第十章　§10.6　二项分布、超几何分布与正态分布-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

这是一份第十章　§10.6　二项分布、超几何分布与正态分布-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习），文件包含第十章§106二项分布超几何分布与正态分布pptx、第十章§106二项分布超几何分布与正态分布教师版docx、第十章§106二项分布超几何分布与正态分布同步练习docx、第十章§106二项分布超几何分布与正态分布-2025新高考一轮复习讲义学生版docx等4份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。

1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§10.6　二项分布、超几何分布与正态分布
1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.二项分布(1)伯努利试验只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为 .
(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝ ，D(X)＝ .②若X～B(n，p)，则E(X)＝ ，D(X)＝ .
2.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
3.正态分布(1)定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为 .(2)正态曲线的特点①曲线是单峰的，它关于直线 对称；②曲线在 处达到峰值 ；③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
(3)3σ原则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.(4)正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝ ，D(X)＝ .
1.“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形.(　　)(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布.(　　)(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布.(　　)(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”.(　　)
3.某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是A.32　　　B.16　　　C.8　　　D.20
因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.682 7.根据正态密度曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，所以理论上在80分到90分的人数是 ×0.682 7×48≈16.
4.(选择性必修第三册P78例4改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝1)＝_____.
例1　(2023·广东大湾区联考)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是 ，且一台机器的故障能由一个维修工处理.已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲、乙两人共同维护6台机器.(1)对于方案一，设X为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求X的分布列与均值E(X)；
所以随机变量X的分布列为
(2)在两种方案下，分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？
对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，考查反面处理这个问题.
所以P2二项分布问题的解题关键(1)定型：①在每一次试验中，事件发生的概率相同.②各次试验中的事件是相互独立的.③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.
(1)设甲3次点球的总得分为X，求X的分布列和均值；
设甲3次点球射进的次数为Y，
Y的可能取值为0,1,2,3，且X＝50Y，则X的所有可能的取值为0,50,100,150.
(2)求乙总得分为100分的概率.
设“乙第i次射进点球”为事件Ai(i＝1,2,3)，
例2　(2023·宿州质检)宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为 .(1)求n的值；
解得n＝4.即n的值为4.
(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和均值.
X的可能取值为0,1,2,3.
则随机变量X的分布列为
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列.(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.
跟踪训练2　(2024·安庆模拟)乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣、亲近自然、寻味乡愁的美好追求.某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：
(1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率；
由题可知这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于10间的有6家，品质型民宿和普通型民宿的房间均不低于10间的有4家.记“这3家的普通型民宿的房间均不低于10间”为事件A，“这3家的品质型民宿的房间均不低于10间”为事件B，
(2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数，求X的分布列和均值.
这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于15间的有3家，故X的所有可能取值为0,1,2,3.
例3　(1)(2023·烟台模拟)新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量(单位：kW·h/100 km)情况，随机调查得到了1 200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量ξ～N(13，σ2)，若P(12<ξ<14)＝0.7，则样本中耗电量不小于14 kW·h/100 km的汽车大约有A.180辆 B.360辆C.600辆 D.840辆
因为ξ～N(13，σ2)，且P(12<ξ<14)＝0.7，
所以样本中耗电量不小于14 kW·h/100 km的汽车大约有1 200×0.15＝180(辆).
(2)(2023·长沙市明德中学模拟)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，通过统计相关数据后，发现坐公交车用时X和骑自行车用时Y都近似服从正态分布.绘制了概率分布密度曲线，如图所示，则下列哪种情况下，应选择骑自行车A.有26 min可用B.有30 min可用C.有34 min可用D.有38 min可用
由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.根据X和Y的分布密度曲线图可知，P(X≤26)>P(Y≤26)，P(X≤30)>P(Y≤30)，P(X≤34)>P(Y≤34)，P(X≤38)所以如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车.
解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴为x＝μ.(2)标准差为σ.(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
跟踪训练3　(1)(2024·佛山模拟)佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外.某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X～N(800，σ2)，且P(X<801)＝0.6，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记Y表示800≤X<801的瓷砖片数，则E(Y)＝_____.
因为X～N(800，σ2)，均值μ＝800，且P(X<801)＝0.6，所以P(800≤X<801)＝P(X<801)－P(X<800)＝0.6－0.5＝0.1，由题可得Y～B(10,0.1)，所以E(Y)＝10×0.1＝1.
(2)(2023·唐山模拟)某种食盐的袋装质量X服从正态分布N(400,16)，随机抽取10 000袋，则袋装质量在区间(396,408]的约有______袋.(质量单位：g)附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
由题意知，X～N(400,42)，所以P(396≤X≤404)≈0.682 7，P(392≤X≤408)≈0.954 5，
所以袋装质量在区间(396,408]的约有10 000×0.818 6＝8 186(袋).
因为随机变量X～B(2，p)，
2.(2023·福建名校联盟大联考)甲、乙两选手进行羽毛球单打比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，采用三局两胜制，则甲以2∶1获胜的概率为
甲以2∶1获胜指前两局甲胜一局，第三局甲胜，
3.(2023·枣庄模拟)某地区有20 000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N(72,82)，则数学成绩位于(80,88]的人数约为参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 　　　B.2 718　　　C.6 346　　　D.9 545
由题意可知，μ＝72，σ＝8，P(80则数学成绩位于(80,88]的人数约为0.135 9×20 000＝2 718.
4.已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值E(ξ)为
ξ的所有可能取值为0,1,2，
5.32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜.已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为 ，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为 ，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为A.24　　　B.25　　　C.26　　　D.27
设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y；设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32－n.X所有可能的取值为0,1,2，…，n，
Y所有可能的取值为0,1,2，…，32－n，
所以获胜的业余棋手总人数的均值
6.(2024·赤峰模拟)某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月(30天)下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有A.1张　　　B.2张　　　C.3张　　　D.4张
设中奖的概率为p，30天中奖的天数为X，则X～B(30，p).若盒子中的有奖券有1张，
若盒子中的有奖券有2张，
若盒子中的有奖券有3张，
若盒子中的有奖券有4张，
根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天.
二、多项选择题7.(2023·莆田模拟)“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：秒)服从正态分布N(8，σ2)，且P(ξ≤7)＝0.2.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7,9)的个数记为X，则A.P(7<ξ<9)＝0.8 B.E(X)＝1.8C.E(ξ)>E(5X) D.P(X≥1)>0.9
由正态分布的对称性可知P(ξ≤7)＝P(ξ≥9)＝0.2，故P(7<ξ<9)＝1－0.2×2＝0.6，故A错误；X～B(3,0.6)，故E(X)＝3×0.6＝1.8，故B正确；E(ξ)＝8，E(5X)＝5E(X)＝5×1.8＝9，故E(ξ)故P(X≥1)＝1－0.064＝0.936>0.9，故D正确.
8.(2023·汕头模拟)一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为X1，均值和方差分别为E(X1)，D(X1)；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为X2，均值和方差分别为E(X2)，D(X2)，则A.E(X1)＝E(X2) B.E(X1)>E(X2)C.D(X1)>D(X2) D.D(X1)从中随机地有放回摸出3个球，
从中随机地无放回摸出3个球，记红球的个数为X2，则X2的可能取值是0,1,2,3，
所以随机变量X2的概率分布为
故E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2).
三、填空题9.(2023·石家庄模拟)某市中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛.参赛选手从7道题(4道多选题，3道单选题)中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为_____.
设先抽取2道题中多选题的题数为X，则X的可能取值为0,1,2，
所以最后抽取到的题为多选题的概率
10.(2023·唐山模拟)近年来，理财成为了一种趋势，老黄在今年买进某个理财产品.设该产品每个季度的收益率为X，且各个季度的收益之间互不影响，根据该产品的历史记录，可得P(X>0)＝2P(X≤0).若老黄准备在持有该理财产品4个季度之后卖出.则至少有3个季度的收益为正值的概率为______.
因为P(X>0)＝2P(X≤0)，所以P(X>0)＋P(X≤0)＝3P(X≤0)＝1，
11.(2024·南开模拟)一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中每次抽取1个产品.若抽取后不再放回，则抽取三次，第三次才取得一等品的概率为_____；若抽取后再放回，共抽取10次，则平均取得一等品_____次.
令Ai为第i(i＝1,2,3)次取得一等品，
所以平均取得一等品6次.
12.(2023·聊城模拟)某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格.现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值xi(i＝1,2,3，…，100)，经计算 ＝7 200， ＝100×(722＋36).若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布N(μ，σ2)，则估计该市高中生身体素质的合格率为________.(用百分数作答，精确到0.1%)参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
所以μ的估计值为μ＝72，σ的估计值为σ＝6.设该市高中生的身体素质指标值为X，由P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
得P(72－12≤X≤72＋12)＝P(60≤X≤84)≈0.954 5，P(X>84)＝P(X>μ＋2σ)＝P(X<μ－2σ)
四、解答题13.某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元(含1万元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球，则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折，其余情况不打折.方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2 000元.(1)若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；
选择方案一，若享受到7折优惠，则需要摸出2个红球和1个黑球，设顾客享受到7折优惠为事件A，
(2)若某顾客消费恰好满1万元，试从均值的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为5 000,7 000,9 000,10 000，
若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z＝10 000－2 000Y，
所以E(Z)＝E(10 000－2 000Y)＝10 000－2 000E(Y)＝8 800(元)，因为E(X)>E(Z)，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
14.某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛类奖励规则如下：得分在[70,80)内的学生获得三等奖，得分在[80,90)内的学生获得二等奖，得分在[90,100]内的学生获得一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，该市随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示.
若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ≈15，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：(1)若该市共有10 000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生人数(结果四舍五入到整数)；
由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值μ＝35×0.006×10＋45×0.012×10＋55×0.018×10＋65×0.034×10＋75×0.016×10＋85×0.008×10＋95×0.006×10＝64，则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(64，152)，
故参赛学生中成绩超过79分的学生人数为0.158 65×10 000≈1 587.
(2)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10 000)随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望.
参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.