重庆市江北区第十八中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

这是一份重庆市江北区第十八中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

重庆市江北区第十八中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列计算中，正确的是（    ）．
A． B．
C． D．
2．对于函数，下列结论正确的是（    ）．
A．它的图像必经过点 B．它的图像经过第一、二、三象限
C．当时， D．y随x的增大而增大
3．下列条件中，可以判断四边形ABCD是平行四边形的是（    ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．一组对边平行且相等 D．一组对边平行，另一组对边相等
4．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则这个三角形一定是（    ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
5．将一次函数与的图像画在同一坐标系中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（　　）

A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3
7．如图，在中，，D、E分别是的中点， F在延长线上，使，，，则四边形的周长为（    ）．

A．8 B．9 C．10 D．11
8．一次函数y＝（a﹣7）x+a的图像不经过第三象限；且关于x的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的和为（  ）
A．18 B．17 C．12 D．11
9．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）

A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
10．已知正整数a，b，c，d满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（      ）
①，，，是该四元方程的一组解；
②连续的四个正整数一定是该四元方程的解；
③若，则该四元方程有21组解；
④若，则该四元方程有504组解．
A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题
11．代数式有意义，那么x的取值范围____________．
12．若6，11，m为三角形的三边长，则化简的结果为______．
13．已知直线和图象上部分点的横坐标和纵坐标如下表所示，则关于x的方程的解是______．
x

0
1
2

8
5
2


0
1
2
3

14．已知：如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点E处，已知，则______cm．

15．如图，点在平行四边形的边上，.若，，则的度数为________．

16．在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为_____．
17．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为_____．

18．如果一个三位自然数t的各个数位上的数字均不为0，且满足个位数字与十位数字的和为9，百位数字与个位数字的和被6整除，那么称为“九六数”．把t的各个数位的和记为．若（其中，，）是“九六数”，则满足条件的M中，的最大的值为______．

三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．如图，已知平行四边形ABCD．

(1)用尺规完成以下基本作图：在CB的延长线上取点E，使CE＝CD，连接DE交AB于点F，作∠ABC的平分线BG交CD于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在第（1）问所作的图形中，求证：四边形BFDG为平行四边形．
证明：∵BG平分∠ABC
∴∠ABG＝∠CBG
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ABG＝∠CGB，∠CDE＝∠BFE
∴∠CGB＝①　 　
∴CB＝CG．
∵CE＝CD，CB＝CG
∴CE﹣CB＝CD﹣CG，即BE＝②　 　
∵CD＝CE
∴∠CDE＝③　 　
∵∠CDE＝∠BFE，∠CDE＝∠BEF
∴∠BFE＝④　 　
∴BE＝BF
∵BE＝DG，BE＝BF
∴DG＝⑤　 　
∵AB∥CD，DG＝BF
∴四边形BFDG为平行四边形．（推理根据：⑥　 　）
21．已知一次函数（a是常数，且）．
(1)若该一次函数的图像与x轴相交于点，求一次函数的解析式．
(2)当时，函数有最大值5，求出此时a的值．
22．如图，在平行四边形中，点E、F分别为中点，G、H分别在边上，且．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：四边形是矩形．
23．问题：探究函数的图象与性质．
数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究：

(1)在函数，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值：
x
…




0
1
2
3
4
…
y

3
2
1
0



0
a

①表格中a的值为______；
②若为该函数图象上的点，则______；
(2)在平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象；
(3)结合图象回答下列问题：
①当______时，函数有最小值为_______；
②当自变量x满足什么条件时，函数值？
24．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度为3米，为1米．

(1)求滑道的长度；
(2)若把滑梯改成滑梯，使，则求出的长．（精确到0.1米，参考数据：）
25．阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
例如：3＋2＝（1＋）2，善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn．
a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为整数时，若，用含mn的式子分别表示a、b，则：a＝　 　，b＝　 　；
(2)若a＋6＝（m＋n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)直接写出式子化简的结果．
26．在平行四边形ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE，交BD于点F．

(1)如图1，若点E为AD中点，对角线AC与BD相交于点O，且△DFE的面积为，DF＝2，求CD的长；
(2)如图2，若点G在BD上，且DG＝AB，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M，若，用等式表示线段BM，DH，BD的数量关系，并证明；
(3)如图3，若∠ABC＝120°，AB＝2，点N在BC边上，BC＝4CN，且CE平分∠BCD，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，且，连接BP，NQ，请直接写出BP＋PQ＋QN的最小值．

参考答案：
1．C
【分析】根据二次根式的性质进行化简，根据二次根式的加减运算、乘法运算法则进行计算求解即可．
【详解】解：A、，错误，故不符合要求；
B、，错误，故不符合要求；
C、，正确，故符合要求；
D、，错误，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算．解题的关键掌握二次根式的运算法则．
2．C
【分析】根据一次函数图像的性质逐项分析即可解答．
【详解】解：A、当时，，故A选项错误；
B、根据知，函数经过一、二、四象限，故B选项错误；
C、当时，，则，故C选项符合题意；
D、选项，，故y随着x的增大而减小，故D选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数的图像的性质，掌握运用一次函数的解析式判断图像的增减性、经过的象限以及经过的点是解决问题的关键．
3．C
【分析】根据平行四边形的判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．
【详解】解：A．对角线互相垂直不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B．两条对角线相等不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
D．一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
4．B
【分析】由题意知，，，，求解a，b，c，的值，然后根据勾股定理的逆定理进行求解判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
解得：，，，
∵，
∴是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方、算术平方根、绝对值的非负性，勾股定理的逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
5．C
【分析】根据一次函数的图像与系数的关系依次分析各项即可．
【详解】解：一次函数的与一次函数的矛盾，错误；
从图像知，一次函数的图像不经过原点，错误；
一次函数的与一次函数的一致，正确；
从图像知，一次函数的图像不经过原点，错误．
故选：．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像，掌握一次函数的图像是解决问题的关键．
6．A
【详解】设等腰直角三角形的直角边长为a，中间小正方形的边长为b，则另两个直角三角形的边长分别为a-b，a+b，
∴，，，
平行四边形的面积=2S1+2S2+S3，
故答案选A.
考点：直角三角形的面积.
7．A
【分析】由题意知是的中位线，，，证明四边形是平行四边形，在中，由勾股定理得，求的值，根据四边形的周长为，计算求解即可．
【详解】解：∵在中，D、E分别是的中点，
∴是的中位线，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
在中，由勾股定理得，
∴四边形的周长为，
故选：A．
【点睛】本题考查了中位线，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
8．D
【分析】先根据一次函数的图像不经过第三象限、列不等式组求出a的取值范围，再解分式方程，然后根据分式方程有整数解，确定a的可能取值，最后求和即可．
【详解】解：∵一次函数的图像不经过第三象限，
∴，
∴0≤a＜7，
原分式方程可化为：3，
2＝3（2﹣x）+ax，
解得x，3﹣a≠2，
∵分式方程有整数解，
∴3﹣a＝﹣2或3﹣a＝1或3﹣a＝﹣1或3﹣a＝﹣4或3﹣a＝4或3﹣a＝2，
解得a＝5或a＝2或a＝4或a＝7或a＝﹣1或a＝1，
∵a＝7或a＝﹣1或a＝1不合题意，
∴舍去，
∴a＝5或a＝2或a＝4，
∴整数a的和为：11；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、解不等式组、分式方程的解等知识点，根据一次函数的图像不经过第三象限列出不等式组成为解答本题的关键．
9．A
【详解】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，
∴OA=OD=5，
∴S△ACD=S矩形ABCD=24，
∴S△AOD=S△ACD=12，
∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF
=×5×PE+×5×PF
=（PE+PF）
=12，
解得：PE+PF=4.8．
故选A．

【点睛】本题考查矩形的性质；和差倍分；定值问题．
10．D
【分析】将，，，代入到四元方程中看等式两边是否相等即可判断①；设，然后代入四元方程即可判断②；先证明，同理得到，即可推出得到，据此即可判断③；根据③所求可以推出，由此即可判断④．
【详解】解：当，，，时，方程左边，方程右边，
∴方程左右两边相等，
∴，，，是四元方程的一组解，故①正确；
设，
∴，


，
∴当，四元方程左右两边相等，
∴连续的四个正整数一定是该四元方程的解，故②正确；
∵，，且c、d均为正整数，
∴，
∴，
同理，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴时，或或或或或，
同理时，或或或或，
时，或或或，
，
时，，
∴当，该四元方程一共有组解，故③正确；
由③得，
∵，
∴，
∴，
∵a，c都是正整数，且，
∴当时，，
当时，，
，
当时，，
∴满足题意的a、b、c、d的值有504组，
∴若，则该四元方程有504组解，故④正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，解题的关键在于能够正确理解题意，以及方程的解得含义．
11．
【分析】由代数式有意义，可得，再解不等式即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握“被开方数为非负数”是解本题的关键．
12．/
【分析】根据三角形的三边关系确定m的取值范围，根据进行化简即可．
【详解】解：由题意得：
，
，
原式

．
故答案：．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系及二次根式的性质，掌握三角形的三边关系及二次根式的性质是解题的关键．
13．
【分析】根据两个函数交点的横坐标就是一元一次方程的解可直接得到答案．
【详解】解：由表格数据可知，直线和交于点，
∴方程的解是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点横坐标为两函数组成的方程的解．
14．
【分析】根据长方形的性质和折叠的性质以及勾股定理求出，则，设，则，在中，由勾股定理得，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：由长方形的性质可知，，
由折叠的性质可知，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确求出是解题的关键．
15．
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD、∠B=∠D、ABCD，结合B+∠D=80°可得∠B的度数；然后再说明AB=AE，可得∠BAE的度数，进一步求得∠BAC的度数，最后根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，ABCD
∵∠B+∠D=80°，
∴∠B=∠D=40°，
∵BE=CD，
∴AB=BE，
∴∠BAE=70°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=70°+20°=90°
∵ABCD，
∴∠ACD=∠BAC=90°．
故答案为：90°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，证得△ABE是等腰三角形求得∠BAE=70°是解答本题的关键．
16．105°或45°
【详解】试题分析：如图当点E在BD右侧时，求出∠EBD，∠DBC即可解决问题，当点E在BD左侧时，求出∠DBE′即可解决问题．如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC=CD，∠A=∠C=30°，∠ABC=∠ADC=150°，
∴∠DBA=∠DBC=75°，∵ED=EB，∠DEB=120°，∴∠EBD=∠EDB=30°，∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=105°，
当点E′在BD左侧时，∵∠DBE′=30°，∴∠E′BC=∠DBC﹣∠DBE′=45°，∴∠EBC=105°或45°，

考点：(1)、菱形的性质；(2)、等腰三角形的性质
17．4．
【详解】试题分析：如图，当AB=AD时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），则AB=AD=4，
故答案为4．

考点：矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；分类讨论．
18．
【分析】确定各个数位的值，再根据“九六数”的定义计算即可．
【详解】∵，，
∴，，，
∵
∴
设，其中都是正整数，且，，
∴个位数字是，十位数字是，百位数字是，
由“九六数”的定义可得：，且被6整除，
∴，
当时，由被6整除可得，此时与冲突，
当时，由被6整除可得，此时与冲突，
当时，由被6整除可得，此时与冲突，
当时，由被6整除不存在，
当时，由被6整除可得，此时，
综上所述，
故答案为：．
【点睛】本题属于新定义类题目，考查了实数的运算和列代数式，准确理解新定义是解题的关键．
19．(1)
(2)

【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可；
（2）先分别计算负整数指数幂，绝对值，算术平方根，然后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：

；
（2）解：

；
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算及实数的运算，涉及负整数指数幂，绝对值化简，算术平方根及二次根式的化简等知识．解题的关键在于正确的运算．
20．(1)见解析
(2)①，②，③，④，⑤，⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

【分析】（1）先延长，以点为圆心、长为半径画弧，交延长线于点，再连接交于点，然后根据角平分线的尺规作图方法即可得；
（2）先根据角平分线的定义可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据平行四边形的判定即可得证．
【详解】（1）解：尺规作图结果如下：

（2）证明：平分，
，
∵四边形为平行四边形，
，
，
，
．
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．（推理根据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．
21．(1)
(2)或

【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）当时，根据一次函数的增减性可知当时，函数取得最大值5；当时，根据一次函数增减性可知当时，函数取得最大值，分别求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
得，
解得，
∴一次函数解析式：；
（2）当时，即时，
当时，，
解得，
当时，即，
当
解得，
综上，或−1．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式以及一次函数的增减性是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再由点E、F分别为中点，可得，然后根据，可证明，从而得到，再由，可得，即可；
（2）连接，可证明四边形是平行四边形，从而得到，再由四边形是平行四边形，即可证明．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E、F分别为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：如图，连接，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点E、F分别为中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．(1)① 1 ；② 或11；
(2)见解析
(3)① ；②或．

【分析】（1）①将代入得a；②将代入得b；
（2）根据表格数据描点画出函数图象即可；
（3）根据（2）所得图象即可得到答案.
【详解】（1）将代入，得
，
∴a的值为1；
为该函数图象上的点

解得：或．
（2）该函数图象如图：

（3）①根据（2）图象，当时，该函数有最小值为；
②根据（2）图象可直接看出，当或时，．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．
24．(1)滑梯长度为5米
(2)的长度为2.3米

【分析】（1）设为x米，则为米，，根据勾股定理求解即可；
（2）设，则，利用勾股定理求得的长度，即可求解．
【详解】（1）解：设为x米，则为米，
可得方程，解得．
答：滑梯长度为5米．
（2）解：在中，，∵
∴，
∴，
设，则
可得方程，所以
∴
答：的长度为米．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，涉及了含直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，正确利用勾股定理列出方程．
25．(1)，
(2)a=16或a=64
(3)

【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）根据题意，6=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=3，n=1或者m=1，n=3，然后即可确定a的值；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】（1）解：∵，
，
；
（2）∵，
，
，
∵a、m、n均为正整数，
∴或，
∴a=16或a=64；
（3）∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键．
26．(1)
(2)，理由见详解
(3)

【分析】（1）连接EO，先证EO为△ABD的中位线，即有，，根据BD⊥CD，可得EO⊥BD，即△EDF的面积为，结合已知条件即可求出EO，则CD可求；
（2）过D点作DR⊥DM，交EC于R点，先证明△DHG≌△DRC，即有DH=DR，HG=CR，可得△HDR为等腰直角三角形，则有∠DHR=∠DRH=45°，，再证明△GDC为等腰直角三角形， ∠DGC=∠DCG=45°，，接着证明DM=CG，进而证明△CHG≌△DBM，即有CH=BD，BM=HG，则问题得解；
（3）在CD上取一点G，使得CG=CN，连接QG，过B点作，使得，连接DS交EC于点T，连接QS、GS，过S点作SM⊥BD于M点，过G点作HG⊥BD于H点，根据平行四边形的性质可求得CD=AB=2，∠BCD=60°，进而可得∠DBC=30°，在Rt△DCB中根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=4，，则有CN=1=CG，DG=1，再证四边形BSQP是平行四边形，即有BP=QS，通过证明△QNC≌△QGC，可得QN=QG，即有，即当Q点在GS上时，QS+QG最小，最小为GS，则最小值为，根据平行的性质可得∠SBM=60°，根据含30°角的直角三角形的性质可得，，进而有，利用勾股定理可得，再根据，可得△BSD是直角三角形，即有∠BSD=90°，进而求出∠BDS=30°，∠GDH=60°，在Rt△DHG中，可得，，进而有，利用勾股定理有，则的最小值可求．
【详解】（1）连接EO，如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，O点为BD中点，，
∵E点为AD中点，
∴EO为△ABD的中位线，
∴，，
∴，
∵BD⊥CD，
∴EO⊥BD，
∴△EDF的面积为，
∵，DF=2，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）等量关系：，理由如下：
过D点作DR⊥DM，交EC于R点，如图，

∵CD⊥BD，DR⊥MD，
∴∠MDR=∠BDC=90°，
∴∠HDG+∠GDR=∠GDR+∠RDC=90°，
∴∠HDG=∠RDC，
∵CH⊥EC，
∴∠GHC=90°=∠FDC，
∵∠HFG=∠DFC，
∴在△HFG和△DFC中有∠HGF=∠DCF，
∵在平行四边形ABCD中，AB=CD，
又∵DG=AB，
∴DG=CD，
即，
∴△DHG≌△DRC，
∴DH=DR，HG=CR，
∵∠HDR=90°，
∴△HDR为等腰直角三角形，
∴∠DHR=∠DRH=45°，，
∵DG=CD，∠GDC=90°，
∴△GDC为等腰直角三角形，
∴∠DGC=∠DCG=45°，，
∵AB=CD，
∴，
∵，
∴DM=CG，
∵在平行四边形ABCD中，，
∵CD⊥BD，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
∵∠GHC=90°，
∴∠GHC=∠MBD，
∵在△HFD和△GFC中，∠DHF=45°=∠FGC，∠HFD=∠GFC，
∴∠HDF=∠FCG，
即，
∴△CHG≌△DBM，
∴CH=BD，BM=HG，
∵CR=HG，
∴BM=CR，
∵CR+RH=CH，
∴BM+RH=CH=BD，
∵，
∴；
（3）在CD上取一点G，使得CG=CN，连接QG，过B点作，使得，连接DS交EC于点T，连接QS、GS，过S点作SM⊥BD于M点，过G点作HG⊥BD于H点，如图，

∵在平行四边形ABCD中，有AB=CD，，，
∴CD=AB=2，∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，
∵CD⊥BD，CE平分∠BCD，
∴∠BDC=90°，∠DCF=∠BCF=30°，
∴∠DBC=30°，
∴在Rt△DCB中，BC=2DC=4，，
∵4CN=BC，CG=CN，
∴CN=1=CG，
∴DG=CD-CG=2-1=1，
∵，，
∴四边形BSQP是平行四边形，
∴BP=QS，
∵QC=QC，∠NCQ=∠GCQ，CG=CN，
∴△QNC≌△QGC，
∴QN=QG，
∴，
即当Q点在GS上时，QS+QG最小，最小为GS，
则最小值为，
∵，
∴∠SBC=∠BCE=30°，
∴∠SBM=∠SBC+∠CBD=30°+30°=60°，
∵SM⊥BD，
∴∠SMB=90°，即∠MSB=30°，
∵在Rt△SMB中，，
∴，，
∴，
∴在Rt△MSD中，，
∴，
∴△BSD是直角三角形，∠BSD=90°，
∴∠BDS=90°-∠DBS=90°-60°=30°，
∵GH⊥DS，
∴∠DHG=90°，
∵∠BDC=90°，
∴∠GDH=∠BDC-∠BDS=60°，
∴在Rt△DHG中，∠DGH=30°，
∴，，
∴，
∴在Rt△HSG中，，
即，
则有的最小值为：．
【点睛】本题是四边形的综合，主要考查了平行四边形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质、勾股定理及其逆定理、全等三角形的判定与性质、中位线的判定与性质等知识，添加辅助线构造平行四边形和全等三角形是解答本题的关键．