2022-2023学年陕西省西安市碑林区八年级下学期期中数学试题及答案
展开1.(4分)下列几种著名的数学曲线中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.(笛卡尔爱心曲线)B.(蝴蝶曲线)
C.(费马螺线曲线)D.(科赫曲线)
2.(4分)下列等式中,从左到右的变形是多项式的因式分解的是( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.x2﹣2x+5=x(x﹣2)+5
C.a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2D.x2+1=x(x+)
3.(4分)在平面直角坐标系内,将点A(1,2)先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后所得点的坐标是( )
A.(3,1)B.(3,3)C.(2,﹣1)D.(﹣1,3)
4.(4分)若a>b,则下列不等式中,错误的是( )
A.3a>3bB.﹣<﹣C.4a﹣3>4b﹣3D.ac2>bc2
5.(4分)一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A.B.
C.D.
6.(4分)某种商品进价为700元,标价1100元,由于该商品积压,商店准备打折销售,但要保证利润率不低于10%,则至多可以打( )折.
A.6折B.7折C.8折D.9折
7.(4分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在方格线的格点上,将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°,得到△A′B′C′,则点P的坐标为( )
A.(0,4)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,1)
8.(4分)如图,在△ABC中,∠B=40°,将△ABC绕着点A顺时针旋转后,得到△AB'C',点C'在BC上,且AB'∥BC,则∠C的度数为( )
A.80°B.70°C.60°D.40°
9.(4分)如图,矩形ABCD中,分别以A,C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN分别交AD,BC于点E,F,连接AF,若BF=3,AE=5,以下结论错误的是( )
A.AF=CFB.∠FAC=∠EACC.AB=4D.AC=2AB
10.(4分)对于任意实数p、q,定义一种运算:p@q=p+q﹣pq,如:2@3=2+3﹣2×3,请根据以上定义解决问题:若关于x的不等式组有2个整数解,则m的取值范围为是( )
A.3≤m<5B.3<m≤5C.3≤m≤5D.3<m<5
二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分.填空题请直接填写答案.)
11.(4分)分解因式:2a2﹣ab= .
12.(4分)若点A(6﹣2x,x﹣5)在平面直角坐标系的第二象限内,则x的取值范围是 .
13.(4分)一次函数y=kx+b的图象如图所示,则不等式kx+b<0的解集为 .
14.(4分)如图,∠C=90°,将直角△ABC沿着射线BC方向平移5cm,得△A'B'C',若BC=3cm,AC=4cm,则阴影部分的周长为 .
15.(4分)如图,点E在∠BOA的平分线上,EC⊥OB,垂足为C,点F在OA上,若∠AFE=30°,EC=2,则EF= .
16.(4分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣3,0),B(0,4),将Rt△ABO顺着x轴无滑动的滚动.第一次滚动到①的位置,点A的对应点记作点A1;第二次滚动到②的位置,点A1的对应点记作点A2;第三次滚动到③的位置,点A2的对应点记作点A3;…;依次进行下去,发现点A(﹣3,0),A1(0,3),A2(9,0),…,则点A2023的坐标为 .
三、解答题(本大题共10个小题,共86分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(8分)因式分解
(1)m2﹣10m+25;
(2)a3b﹣ab.
18.(8分)(1)解不等式并写出最小整数解:5x+15>x﹣1;
(2)解不等式组:.
19.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,直线DE垂直平分AB,若∠A=40°,求∠DBC的度数.
20.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证:DE=DF.
21.(6分)如图,已知直线l1:y1=x+b经过点A(﹣5,0).交y轴于点B,直线l2:y2=﹣2x﹣4与直线l1:y1=x+b交于点C,交y轴于点D.求点C的坐标并结合图象,直接写出y1>y2时x的取值范围.
22.(8分)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)作出将△ABC向左平移4个单位,向上平移1个单位后得到的图形△A1B1C1;
(2)作出△ABC关于原点(0,0)成中心对称的图形△A2B2C2;
(3)若将△ABC绕点A顺时针旋转90°,则点C的对应点C3的坐标是 (无需作图);并计算出在旋转过程中,点C运动到C3的运动轨迹长度.
23.(10分)为了响应节能减排的号召,推动绿色生活方式,某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售.
(1)为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的3倍,则A型车至少购买多少辆?
(2)在(1)的条件下,若这20辆电动汽车全部售出,为使4S店销售的利润最大,购进A型电动汽车多少辆?最大利润是多少?
24.(10分)阅读下列材料:某校“数学社团”活动中,研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但还有很多的多项式只用上述方法无法分解,如:“m2﹣mn+2m﹣2n”,细心观察这个式子就会发现,前两项可以提取公因式,后两项也可提取公因式,前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式,然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了,过程为m2﹣mn+2m﹣2n=(m2﹣mn)+(2m﹣2n)=m(m﹣n)+2(m﹣n)=(m﹣n)(m+2).“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”,请在这种方法的启发下,解决以下问题:
(1)分解因式:a3﹣3a2﹣6a+18;
(2)已知m+n=5,m﹣n=1,求m2﹣n2+2m﹣2n的值;
(3)△ABC的三边a,b,c满足a2+ab+c2﹣bc=2ac,判断△ABC的形状并说明理由.
25.(12分)如图1,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线BC:y=﹣x+1与x轴交于点C,与y轴交于点B.
(1)求b的值和点A坐标;
(2)将线段AB向右平移m个单位(m>0)得到线段A′B′,连接A′C,B′C,若△A′B′C是等腰三角形,求m的值;
(3)点P为y轴上一动点,连接AP,若∠PAB=45°,直接写出点P坐标.
26.(12分)【提出问题】
如图1,等腰直角三角形ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,点D为AC上一点,将线段BD绕点D逆时针旋转90°至DE,连接AE,BE,探究AB,AD,AE之间的数量关系.
【分析问题】
小明在思考这道题时,想到了老师讲过的“手拉手”模型,便尝试着过点D作AC的垂线与AB相交于点F(如图2),通过证明△DAE≌△DFB,最终探究出AB,AD,AE之间的数量关系.
(1)根据小明的思路,补全△DAE≌△DFB的证明过程;
(2)直接写出AB,AD,AE之间的数量关系: ;
【拓展思考】
(3)如图3,延长EA、BC相交于点M,点N是BE的中点,若M,D,N三点共线时,求线段AD的长度.
2022-2023学年陕西省西安市碑林区八年级(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(4分)下列几种著名的数学曲线中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.(笛卡尔爱心曲线)B.(蝴蝶曲线)
C.(费马螺线曲线)D.(科赫曲线)
【解答】解:A.该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
B.该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
C.该图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不合题意;
D.该图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项符合题意.
故选:D.
2.(4分)下列等式中,从左到右的变形是多项式的因式分解的是( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.x2﹣2x+5=x(x﹣2)+5
C.a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2D.x2+1=x(x+)
【解答】解:A、(a+b)2=a2+2ab+b2是多项式的乘法,不是因式分解,故本选项不合题意;
B、x2﹣2x+5=x(x﹣2)+5,等式的右边不是几个整式积的形式,故本选项不合题意;
C、a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2是因式分解,故本选项符合题意;
D、x2+1=x(x+),右边分母上有字母,不是因式分解,故本选项不合题意.
故选:C.
3.(4分)在平面直角坐标系内,将点A(1,2)先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后所得点的坐标是( )
A.(3,1)B.(3,3)C.(2,﹣1)D.(﹣1,3)
【解答】解:将点A(1,2)先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后所得点的坐标是(1+1,2﹣3),
即(2,﹣1),
故选:C.
4.(4分)若a>b,则下列不等式中,错误的是( )
A.3a>3bB.﹣<﹣C.4a﹣3>4b﹣3D.ac2>bc2
【解答】解:A、在不等式a>b的两边同时乘以3,不等式仍成立,即3a>3b,故本选项正确;
B、在不等式a>b的两边同时除以﹣3,不等号方向改变,即﹣<﹣,故本选项正确;
C、在不等式a>b的两边同时先乘以4、再减去3,不等式仍成立,4a﹣3>4b﹣3,故本选项正确;
D、当c=0时,该不等式不成立,故本选项错误.
故选:D.
5.(4分)一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A.B.
C.D.
【解答】解:∵第一个不等式的解集为:x≥﹣3;
第二个不等式的解集为:x≤2;
∴不等式组的解集为:﹣3≤x≤2.
∴在数轴上表示不等式组的解集为:
∴A、B、D选项不符合题意,C选项符合题意;
故选:C.
6.(4分)某种商品进价为700元,标价1100元,由于该商品积压,商店准备打折销售,但要保证利润率不低于10%,则至多可以打( )折.
A.6折B.7折C.8折D.9折
【解答】解:设打x折,根据题意可得:
1100×﹣700≥700×10%,
解得:x≥7,
故至多可以打7折.
故选:B.
7.(4分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在方格线的格点上,将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°,得到△A′B′C′,则点P的坐标为( )
A.(0,4)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,1)
【解答】解:由图知,旋转中心P的坐标为(1,2),
故选:C.
8.(4分)如图,在△ABC中,∠B=40°,将△ABC绕着点A顺时针旋转后,得到△AB'C',点C'在BC上,且AB'∥BC,则∠C的度数为( )
A.80°B.70°C.60°D.40°
【解答】解:由旋转的性质:AC=AC',∠C=∠AC'B',∠B'=∠B=40°,
∵点C'在BC上,
∴∠C=∠AC'C,
∴∠B'C'C=2∠C,
∵AB'∥BC,∠B'=40°,
∴∠B'C'C=180°﹣40°=140°,
即:2∠C=140°,
∴∠C=70°,
故选:B.
9.(4分)如图,矩形ABCD中,分别以A,C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN分别交AD,BC于点E,F,连接AF,若BF=3,AE=5,以下结论错误的是( )
A.AF=CFB.∠FAC=∠EACC.AB=4D.AC=2AB
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠FCA=∠EAC,
根据作图过程可知:
MN是AC的垂直平分线,
∴AF=CF,故A选项正确,不符合题意;
∴∠FAC=∠FCA,
∴∠FAC=∠EAC,故B选项正确,不符合题意;
∵MN是AC的垂直平分线,
∴∠FOA=∠EOC=90°,AO=CO,
在△CFO和△AEO中,
,
∴△CFO≌△AEO(ASA),
∴AE=CF,
∴AF=CF=AE=5,
∵BF=3,
在Rt△ABF中,根据勾股定理,得
AB==4,故C选项正确,不符合题意;
∵BC=BF+FC=3+5=8,
∴BC=2AB,故D选项错误,符合题意,
故选:D.
10.(4分)对于任意实数p、q,定义一种运算:p@q=p+q﹣pq,如:2@3=2+3﹣2×3,请根据以上定义解决问题:若关于x的不等式组有2个整数解,则m的取值范围为是( )
A.3≤m<5B.3<m≤5C.3≤m≤5D.3<m<5
【解答】解:∵,
∴,
解不等式①得:x<2,
解不等式②得:,
∴不等式组的解集是:,
∵不等式组有2个整数解,
∴,
解得:3≤m<5.
故选:A.
二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分.填空题请直接填写答案.)
11.(4分)分解因式:2a2﹣ab= a(2a﹣b) .
【解答】解:2a2﹣ab=a(2a﹣b).
故答案为:a(2a﹣b).
12.(4分)若点A(6﹣2x,x﹣5)在平面直角坐标系的第二象限内,则x的取值范围是 x>5 .
【解答】解:∵点A(6﹣2x,x﹣5)在第二象限,
∴,
解得:x>5.
故答案为:x>5.
13.(4分)一次函数y=kx+b的图象如图所示,则不等式kx+b<0的解集为 x<1 .
【解答】解:∵y=kx+b,kx+b<0
∴y<0,
由图象可知:x<1
故答案为:x<1
14.(4分)如图,∠C=90°,将直角△ABC沿着射线BC方向平移5cm,得△A'B'C',若BC=3cm,AC=4cm,则阴影部分的周长为 16cm .
【解答】解:在Rt△ACB中,AB===5(cm),
∵AA′=BB′=5cm,
∴CB′=BB′﹣BC=5﹣3=2(cm),
∴阴影部分的周长=AC+CB′+A′B′+AA′=4+2+5+5=16(cm).
故答案为:16cm.
15.(4分)如图,点E在∠BOA的平分线上,EC⊥OB,垂足为C,点F在OA上,若∠AFE=30°,EC=2,则EF= 4 .
【解答】解:如图,作EG⊥AO于点G,
∵点E在∠BOA的平分线上,EC⊥OB,EC=2,
∴EG=EC=2,
∵∠AFE=30°,
∴EF=2EG=2×2=4,
故答案为:4.
16.(4分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣3,0),B(0,4),将Rt△ABO顺着x轴无滑动的滚动.第一次滚动到①的位置,点A的对应点记作点A1;第二次滚动到②的位置,点A1的对应点记作点A2;第三次滚动到③的位置,点A2的对应点记作点A3;…;依次进行下去,发现点A(﹣3,0),A1(0,3),A2(9,0),…,则点A2023的坐标为 (8088,3) .
【解答】解:∵A(﹣3,0),B(0,4),
∴AB=5,
由题意得:三角形滚动3次为一个周期,向右移动12,
∵2023÷3=674……1,
674×12+3=8088+3=8091,
﹣3+8091=8088,
∴点A2023的坐标为(8088,3),
故答案为:(8088,3).
三、解答题(本大题共10个小题,共86分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(8分)因式分解
(1)m2﹣10m+25;
(2)a3b﹣ab.
【解答】解:(1)m2﹣10m+25=(m﹣5)2;
(2)a3b﹣ab
=ab(a2﹣1)
=ab(a+1)(a﹣1).
18.(8分)(1)解不等式并写出最小整数解:5x+15>x﹣1;
(2)解不等式组:.
【解答】解:(1)5x+15>x﹣1,
4x>﹣16,
x>﹣4.
∴不等式的最小整数解为﹣3.
(2)由不等式①得,﹣3x+6≥4﹣x,
解得x≤1,
由不等式②得,1+4x>3x﹣3,
解得x>﹣4,
∴不等式组的解集为﹣4<x≤1.
19.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,直线DE垂直平分AB,若∠A=40°,求∠DBC的度数.
【解答】解:∵∠A=40°,
∴∠ABC=∠C=70°,
∵DE垂直平分AB,
∴AD=BD,
∴∠DBA=∠A=40°,
∴∠DBC=∠ABC﹣∠DBA=70°﹣40°=30°.
20.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证:DE=DF.
【解答】证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°,
∵点D为BC中点,
∴DB=DC,
∴在△DBE和△DCF中,
∴△DBE≌DCF(AAS),
∴DE=DF.
解法二:连接AD,由等腰三角形三线合一 可以知道AD是△ABC的角平分线,再由DE⊥AB,DF⊥AC,及角平分线的性质可得结论.
21.(6分)如图,已知直线l1:y1=x+b经过点A(﹣5,0).交y轴于点B,直线l2:y2=﹣2x﹣4与直线l1:y1=x+b交于点C,交y轴于点D.求点C的坐标并结合图象,直接写出y1>y2时x的取值范围.
【解答】解:把A(﹣5,0)代入y1=x+b,得﹣5+b=0,
解得b=5,
∴直线l1:y1=x+5,
由,解得,
∴C(﹣3,2),
所以由图象知,y1>y2时x的取值范围是x>﹣3.
22.(8分)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)作出将△ABC向左平移4个单位,向上平移1个单位后得到的图形△A1B1C1;
(2)作出△ABC关于原点(0,0)成中心对称的图形△A2B2C2;
(3)若将△ABC绕点A顺时针旋转90°,则点C的对应点C3的坐标是 (4,﹣1) (无需作图);并计算出在旋转过程中,点C运动到C3的运动轨迹长度.
【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图,△A2B2C2即为所求.
(3)由题意可得,点C3的坐标是(4,﹣1).
故答案为:(4,﹣1).
由勾股定理得,AC==,
∴在旋转过程中,点C运动到C3的运动轨迹长度为=.
23.(10分)为了响应节能减排的号召,推动绿色生活方式,某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售.
(1)为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的3倍,则A型车至少购买多少辆?
(2)在(1)的条件下,若这20辆电动汽车全部售出,为使4S店销售的利润最大,购进A型电动汽车多少辆?最大利润是多少?
【解答】解:(1)设该4S店购进A型电动汽车x辆,则购进B型电动汽车(20﹣x)辆,
根据题意得:x≥3(20﹣x),
解得:x≥15,
∴x的最小值为15.
答:A型车至少购买15辆;
(2)设这20辆电动汽车全部售出后4S店获得的总利润为y万元,
根据题意得:y=(16.8﹣16)x+(29.4﹣28)(20﹣x),
即y=﹣0.6x+28.
∵k=﹣0.6<0,
∴y随x的增大而减小,
又∵x≥15,且x为正整数,
∴当x=15时,y取得最大值,最大值=﹣0.6×15+28=19.
答:当购进A型电动汽车15辆时,4S店销售的利润最大,最大利润是19万元.
24.(10分)阅读下列材料:某校“数学社团”活动中,研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但还有很多的多项式只用上述方法无法分解,如:“m2﹣mn+2m﹣2n”,细心观察这个式子就会发现,前两项可以提取公因式,后两项也可提取公因式,前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式,然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了,过程为m2﹣mn+2m﹣2n=(m2﹣mn)+(2m﹣2n)=m(m﹣n)+2(m﹣n)=(m﹣n)(m+2).“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”,请在这种方法的启发下,解决以下问题:
(1)分解因式:a3﹣3a2﹣6a+18;
(2)已知m+n=5,m﹣n=1,求m2﹣n2+2m﹣2n的值;
(3)△ABC的三边a,b,c满足a2+ab+c2﹣bc=2ac,判断△ABC的形状并说明理由.
【解答】解:(1)a3﹣3a2﹣6a+18
=a2(a﹣3)﹣6(a﹣3)
=(a﹣3)(a2﹣6);
(2)m2﹣n2﹣2n+2m
=(m2﹣n2)﹣(2n﹣2m)
=(m+n)(m﹣n)﹣2(n﹣m)
=(m+n)(m﹣n)+2(m﹣n)
=(m﹣n)(m+n+2),
∵m+n=5,m﹣n=1,
∴原式=1×(5+2)=7;
(3)△ABC是等腰三角形,理由如下:
∵a2+ab+c2﹣bc=2ac,
∴a2﹣2ac+c2+(ab﹣bc)=0,
∴(a﹣c)2+b(a﹣c)=0,
∴(a﹣c)(a﹣c+b)=0,
∵a﹣c+b>0,∴a﹣c=0,即a=c,
∴△ABC是等腰三角形.
25.(12分)如图1,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线BC:y=﹣x+1与x轴交于点C,与y轴交于点B.
(1)求b的值和点A坐标;
(2)将线段AB向右平移m个单位(m>0)得到线段A′B′,连接A′C,B′C,若△A′B′C是等腰三角形,求m的值;
(3)点P为y轴上一动点,连接AP,若∠PAB=45°,直接写出点P坐标.
【解答】解:(1)当x=0时,y=﹣x+1=1,
∴点B坐标为(0,1),
∵直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴b=1,
∴直线AB解析式为,
当=0时,x=﹣2,
∴点A坐标为(﹣2,0);
(2)当y=﹣x+1=0时,x=1,
∴点C坐标为(1,0),
将线段AB向右平移m个单位(m>0)得到线段A′B′,
则A′坐标为(﹣2+m,0),点B′坐标为(m,1),
∴A′B′2=(﹣2+m﹣m)2+(0﹣1)2=5,A′C2=(﹣2+m﹣1)2=(m﹣3)2,B′C2=(m﹣1)2+(1﹣0)2,
△A′B′C是等腰三角形,分情况讨论:
①A′B′=A′C,
可得(m﹣3)2=5,
解得m=3+或m=3﹣;
②A′B′=B′C,
可得(m﹣1)2+(1﹣0)2=5,
解得m=3(舍去)或m=﹣1(舍去),
③A′C=B′C,
可得(m﹣1)2+(1﹣0)2=(m﹣3)2,
解得m=,
综上所述,m=3+或m=3﹣或;
(3)分情况讨论:
①过点B作BD⊥AB,且BD=AB,连接AD交y轴于点P,过点D作DH⊥y轴于点H,如图所示:
则△ABD是等腰直角三角形,
∴∠PAB=45°,
∵点A(﹣2,0),点B(0,1),
∴OA=2,OB=1,
∵∠DHB=90°,
∴∠HDB+∠HBD=90°,
∵∠ABD=90°,
∴∠ABO+∠HBD=90°,
∴∠HDB=∠ABO,
在△ABO和△BDH中,
,
∴△ABO≌△BDH(AAS),
∴BH=AO=2,DH=OB=1,
∴点D坐标为(﹣1,3),
设直线AD的解析式为y=kx+b(k,b为常数,k≠0),
代入点A(﹣2,0),点D(﹣1,3),
得,
解得,
∴直线AD的解析式为y=3x+6,
∴点P坐标为(0,6);
②过点B作BM⊥AB,且BM=AB,连接AM交y轴于点P,过点M作MN⊥y轴于点N,如图所示:
则△ABM是等腰直角三角形,
∴∠PAB=45°,
∵∠ABM=90°,
∴∠ABO+∠NBM=90°,
∵∠BNM=90°,
∴∠NBM+∠NMB=90°,
∴∠NMB=∠ABO,
在△ABO和△BMN中,
,
∴△ABO≌△BMN(AAS),
∴BN=AO=2,NM=OB=1,
∴点M坐标为(1,﹣1),
设直线AM的解析式为y=ax+c(a,c为常数,a≠0),
代入点A(﹣2,0),点M(1,﹣1),
得,
解得,
∴直线AM的解析式为,
∴点P坐标为(0,),
综上所述,满足条件的点P坐标为(0,6)或(0,).
26.(12分)【提出问题】
如图1,等腰直角三角形ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,点D为AC上一点,将线段BD绕点D逆时针旋转90°至DE,连接AE,BE,探究AB,AD,AE之间的数量关系.
【分析问题】
小明在思考这道题时,想到了老师讲过的“手拉手”模型,便尝试着过点D作AC的垂线与AB相交于点F(如图2),通过证明△DAE≌△DFB,最终探究出AB,AD,AE之间的数量关系.
(1)根据小明的思路,补全△DAE≌△DFB的证明过程;
(2)直接写出AB,AD,AE之间的数量关系: AB﹣AE=AD ;
【拓展思考】
(3)如图3,延长EA、BC相交于点M,点N是BE的中点,若M,D,N三点共线时,求线段AD的长度.
【解答】(1)证明:如图2中,过点D作AC的垂线与AB相交于点F.
∵CA=CB,∠C=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°,
∵DF⊥AC,
∴∠ADF=90°,
∴∠DAF=∠DFA=45°,
∴DA=DF,
∵∠ADF=∠EDB=90°,
∴∠ADE=∠FDB,
在△ADE和△FDB中,
,
∴△ADE≌△FDB(SAS),
(2)结论:AB﹣AE=AD.
理由:∵△ADF是等腰直角三角形,
∴AF=AD,
∵△ADE≌△FDB,
∴AE=FB,
∴AB﹣AE=AB﹣BF=AF=AD.
故答案为:AB﹣AE=AD;
(3)如图3中,过点D作DH⊥AB于点H.
如图2中,由(1)可知△ADE≌△FDB(SAS),
∴∠DAE=∠DFB=135°,
如图3中,∵∠CAB=∠ABC=45°,
∴∠BAE=∠BAM=90°,
∴∠AMB=∠ABM=45°,
∵DE=DB,EN=BN,
∴DN⊥BE,
∵M,D,N三点共线,
∴MN垂直平分线段EB,
∴ME=MB,
∴∠DMC=∠DMH,
∵DH⊥AM,DC⊥MC,
∴DC=DH,
设AD=m,则AH=DH=DC=m,
∴m+m=2,
∴m=4﹣2,
∴AD=4﹣2.
成本价(万元/辆)
售价(万元/辆)
A型
16
16.8
B型
28
29.4
成本价(万元/辆)
售价(万元/辆)
A型
16
16.8
B型
28
29.4
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