2022-2023学年重庆市巴南区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年重庆市巴南区八年级下学期期中数学试题及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列式子一定是二次根式是( )
A. B. C. D.
2. 平面直角坐标系内，点到原点的距离是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算结果，正确的是( )
A. B. C. D.
4. 下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是( )
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
5. 如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，，则的周长为( )
A. B. C. D.
6. 下列图形都是由同样大小的点按一定的规律组成，其中第个图形一共有个点，第个图形一共有个点，第个图形一共有个点，，则第个图形中点的个数为( )
A. B. C. D.
7. 估计的值应在( )
A. 和之间B. 和之间C. 和之间D. 和之间
8. 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为正确的是( )
A. 甲量得窗框两组对边分别相等
B. 乙量得窗框对角线相等
C. 丙量得窗框的一组邻边相等
D. 丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等
9. 如图，在中，点是边的中点，且，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
10. 我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用表示距离为正整数最近的正整数例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论：
；
时，的值有个；
；
；
当时，的值为．
以上结论中正确的结论有个( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 使有意义的的取值范围是______．
12. 在平行四边形中，，则______
13. 若最简二次根式与可以合并，则______ ．
14. 如图，是矩形的边上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处若，，则的长为______ ．
15. 如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是______．
16. 如图，在矩形中，过作于点，交于点，连接若是中点，且，则的长为______ ．
17. 若实数使得关于的分式方程有正整数解，且二次根式有意义，则符合题意的整数的和是______ ．
18. 若一个四位正整数的十位数字比个位数字大，千位数字比百位数字大，则称这样的四位正整数为“尚善数”一个四位正整数是尚善数，记为的百位数字和个位数字依次组成两位数与的千位数字和十位数字依次组成两位数的和，记为的千位数字和百位数字依次组成两位数与的十位数字和个位数字依次组成的两位数的差若为一个正整数，则满足条件中的最大值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
如图，四边形中，，，，，
求四边形的面积；
求的大小．
21. 本小题分
如图，在▱中．
尺规作图：在上截取，使得作的平分线交于点保留作图痕迹，不写作法；
在所作图形中，连接，求证：四边形是平行四边形．请补全下面的证明过程，不写证明理由．
证明：平分，
______
在▱中，，
______
，
．
在▱中，，
又，
．
在▱中，，
，
即______
又______
四边形是平行四边形．
22. 本小题分
四边形中，，，且，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求四边形的周长．
23. 本小题分
已知实数，满足；
若，，求的值；
如图，在中，，，若，，求的长．
24. 本小题分
如图，一艘渔船自西向东航行，航行到处看到小岛位于船的北偏东方向海里处，经过一段时间后，渔船到达点，此时看到小岛位于船的北偏西方向上．
求该渔船从航行到的航程保留根号；
若小岛周围海里内有暗礁，该渔船在航行过程中是否有触礁危险？如有触礁危险，请求出该航线上有危险的航段长；如没有危险，请说明理由．
25. 本小题分
如图，、分别是轴、轴正半轴上两点，线段轴，，且：：，、分别是线段、上动点，点从点出发，以的速度向终点点运动；点从点同时出发，以的速度向终点运动、两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止．
若、出发秒后，请用关于的式子表示四边形的面积；
若经过秒使得，求的值；
如图，点是线段中点，是线段上另一动点位于点左边，且线段在移动过程中始终保持长度为不变，请探究并直接写出四边形周长的最小值．
26. 本小题分
在矩形中，是边上一点．
若，平分，且，求的面积；
若是中点且，于点，求证：；
若，于点，连接并反向延长至点使得点在直线上方，连接、，，，请探究并请直接写出与的数量关系．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、该代数式无意义，不符合题意；
B、是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意；
C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意；
D、是二次根式，故此选项符合题意．
故选：．
根据二次根式的概念一般地，我们把形如的式子叫做二次根式对各选项进行逐一辨别．
此题考查了二次根式有无意义的辨别能力，关键是能准确理解并运用二次根式的概念．
2.【答案】
【解析】解：由两点间距离公式得，，
故选：．
直接利用两点间的距离公式可得答案．
本题主要考查了两点间的距离公式，熟练掌握公式是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
不能合并，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、，故不是直角三角形，不符合题意；
B、，故不是直角三角形，不符合题意；
C、，故是直角三角形，符合题意；
D、，故不是直角三角形，不符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
5.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
的周长．
故选：．
由平行四边形的性质得出，，，即可求出的周长．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分、对边相等的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：观察图形的变化可知：
第个图案中有颗棋子，
第个图案中有颗棋子，
第个图案中有颗棋子，
，
则第个图案中棋子的个数为：颗．
故选：．
观察图形的变化可得第个图案中黑色三角形的个数为：，计算即可．
本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
7.【答案】
【解析】解：原式
，
，
，
，
故选：．
根据二次根式的混合运算化简，估算无理数的大小即可得出答案．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、两组对边相等可以为正方形，平行四边形，菱形，矩形等，所以甲错误；
B、对角线相等的图形有正方形，矩形等，所以乙错误；
C、邻边相等的图形有正方形，菱形，所以丙错误；
D、根据矩形的判定矩形的对角线平分且相等，故D正确．
故选D．
矩形的判定定理有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
本题主要考查了矩形、正方形、菱形的判定定理，关键是掌握矩形的判定定理．
9.【答案】
【解析】解：如图，延长至点，使得，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
是直角三角形，
的面积的面积．
故选：．
延长至点，使得，连接，可证≌，可得，，然后根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，利用的面积的面积，即可解决问题．
本题考查了三角形的中线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，三角形的面积等知识，得到是直角三角形是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：表示距离最近的正整数，
，所以正确；
当时，为，，，，，一共有个，
所以错误；
，，，，，，，，，，，，
，
所以正确；
由，，，，，，，，，，，；可得个，个，个，个，
所以；
故正确；
，
，
所以正确；
故选：．
本题需要根据定义通过估算无理数的值，找到数字变化的规律，再用规律去解答题．
本题考查了无理数的知识和发现规律并运用规律解题的方法，难度较大．
11.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数为非负数即可得出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意掌握二次根式的被开方数为非负数．
12.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
又，
，
解得：，
；
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，，，由已知条件求出，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等，邻角互补是解决问题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，．
．
故答案为：．
根据同类二次根式、最简二次根式的定义解决此题．
本题主要考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握同类二次根式、最简二次根式的定义是解决本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，，
，，，
，
，
根据折叠可得，，，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
故答案为：．
根据题意可得，由折叠可知，，在中，根据勾股定理求得，设，则，在中，根据勾股定理列出方程，求解即可．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
15.【答案】
【解析】解：在中，
，
因为、都是半径，
所以，
又因为
，
因为在点左侧，
所以点表示的实数是．
故答案为：．
求出点到原点的距离即可．
本题考查的实数在数轴上的位置，解题的关键是求得表示数的点，离开原点的距离．
16.【答案】
【解析】解：过点作，交于点，交于点，
，
，
四边形是矩形，
，，，
又，
∽，
，
，
是中点，，
∽，
，
，
设，则，，
，，
，，
解得，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质，可以求得和的长，再根据勾股定理，即可得到的长．
本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17.【答案】
【解析】解：二次根式有意义，
，．
且．
，
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
关于的分式方程有正整数解，
，且是正整数且．
，且．
是整数，
或或．
符合题意的整数的和是．
故答案为：．
根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、分式方程的解的定义解决此题．
本题主要考查分式方程的解、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握分式方程的解的定义、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件是解决本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：设的各个位数上的数字分别为：，，，，
则，，
，
，
，
为一个正整数，
为完全平方数，
，，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
故答案为：．
先根据题意列出代数式，再根据代入验证法求解．
本题考查了整式的运算，代入验证法是解题的关键．
19.【答案】解：
；
．
【解析】先化简，再去括号合并同类项即可求解；
先计算乘除法，再计算加减法．
本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20.【答案】解：连接，
，，
，
，，
，
是直角三角形，
，
的面积，的面积，
四边形的面积的面积的面积．
是等腰直角三角形，
，
，
．
【解析】连接，由勾股定理得到，因此，得到是直角三角形，求出，的面积即可求出四边形的面积；
由是等腰直角三角形，得到，而，即可求出的度数．
本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，关键是应用勾股定理的逆定理证明是直角三角形．
21.【答案】
【解析】解：图形如图所示：
证明：平分，
在▱中，，
，
，
．
在▱中，，
又，
．
在▱中，，
，
即，
又，
四边形是平行四边形．
故答案为：，，，．
根据要求作出图形即可；
证明，即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形；
解：，，
，
，
，
由可知，≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的周长．
【解析】证≌，得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
由勾股定理得，，再由平行四边形的性质得，，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
23.【答案】解：，
，，
，，
，，
；
，，，
，
，
的面积，
，
．
【解析】非负数之和等于时，各项都等于，由此求出、的值，即可解决问题；
由勾股定理求出的长，由三角形面积公式即可求出的长．
本题考查勾股定理，非负数的性质：算术平方根、绝对值，完全平方公式，掌握以上知识点是解题的关键．
24.【答案】解：过点作，垂足为，
在中，，海里，
海里，海里，
在中，，
海里，
海里，
该渔船从航行到的航程为海里；
小岛周围海里内有暗礁，海里，
该渔船在航行过程中有触礁危险，
过点作海里，交于点和点，则该渔船在航段内有危险，如图：
在中，海里，
，，
海里，
该航线上有危险的航段长为海里．
【解析】过点作，垂足为，先在中，利用含度角的直角三角形的性质求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
利用的结论可得该渔船在航行过程中有触礁危险，然后过点作海里，交于点和点，则该渔船在航段内有危险，再在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：，
，
：：，
，
由题意可知： ， ，
，
四边形的面积；
当四边形是平行四边形时，，
，
，
解得；
当四边形是等腰梯形时，，如图，过点，作，于点，，
则，，
，
，
，
解得，
综上所述：的值为或；
如图，在上取点使，
过点作于点，作点关于的对称点，连接、，交点，
轴，
，
，
点是线段中点，
点是线段中点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
是梯形的中位线，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
四边形周长，
当最小时，四边形周长最小，
，
根据两点之间线投最短，当点，，共线时，设与轴交于点，
，
即在时，此时最小，
四边形周长最小值．
【解析】由题意可知： ， ，，然后根据梯形面积公式列式即可；
分两种情况讨论：当四边形是平行四边形时，当四边形是等腰梯形时，，如图，过点，作，于点，，然后列方程求出的值即可；
如图，在上取点使，过点作于点，作点关于的对称点，连接、，交点，得是梯形的中位线，当最小时，四边形周长最小，根据两点之间线投最短，当点，，共线时，设与轴交于点，即在时，此时最小，进而可得四边形周长的最小值．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，等腰梯形的性质，梯形中位线定理，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质，关键是利用分类讨论思想解决问题．
26.【答案】解：在矩形中，，．
过作于，如图．
，，，
≌．
．
，，
即．
，，
，
．
．
．
．
过作于，过作延长线于，如图．
，
，，
．
又，
≌．
，．
，，，
四边形是矩形．
，．
，，，
≌．
．
．
在中，．
．
作关于的对称，连接，，如图．
≌对称，
，．
．
，
．
，
．
．
又，，
≌．
，．
，，，
≌．
，．
．
．
，，
．
．
为等边三角形，
，
．
【解析】利用角平分线的性质，构造≌，同时得到含角的特殊，可求出，进而求出，再求面积．
将分割为、两段，过点作的垂线，垂足恰好是分割点，分别证明．
从，两个条件可发现，联想到可以构造手拉手模型，再通过“”字全等模型找到了与的数量关系，进而找到了与的数量关系．
本题考查了矩形、全等三角形、等边三角形、勾股定理、平行线、角平分线等知识点．三问本质上都是寻找线段之间的关系，层层递进；解决问题的核心都是利用现有的线段数量关系，尤其是等长线段构造全等三角形．当然还有其它方法．