2024高考数学一轮总复习（导与练）第六章第2节　平面向量基本定理及坐标表示

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第2节　平面向量基本定理及坐标表示 [选题明细表] 知识点、方法题号平面向量基本定理的应用2,3,4,6,10平面向量的坐标运算1,9平面向量共线的坐标表示5,7,8综合问题11,121.若向量=(2,3),=(4,7),则等于(　B　)A.(-2,-4) B.(2,4)C.(6,10)   D.(-6,-10)2.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是(　B　)A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)3.如图,在平行四边形ABCD中,E是AD的中点,F在线段BE上,且BF=3FE,记a=,b=,则等于(　D　)A.a+b     B.a-bC.-a+b    D.a-b解析:取a=,b=作为基底,则=a+b.因为BF=3FE,所以==(a+b)=a+b,所以=-=a+b-b=a-b.4.(多选题)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD的交点,则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是(　AC　)A.与 B.与C.与 D.与解析:如图,平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底,对于A,与不共线,可作为基底;对于B,与为共线向量,不可作为基底;对于C,与是两个不共线的向量,可作为基底;对于D,与在同一直线上,是共线向量,不可作为基底.5.已知A(-1,-1),B(m,m+2),C(2,5)三点共线,则m的值为(　A　)A.1 B.2 C.3 D.4解析:=(m,m+2)-(-1,-1)=(m+1,m+3),=(2,5)-(-1,-1)=(3,6),因为A,B,C三点共线,所以∥,所以3(m+3)-6(m+1)=0,所以m=1.6.(多选题)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别是AB,CD的中点,AC与BD交于点M,设=a,=b,则下列结论正确的是(　ABD　)A.=a+bB.=-a+bC.=-a+bD.=-a+b解析:=+=+=a+b,故A正确;=++=-++=-a+b,故B正确;=+=-+=-a+b,故C错误;=++=-++=-a+b,故D正确.7.已知e1,e2是不共线向量,a=me1+2e2,b=ne1-e2,且mn≠0,若a∥b,则等于(　C　)A.-    B.    C.-2     D.2解析:因为a∥b,所以a=λb,即me1+2e2=λ(ne1-e2),则得=-2.8.已知点A(1,3),B(4,-1),写出一个与向量共线的向量坐标为　     　　　. 解析:因为A(1,3),B(4,-1),所以=(3,-4),所以与向量共线的向量的坐标可以是(3λ,-4λ),λ∈R.答案:(6,-8)(答案不唯一)9.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量 的坐标.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)法一　因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),所以解得法二　因为a+b+c=0,所以a=-b-c,又a=mb+nc,所以mb+nc=-b-c,所以(3)设O为坐标原点,因为=-=3c,所以=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).所以M(0,20).又因为=-=-2b,所以=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),所以N(9,2),所以=(9,-18).10.已知点A(2,3),B(4,5),C(7,10),若=+λ(λ∈R),且点P在直线x-2y=0上,则λ的值为(　B　)A.     B.-    C.     D.-解析:设P(x,y),则由=+λ,得(x-2,y-3)=(2,2)+λ(5,7)=(2+5λ,2+7λ).所以x=5λ+4,y=7λ+5.又点P在直线x-2y=0上,故5λ+4-2(7λ+5)=0,解得λ=-.11.(多选题)在直角三角形ABC中,P是斜边BC上一点,且满足=2,点M,N在过点P的直线上,若=m,=n(m>0,n>0),则下列结论正确的是(　ABD　)A.+为常数B.m+2n的最小值为3C.m+n的最小值为D.m,n的值可以为m=,n=2解析:如图所示,由=2,可得-=2(-),所以=+.因为=m,=n(m>0,n>0),所以=,=,所以=+.因为M,P,N三点共线,所以+=1,所以+=3.当m=时,n=2,故A,D正确;m+2n=(m+2n)(+)=++≥2+=3,当且仅当m=n=1时,等号成立,故B正确;m+n=(m+n)(+)=++1≥2+1=+1,当且仅当n=m时,等号成立,故C错误.12.若α,β是平面内一个基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为　　　　. 解析:因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2),所以a=-2p+2q=(2,4),令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以即所以a在基底m,n下的坐标为(0,2).答案:(0,2)