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    2022-2023学年陕西省西安市碑林区八年级下学期期中数学试题及答案

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    这是一份2022-2023学年陕西省西安市碑林区八年级下学期期中数学试题及答案,共26页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.(4分)下列几种著名的数学曲线中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
    A.(笛卡尔爱心曲线)B.(蝴蝶曲线)
    C.(费马螺线曲线)D.(科赫曲线)
    2.(4分)下列等式中,从左到右的变形是多项式的因式分解的是( )
    A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.x2﹣2x+5=x(x﹣2)+5
    C.a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2D.x2+1=x(x+)
    3.(4分)在平面直角坐标系内,将点A(1,2)先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后所得点的坐标是( )
    A.(3,1)B.(3,3)C.(2,﹣1)D.(﹣1,3)
    4.(4分)若a>b,则下列不等式中,错误的是( )
    A.3a>3bB.﹣<﹣C.4a﹣3>4b﹣3D.ac2>bc2
    5.(4分)一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    6.(4分)某种商品进价为700元,标价1100元,由于该商品积压,商店准备打折销售,但要保证利润率不低于10%,则至多可以打( )折.
    A.6折B.7折C.8折D.9折
    7.(4分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在方格线的格点上,将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°,得到△A′B′C′,则点P的坐标为( )
    A.(0,4)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,1)
    8.(4分)如图,在△ABC中,∠B=40°,将△ABC绕着点A顺时针旋转后,得到△AB'C',点C'在BC上,且AB'∥BC,则∠C的度数为( )
    A.80°B.70°C.60°D.40°
    9.(4分)如图,矩形ABCD中,分别以A,C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN分别交AD,BC于点E,F,连接AF,若BF=3,AE=5,以下结论错误的是( )
    A.AF=CFB.∠FAC=∠EACC.AB=4D.AC=2AB
    10.(4分)对于任意实数p、q,定义一种运算:p@q=p+q﹣pq,如:2@3=2+3﹣2×3,请根据以上定义解决问题:若关于x的不等式组有2个整数解,则m的取值范围为是( )
    A.3≤m<5B.3<m≤5C.3≤m≤5D.3<m<5
    二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分.填空题请直接填写答案.)
    11.(4分)分解因式:2a2﹣ab= .
    12.(4分)若点A(6﹣2x,x﹣5)在平面直角坐标系的第二象限内,则x的取值范围是 .
    13.(4分)一次函数y=kx+b的图象如图所示,则不等式kx+b<0的解集为 .
    14.(4分)如图,∠C=90°,将直角△ABC沿着射线BC方向平移5cm,得△A'B'C',若BC=3cm,AC=4cm,则阴影部分的周长为 .
    15.(4分)如图,点E在∠BOA的平分线上,EC⊥OB,垂足为C,点F在OA上,若∠AFE=30°,EC=2,则EF= .
    16.(4分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣3,0),B(0,4),将Rt△ABO顺着x轴无滑动的滚动.第一次滚动到①的位置,点A的对应点记作点A1;第二次滚动到②的位置,点A1的对应点记作点A2;第三次滚动到③的位置,点A2的对应点记作点A3;…;依次进行下去,发现点A(﹣3,0),A1(0,3),A2(9,0),…,则点A2023的坐标为 .
    三、解答题(本大题共10个小题,共86分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
    17.(8分)因式分解
    (1)m2﹣10m+25;
    (2)a3b﹣ab.
    18.(8分)(1)解不等式并写出最小整数解:5x+15>x﹣1;
    (2)解不等式组:.
    19.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,直线DE垂直平分AB,若∠A=40°,求∠DBC的度数.
    20.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证:DE=DF.
    21.(6分)如图,已知直线l1:y1=x+b经过点A(﹣5,0).交y轴于点B,直线l2:y2=﹣2x﹣4与直线l1:y1=x+b交于点C,交y轴于点D.求点C的坐标并结合图象,直接写出y1>y2时x的取值范围.
    22.(8分)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
    (1)作出将△ABC向左平移4个单位,向上平移1个单位后得到的图形△A1B1C1;
    (2)作出△ABC关于原点(0,0)成中心对称的图形△A2B2C2;
    (3)若将△ABC绕点A顺时针旋转90°,则点C的对应点C3的坐标是 (无需作图);并计算出在旋转过程中,点C运动到C3的运动轨迹长度.
    23.(10分)为了响应节能减排的号召,推动绿色生活方式,某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售.
    (1)为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的3倍,则A型车至少购买多少辆?
    (2)在(1)的条件下,若这20辆电动汽车全部售出,为使4S店销售的利润最大,购进A型电动汽车多少辆?最大利润是多少?
    24.(10分)阅读下列材料:某校“数学社团”活动中,研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但还有很多的多项式只用上述方法无法分解,如:“m2﹣mn+2m﹣2n”,细心观察这个式子就会发现,前两项可以提取公因式,后两项也可提取公因式,前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式,然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了,过程为m2﹣mn+2m﹣2n=(m2﹣mn)+(2m﹣2n)=m(m﹣n)+2(m﹣n)=(m﹣n)(m+2).“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”,请在这种方法的启发下,解决以下问题:
    (1)分解因式:a3﹣3a2﹣6a+18;
    (2)已知m+n=5,m﹣n=1,求m2﹣n2+2m﹣2n的值;
    (3)△ABC的三边a,b,c满足a2+ab+c2﹣bc=2ac,判断△ABC的形状并说明理由.
    25.(12分)如图1,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线BC:y=﹣x+1与x轴交于点C,与y轴交于点B.
    (1)求b的值和点A坐标;
    (2)将线段AB向右平移m个单位(m>0)得到线段A′B′,连接A′C,B′C,若△A′B′C是等腰三角形,求m的值;
    (3)点P为y轴上一动点,连接AP,若∠PAB=45°,直接写出点P坐标.
    26.(12分)【提出问题】
    如图1,等腰直角三角形ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,点D为AC上一点,将线段BD绕点D逆时针旋转90°至DE,连接AE,BE,探究AB,AD,AE之间的数量关系.
    【分析问题】
    小明在思考这道题时,想到了老师讲过的“手拉手”模型,便尝试着过点D作AC的垂线与AB相交于点F(如图2),通过证明△DAE≌△DFB,最终探究出AB,AD,AE之间的数量关系.
    (1)根据小明的思路,补全△DAE≌△DFB的证明过程;
    (2)直接写出AB,AD,AE之间的数量关系: ;
    【拓展思考】
    (3)如图3,延长EA、BC相交于点M,点N是BE的中点,若M,D,N三点共线时,求线段AD的长度.
    2022-2023学年陕西省西安市碑林区八年级(下)期中数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
    1.(4分)下列几种著名的数学曲线中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
    A.(笛卡尔爱心曲线)B.(蝴蝶曲线)
    C.(费马螺线曲线)D.(科赫曲线)
    【解答】解:A.该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
    B.该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
    C.该图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不合题意;
    D.该图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项符合题意.
    故选:D.
    2.(4分)下列等式中,从左到右的变形是多项式的因式分解的是( )
    A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.x2﹣2x+5=x(x﹣2)+5
    C.a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2D.x2+1=x(x+)
    【解答】解:A、(a+b)2=a2+2ab+b2是多项式的乘法,不是因式分解,故本选项不合题意;
    B、x2﹣2x+5=x(x﹣2)+5,等式的右边不是几个整式积的形式,故本选项不合题意;
    C、a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2是因式分解,故本选项符合题意;
    D、x2+1=x(x+),右边分母上有字母,不是因式分解,故本选项不合题意.
    故选:C.
    3.(4分)在平面直角坐标系内,将点A(1,2)先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后所得点的坐标是( )
    A.(3,1)B.(3,3)C.(2,﹣1)D.(﹣1,3)
    【解答】解:将点A(1,2)先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后所得点的坐标是(1+1,2﹣3),
    即(2,﹣1),
    故选:C.
    4.(4分)若a>b,则下列不等式中,错误的是( )
    A.3a>3bB.﹣<﹣C.4a﹣3>4b﹣3D.ac2>bc2
    【解答】解:A、在不等式a>b的两边同时乘以3,不等式仍成立,即3a>3b,故本选项正确;
    B、在不等式a>b的两边同时除以﹣3,不等号方向改变,即﹣<﹣,故本选项正确;
    C、在不等式a>b的两边同时先乘以4、再减去3,不等式仍成立,4a﹣3>4b﹣3,故本选项正确;
    D、当c=0时,该不等式不成立,故本选项错误.
    故选:D.
    5.(4分)一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    【解答】解:∵第一个不等式的解集为:x≥﹣3;
    第二个不等式的解集为:x≤2;
    ∴不等式组的解集为:﹣3≤x≤2.
    ∴在数轴上表示不等式组的解集为:
    ∴A、B、D选项不符合题意,C选项符合题意;
    故选:C.
    6.(4分)某种商品进价为700元,标价1100元,由于该商品积压,商店准备打折销售,但要保证利润率不低于10%,则至多可以打( )折.
    A.6折B.7折C.8折D.9折
    【解答】解:设打x折,根据题意可得:
    1100×﹣700≥700×10%,
    解得:x≥7,
    故至多可以打7折.
    故选:B.
    7.(4分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在方格线的格点上,将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°,得到△A′B′C′,则点P的坐标为( )
    A.(0,4)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,1)
    【解答】解:由图知,旋转中心P的坐标为(1,2),
    故选:C.
    8.(4分)如图,在△ABC中,∠B=40°,将△ABC绕着点A顺时针旋转后,得到△AB'C',点C'在BC上,且AB'∥BC,则∠C的度数为( )
    A.80°B.70°C.60°D.40°
    【解答】解:由旋转的性质:AC=AC',∠C=∠AC'B',∠B'=∠B=40°,
    ∵点C'在BC上,
    ∴∠C=∠AC'C,
    ∴∠B'C'C=2∠C,
    ∵AB'∥BC,∠B'=40°,
    ∴∠B'C'C=180°﹣40°=140°,
    即:2∠C=140°,
    ∴∠C=70°,
    故选:B.
    9.(4分)如图,矩形ABCD中,分别以A,C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN分别交AD,BC于点E,F,连接AF,若BF=3,AE=5,以下结论错误的是( )
    A.AF=CFB.∠FAC=∠EACC.AB=4D.AC=2AB
    【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AD=BC,AD∥BC,
    ∴∠FCA=∠EAC,
    根据作图过程可知:
    MN是AC的垂直平分线,
    ∴AF=CF,故A选项正确,不符合题意;
    ∴∠FAC=∠FCA,
    ∴∠FAC=∠EAC,故B选项正确,不符合题意;
    ∵MN是AC的垂直平分线,
    ∴∠FOA=∠EOC=90°,AO=CO,
    在△CFO和△AEO中,

    ∴△CFO≌△AEO(ASA),
    ∴AE=CF,
    ∴AF=CF=AE=5,
    ∵BF=3,
    在Rt△ABF中,根据勾股定理,得
    AB==4,故C选项正确,不符合题意;
    ∵BC=BF+FC=3+5=8,
    ∴BC=2AB,故D选项错误,符合题意,
    故选:D.
    10.(4分)对于任意实数p、q,定义一种运算:p@q=p+q﹣pq,如:2@3=2+3﹣2×3,请根据以上定义解决问题:若关于x的不等式组有2个整数解,则m的取值范围为是( )
    A.3≤m<5B.3<m≤5C.3≤m≤5D.3<m<5
    【解答】解:∵,
    ∴,
    解不等式①得:x<2,
    解不等式②得:,
    ∴不等式组的解集是:,
    ∵不等式组有2个整数解,
    ∴,
    解得:3≤m<5.
    故选:A.
    二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分.填空题请直接填写答案.)
    11.(4分)分解因式:2a2﹣ab= a(2a﹣b) .
    【解答】解:2a2﹣ab=a(2a﹣b).
    故答案为:a(2a﹣b).
    12.(4分)若点A(6﹣2x,x﹣5)在平面直角坐标系的第二象限内,则x的取值范围是 x>5 .
    【解答】解:∵点A(6﹣2x,x﹣5)在第二象限,
    ∴,
    解得:x>5.
    故答案为:x>5.
    13.(4分)一次函数y=kx+b的图象如图所示,则不等式kx+b<0的解集为 x<1 .
    【解答】解:∵y=kx+b,kx+b<0
    ∴y<0,
    由图象可知:x<1
    故答案为:x<1
    14.(4分)如图,∠C=90°,将直角△ABC沿着射线BC方向平移5cm,得△A'B'C',若BC=3cm,AC=4cm,则阴影部分的周长为 16cm .
    【解答】解:在Rt△ACB中,AB===5(cm),
    ∵AA′=BB′=5cm,
    ∴CB′=BB′﹣BC=5﹣3=2(cm),
    ∴阴影部分的周长=AC+CB′+A′B′+AA′=4+2+5+5=16(cm).
    故答案为:16cm.
    15.(4分)如图,点E在∠BOA的平分线上,EC⊥OB,垂足为C,点F在OA上,若∠AFE=30°,EC=2,则EF= 4 .
    【解答】解:如图,作EG⊥AO于点G,
    ∵点E在∠BOA的平分线上,EC⊥OB,EC=2,
    ∴EG=EC=2,
    ∵∠AFE=30°,
    ∴EF=2EG=2×2=4,
    故答案为:4.
    16.(4分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣3,0),B(0,4),将Rt△ABO顺着x轴无滑动的滚动.第一次滚动到①的位置,点A的对应点记作点A1;第二次滚动到②的位置,点A1的对应点记作点A2;第三次滚动到③的位置,点A2的对应点记作点A3;…;依次进行下去,发现点A(﹣3,0),A1(0,3),A2(9,0),…,则点A2023的坐标为 (8088,3) .
    【解答】解:∵A(﹣3,0),B(0,4),
    ∴AB=5,
    由题意得:三角形滚动3次为一个周期,向右移动12,
    ∵2023÷3=674……1,
    674×12+3=8088+3=8091,
    ﹣3+8091=8088,
    ∴点A2023的坐标为(8088,3),
    故答案为:(8088,3).
    三、解答题(本大题共10个小题,共86分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
    17.(8分)因式分解
    (1)m2﹣10m+25;
    (2)a3b﹣ab.
    【解答】解:(1)m2﹣10m+25=(m﹣5)2;
    (2)a3b﹣ab
    =ab(a2﹣1)
    =ab(a+1)(a﹣1).
    18.(8分)(1)解不等式并写出最小整数解:5x+15>x﹣1;
    (2)解不等式组:.
    【解答】解:(1)5x+15>x﹣1,
    4x>﹣16,
    x>﹣4.
    ∴不等式的最小整数解为﹣3.
    (2)由不等式①得,﹣3x+6≥4﹣x,
    解得x≤1,
    由不等式②得,1+4x>3x﹣3,
    解得x>﹣4,
    ∴不等式组的解集为﹣4<x≤1.
    19.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,直线DE垂直平分AB,若∠A=40°,求∠DBC的度数.
    【解答】解:∵∠A=40°,
    ∴∠ABC=∠C=70°,
    ∵DE垂直平分AB,
    ∴AD=BD,
    ∴∠DBA=∠A=40°,
    ∴∠DBC=∠ABC﹣∠DBA=70°﹣40°=30°.
    20.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证:DE=DF.
    【解答】证明:∵AB=AC,
    ∴∠B=∠C,
    又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
    ∴∠BED=∠CFD=90°,
    ∵点D为BC中点,
    ∴DB=DC,
    ∴在△DBE和△DCF中,
    ∴△DBE≌DCF(AAS),
    ∴DE=DF.
    解法二:连接AD,由等腰三角形三线合一 可以知道AD是△ABC的角平分线,再由DE⊥AB,DF⊥AC,及角平分线的性质可得结论.
    21.(6分)如图,已知直线l1:y1=x+b经过点A(﹣5,0).交y轴于点B,直线l2:y2=﹣2x﹣4与直线l1:y1=x+b交于点C,交y轴于点D.求点C的坐标并结合图象,直接写出y1>y2时x的取值范围.
    【解答】解:把A(﹣5,0)代入y1=x+b,得﹣5+b=0,
    解得b=5,
    ∴直线l1:y1=x+5,
    由,解得,
    ∴C(﹣3,2),
    所以由图象知,y1>y2时x的取值范围是x>﹣3.
    22.(8分)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
    (1)作出将△ABC向左平移4个单位,向上平移1个单位后得到的图形△A1B1C1;
    (2)作出△ABC关于原点(0,0)成中心对称的图形△A2B2C2;
    (3)若将△ABC绕点A顺时针旋转90°,则点C的对应点C3的坐标是 (4,﹣1) (无需作图);并计算出在旋转过程中,点C运动到C3的运动轨迹长度.
    【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求.
    (2)如图,△A2B2C2即为所求.
    (3)由题意可得,点C3的坐标是(4,﹣1).
    故答案为:(4,﹣1).
    由勾股定理得,AC==,
    ∴在旋转过程中,点C运动到C3的运动轨迹长度为=.
    23.(10分)为了响应节能减排的号召,推动绿色生活方式,某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售.
    (1)为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的3倍,则A型车至少购买多少辆?
    (2)在(1)的条件下,若这20辆电动汽车全部售出,为使4S店销售的利润最大,购进A型电动汽车多少辆?最大利润是多少?
    【解答】解:(1)设该4S店购进A型电动汽车x辆,则购进B型电动汽车(20﹣x)辆,
    根据题意得:x≥3(20﹣x),
    解得:x≥15,
    ∴x的最小值为15.
    答:A型车至少购买15辆;
    (2)设这20辆电动汽车全部售出后4S店获得的总利润为y万元,
    根据题意得:y=(16.8﹣16)x+(29.4﹣28)(20﹣x),
    即y=﹣0.6x+28.
    ∵k=﹣0.6<0,
    ∴y随x的增大而减小,
    又∵x≥15,且x为正整数,
    ∴当x=15时,y取得最大值,最大值=﹣0.6×15+28=19.
    答:当购进A型电动汽车15辆时,4S店销售的利润最大,最大利润是19万元.
    24.(10分)阅读下列材料:某校“数学社团”活动中,研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但还有很多的多项式只用上述方法无法分解,如:“m2﹣mn+2m﹣2n”,细心观察这个式子就会发现,前两项可以提取公因式,后两项也可提取公因式,前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式,然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了,过程为m2﹣mn+2m﹣2n=(m2﹣mn)+(2m﹣2n)=m(m﹣n)+2(m﹣n)=(m﹣n)(m+2).“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”,请在这种方法的启发下,解决以下问题:
    (1)分解因式:a3﹣3a2﹣6a+18;
    (2)已知m+n=5,m﹣n=1,求m2﹣n2+2m﹣2n的值;
    (3)△ABC的三边a,b,c满足a2+ab+c2﹣bc=2ac,判断△ABC的形状并说明理由.
    【解答】解:(1)a3﹣3a2﹣6a+18
    =a2(a﹣3)﹣6(a﹣3)
    =(a﹣3)(a2﹣6);
    (2)m2﹣n2﹣2n+2m
    =(m2﹣n2)﹣(2n﹣2m)
    =(m+n)(m﹣n)﹣2(n﹣m)
    =(m+n)(m﹣n)+2(m﹣n)
    =(m﹣n)(m+n+2),
    ∵m+n=5,m﹣n=1,
    ∴原式=1×(5+2)=7;
    (3)△ABC是等腰三角形,理由如下:
    ∵a2+ab+c2﹣bc=2ac,
    ∴a2﹣2ac+c2+(ab﹣bc)=0,
    ∴(a﹣c)2+b(a﹣c)=0,
    ∴(a﹣c)(a﹣c+b)=0,
    ∵a﹣c+b>0,∴a﹣c=0,即a=c,
    ∴△ABC是等腰三角形.
    25.(12分)如图1,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线BC:y=﹣x+1与x轴交于点C,与y轴交于点B.
    (1)求b的值和点A坐标;
    (2)将线段AB向右平移m个单位(m>0)得到线段A′B′,连接A′C,B′C,若△A′B′C是等腰三角形,求m的值;
    (3)点P为y轴上一动点,连接AP,若∠PAB=45°,直接写出点P坐标.
    【解答】解:(1)当x=0时,y=﹣x+1=1,
    ∴点B坐标为(0,1),
    ∵直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,
    ∴b=1,
    ∴直线AB解析式为,
    当=0时,x=﹣2,
    ∴点A坐标为(﹣2,0);
    (2)当y=﹣x+1=0时,x=1,
    ∴点C坐标为(1,0),
    将线段AB向右平移m个单位(m>0)得到线段A′B′,
    则A′坐标为(﹣2+m,0),点B′坐标为(m,1),
    ∴A′B′2=(﹣2+m﹣m)2+(0﹣1)2=5,A′C2=(﹣2+m﹣1)2=(m﹣3)2,B′C2=(m﹣1)2+(1﹣0)2,
    △A′B′C是等腰三角形,分情况讨论:
    ①A′B′=A′C,
    可得(m﹣3)2=5,
    解得m=3+或m=3﹣;
    ②A′B′=B′C,
    可得(m﹣1)2+(1﹣0)2=5,
    解得m=3(舍去)或m=﹣1(舍去),
    ③A′C=B′C,
    可得(m﹣1)2+(1﹣0)2=(m﹣3)2,
    解得m=,
    综上所述,m=3+或m=3﹣或;
    (3)分情况讨论:
    ①过点B作BD⊥AB,且BD=AB,连接AD交y轴于点P,过点D作DH⊥y轴于点H,如图所示:
    则△ABD是等腰直角三角形,
    ∴∠PAB=45°,
    ∵点A(﹣2,0),点B(0,1),
    ∴OA=2,OB=1,
    ∵∠DHB=90°,
    ∴∠HDB+∠HBD=90°,
    ∵∠ABD=90°,
    ∴∠ABO+∠HBD=90°,
    ∴∠HDB=∠ABO,
    在△ABO和△BDH中,

    ∴△ABO≌△BDH(AAS),
    ∴BH=AO=2,DH=OB=1,
    ∴点D坐标为(﹣1,3),
    设直线AD的解析式为y=kx+b(k,b为常数,k≠0),
    代入点A(﹣2,0),点D(﹣1,3),
    得,
    解得,
    ∴直线AD的解析式为y=3x+6,
    ∴点P坐标为(0,6);
    ②过点B作BM⊥AB,且BM=AB,连接AM交y轴于点P,过点M作MN⊥y轴于点N,如图所示:
    则△ABM是等腰直角三角形,
    ∴∠PAB=45°,
    ∵∠ABM=90°,
    ∴∠ABO+∠NBM=90°,
    ∵∠BNM=90°,
    ∴∠NBM+∠NMB=90°,
    ∴∠NMB=∠ABO,
    在△ABO和△BMN中,

    ∴△ABO≌△BMN(AAS),
    ∴BN=AO=2,NM=OB=1,
    ∴点M坐标为(1,﹣1),
    设直线AM的解析式为y=ax+c(a,c为常数,a≠0),
    代入点A(﹣2,0),点M(1,﹣1),
    得,
    解得,
    ∴直线AM的解析式为,
    ∴点P坐标为(0,),
    综上所述,满足条件的点P坐标为(0,6)或(0,).
    26.(12分)【提出问题】
    如图1,等腰直角三角形ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,点D为AC上一点,将线段BD绕点D逆时针旋转90°至DE,连接AE,BE,探究AB,AD,AE之间的数量关系.
    【分析问题】
    小明在思考这道题时,想到了老师讲过的“手拉手”模型,便尝试着过点D作AC的垂线与AB相交于点F(如图2),通过证明△DAE≌△DFB,最终探究出AB,AD,AE之间的数量关系.
    (1)根据小明的思路,补全△DAE≌△DFB的证明过程;
    (2)直接写出AB,AD,AE之间的数量关系: AB﹣AE=AD ;
    【拓展思考】
    (3)如图3,延长EA、BC相交于点M,点N是BE的中点,若M,D,N三点共线时,求线段AD的长度.
    【解答】(1)证明:如图2中,过点D作AC的垂线与AB相交于点F.
    ∵CA=CB,∠C=90°,
    ∴∠CAB=∠CBA=45°,
    ∵DF⊥AC,
    ∴∠ADF=90°,
    ∴∠DAF=∠DFA=45°,
    ∴DA=DF,
    ∵∠ADF=∠EDB=90°,
    ∴∠ADE=∠FDB,
    在△ADE和△FDB中,

    ∴△ADE≌△FDB(SAS),
    (2)结论:AB﹣AE=AD.
    理由:∵△ADF是等腰直角三角形,
    ∴AF=AD,
    ∵△ADE≌△FDB,
    ∴AE=FB,
    ∴AB﹣AE=AB﹣BF=AF=AD.
    故答案为:AB﹣AE=AD;
    (3)如图3中,过点D作DH⊥AB于点H.
    如图2中,由(1)可知△ADE≌△FDB(SAS),
    ∴∠DAE=∠DFB=135°,
    如图3中,∵∠CAB=∠ABC=45°,
    ∴∠BAE=∠BAM=90°,
    ∴∠AMB=∠ABM=45°,
    ∵DE=DB,EN=BN,
    ∴DN⊥BE,
    ∵M,D,N三点共线,
    ∴MN垂直平分线段EB,
    ∴ME=MB,
    ∴∠DMC=∠DMH,
    ∵DH⊥AM,DC⊥MC,
    ∴DC=DH,
    设AD=m,则AH=DH=DC=m,
    ∴m+m=2,
    ∴m=4﹣2,
    ∴AD=4﹣2.
    成本价(万元/辆)
    售价(万元/辆)
    A型
    16
    16.8
    B型
    28
    29.4
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