出P点和Q点，再联立方程并根据韦达定理找到两点坐标的关系，最后利用向量垂直与向量坐标间的关系列式计算即可．

【详解】（1）由已知

∴椭圆C的方程为

（2）证明：设过右焦点的直线l的方程为，且与曲线C的交点分别为，

联立

则由韦达定理有：，

设直线，当时，，

同理，设直线，当时，

若证，即证

∴

∴，

∴

21．函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若过原点O可作三条直线与的图像相切，求实数a的取值范围．

【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为

(2)

【分析】（1）将代入，对函数求导数，分别解和得函数的单调区间；

（2）设切点，由题，整理得，将条件转化为直线与函数的图象有三个交点，研究，得a的取值范围.

【详解】（1）当时，．

由，令，解得或；

令，解得．

所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．

（2）易知原点O不在函数的图像上，设切点为．

求导得，则，

即，整理得，

所以，

令，则，

令，解得或；令，解得，

所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上递增，

故当时，；

当时，；时，，

当时，的取值范围为．

而过原点O可作三条直线与的图像相切，则有三个不相等的实数根，也就是直线与函数的图象有三个交点，则有，即．

【点睛】将题目条件转化为方程有三个不相等的实数根，再将方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题.

22．如图，在极坐标系中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧所在圆的圆心分别为，M是半圆弧上的一个动点.

(1)若点A是圆O与极轴的交点，求的最大值；

(2)若点N是射线与圆O的交点，求面积的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，得到半圆弧的直角坐标方程，从而可得的最大值；

（2）根据题意，表示出，结合三角形的面积公式，即可得到，再根据三角恒等变换公式化简，即可得到结果.

【详解】（1）由题知，半圆弧的极坐标方程为:，

化为直角坐标方程为:，其圆心为，半径为，

由题可知，所以

（2）

由题知，，，

所以

因为，所以，即，

所以

23．已知.

(1)求的取值范围；

(2)若，，求证：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）采用三角换元法可将化为，由正弦型函数值域可求得结果；

（2）利用基本不等式可求得，由此可整理证得结果.

【详解】（1），可设，，，

（其中，），

，即的取值范围为；

（2），，，，（当且仅当，时取等号），

，

即，.