2023秦皇岛部分学校高三下学期联考（二模）数学试题含答案

参考答案

1．B  2．A  3．C  4．D

5．C  6．B  7．A  8．D

9．BCD  10．BC  11．AC  12．ACD

13．      14．      15．      16．

17．(1)  (2)

18．(1)证明过程请见评分细则     (2)

19．(1)表格请见评分细则。

答：能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游顸订与年龄有关     (2)

20．(1)；    (2)5

21．(1)  (2) 

22．(1)  (2)

评分细则

17.

（1）由正弦定理，，可得————————2分

再由余弦定理，，又，所以.

因为，所以.——————————————————4分

（2）由（1）可知：，则.

则.————————————6分

在中，由正弦定理，

，所以，

则

，

又，所以，所以，

，所以————————————————————10分

18.

（1）设平面，垂足为，作于，于，连接，

因为平面，平面，所以，

又平面，所以平面，

又平面，所以，

因为平面，所以平面，

又平面，所以，

在和中，因为，

所以，所以，

在和中，，

所以，所以，——————————————————4分

即点到的距离相等，

同理点到的距离相等，

所以点为的内心，所以两点重合，

所以平面，

又因平面，

所以平面平面；————————————————6分

（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

则，——————————————————8分

设内切圆的半径为，则

即，解得，

故，

则，

则，

设平面的法向量，

则，可取，

设平面的法向量，

则，可取，————————————————10分

则，

由图可得二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.————————————————12分

19.

（1）预定旅游中，19－35岁年龄段的人数为：人，

18岁以下及36岁以上人数为人．

在所有调查对象中随机抽取1人，抽到不预订的旅游客群在19~35岁年龄段的人的概率为，

故不预订旅游客群19~35岁年龄段的人为：人，

18岁以下及36岁以上人数为人．

所以列联表中的数据为：

，

则能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游顸订与年龄有关．——————6分

（2）按分层抽样，从预定旅游客群中选取5人，

其中在19－35岁年龄段的人数为，分别记为：A，B，C；18岁以下及36岁以上人数为2人，分别记为：a，b．

从5人中任取2人，则有：，共有10种情况

其中恰有1人是19－35岁年龄段的有：，共 6种情况，

故2人中恰有1人是19-35岁年龄段的概率为：——————————12分

20.

(1)

由，得．

因为，所以．

又①，②，

①②得 即．

又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．

故．————————————————5分

(2)

由（1）可得，

所以．

因此．令，得，

即，所以且，故的最大值为5．——————————————12分

21.

（1）因为，是的一个极值点，所以，得；

当时，，令可得.

由表可知是的一个极值点，且最小值为.————————4分

（2）若有两个零点，

即有两个解，

即有两个解，

设函数,

问题等价于方程有两个解，——————————6分

恒成立，即单调递增，

所以，

问题等价于方程有两个解，

即有两个解，

设

即有两个解，

令问题转化为函数有两个零点，

因为，当时，，当时，；

则在上单调递增，在上单调递减，

为了使有两个零点，需要，解得，即，解得，

由于当时，

所以在和内各有一个零点.

综上知的取值范围是.

22.

（1）由椭圆的对称性可知点和在C上，代入方程得．                                          

设C的半焦距为，则离心率为，所以，

所以，解得，以椭圆C的方程为．——————4分

（2）设，，，设直线．                   

由消去x得，

所以， ————————————————6分

设点，直线EA的方程为，

由与联立得，               

同理可得．

所以

．

整理得，

因为点到直线的距离，

所以．

设，则，

所以，

当，即时，．——————————————————12分