人教版高考数学一轮复习考点规范练32平面向量的数量积与平面向量的应用含答案

考点规范练32　平面向量的数量积与平面向量的应用

1.已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b等于(　　)

A.-1 B.0 C.1 D.2

答案  B

解析  由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角θ=60°,则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cos θ-|b|2=2×1×1×cos 60°-12=0,故选B.

2.已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且p∥q,则|p+q|的值为(　　)

A. B. C.5 D.13

答案  B

解析  由题意,得2×6+3x=0,解得x=-4.

因为p+q=(2,-3)+(-4,6)=(-2,3),所以|p+q|=.

3.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是 (　　)

A.|a·b|≤|a||b| 

B.|a-b|≤||a|-|b||

C.(a+b)2=|a+b|2 

D.(a+b)·(a-b)=a2-b2

答案  B

解析  A项,设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ≤|a||b|,所以不等式恒成立;

B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.

故不等式不恒成立;

C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;

D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.

故选B.

4.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为(　　)

A. B.2 C.5 D.10

答案  C

解析  依题意得,=1×(-4)+2×2=0,则.即四边形ABCD的面积为|||==5.

5.(2021山东烟台二模)若向量a,b满足|a|=2,|b|=,且(a-b)⊥(2a+3b),则a与b夹角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

答案  D

解析  由题意得(a-b)·(2a+3b)=2a2+a·b-3b2=0,而|a|=2,|b|=,

所以2cos<a,b>-1=0,故cos<a,b>=.

6.(2021福建南平一中高三月考)一条河流某流域内南北两岸平行,如图所示.已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10 km/h,水流的速度v2的大小|v2|=4 km/h,设v1和v2所成角为θ(0<θ<π),若游船要从南岸A码头航行到正北方向上位于北岸的B码头处,则cos θ等于(　　)

A.- B.- C.- D.-

答案  B

解析  由题意知(v1+v2)·v2=0,有|v1||v2|cos θ+=0,即10×4cos θ+42=0,所以cos θ=-.

7.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案  A

解析  m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角θ是180°,则m·n=|m||n|cos 180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角θ∈,并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以是充分不必要条件.

故选A.

8.(多选)已知向量a=(,1),b=(cos α,sin α)α∈0,,则下列说法正确的有(　　)

A.|b|=1 

B.若a∥b,则tan α=

C.a·b的最大值为2

D.|a-b|的最大值为3

答案  AC

解析  对于A,|b|==1,A正确;

对于B,若a∥b,则sin α-cos α=0,则tan α=,B错误;

对于C,a·b=cos α+sin α=2sin,因为α∈,所以α+,

所以当α+时,最大值为2,C正确;

对于D,|a-b|=,

因为α∈,所以α+,

则sin,

即|a-b|max=,D错误.

9.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为(　　)

A. B. C. D.3

答案  A

解析  如图,取AB的中点F,连接EF,

===||2-.

当EF⊥CD时,||最小,即取最小值.

过点A作AH⊥EF于点H,由AD⊥CD,EF⊥CD,可得EH=AD=1,∠DAH=90°.

因为∠DAB=120°,所以∠HAF=30°.

在Rt△AFH中,易知AF=,HF=,

所以EF=EH+HF=1+.

即()min=.

10.在日常生活中,我们会看到如图所示的情境,两人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ.给出以下结论:

①θ越大越费力,θ越小越省力;

②θ的范围为[0,π];

③当θ=时,|F1|=|G|;

④当θ=时,|F1|=|G|.

其中正确的结论是　　　　　.(填序号) 

答案  ①④

解析  对于①,因为|G|=|F1+F2|为定值,

所以|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos θ=2|F1|2(1+cos θ),解得|F1|2=;

由题意知,当θ∈(0,π)时,y=cos θ单调递减,所以|F1|2单调递增,

即θ越大越费力,θ越小越省力;①正确;

对于②,当θ=π时,F1+F2=0,行李包不会处于平衡状态,所以θ≠π,②错误;

对于③,当θ=时,|F1|2=,

所以|F1|=|G|,③错误;

对于④,当θ=时,|F1|2=|G|2,

所以|F1|=|G|,④正确.

综上可知,正确结论的序号是①④.