高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课时作业，共19页。试卷主要包含了 化简， 作图验证， 已知，为两个非零向量，， 填空等内容，欢迎下载使用。
6.2  平面向量的运算习题6.2复习巩固1. 如果表示“向东走”， 表示“向西走”， 表示“向北走”， 表示“向南走”，那么下列向量具有什么意义？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）向东走；（2）向东走；（3）向东北走；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走.【解析】【分析】由向量加法及其几何意义和位移的关系可得.【详解】由题意知：表示“向东走”， 表示“向西走”， 表示“向北走”， 表示“向南走”（1）表示“向东走”（2）表示“向东走”（3）表示“向东北走”（4）表示“向西南走”（5）表示“向西北走”（6）表示“向东南走”【点睛】本题考查向量加法及其几何意义，属于基础题.2. 一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.【答案】飞机飞行的路程为；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行.【解析】【分析】由向量的加减运算，即可得出结论.【详解】由向量的加减运算可知：飞机飞行的路程是；两次位移的合成是向北偏西约53°，方向飞行.【点睛】本题考查向量的加法及其几何意义，考查学生的计算能力，区分路程、位移是关键.3. 一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时河水流速的大小为求船实际航行的速度的大小与方向（精确到l°）.【答案】，方向与水流方向成76°角【解析】【分析】利用向量的加法运算，模的运算，勾股定理，即可得出结论.【详解】设船的航行速度为，水流速度为，船的实际航行速度为v，v与的夹角为，则由，得.船实际航行的速度的大小为，方向与水流方向成76°角.【点睛】本题以实际问题为载体，考查向量的加法运算，考查三角函数知识，属于基础题.4. 化简：（1）；           （2）；（3）；     （4）；（5）；           （6）；（7）.【答案】（1）.（2）（3）.（4）（5）（6）.（7）【解析】【分析】根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可.【详解】解：（1）原式.（2）原式（3）原式.（4）原式（5）原式（6）原式.（7）原式【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，属于基础题.5. 作图验证：（1）         （2）【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】根据向量的平行四边形法则，画图验证即可.【详解】解：如图，在平行四边形ABCD中，设，则.（1）因为，所以（2）因为，所以【点睛】本题考查向量的平行四边形法则，属于基础题.6. （1）已知向量,,求作向量，使.（2）（1）中表示,,的有向线段能构成三角形吗？【答案】（1）见解析.（2）当，共线时，不能构成三角形，当，不共线时能构成三角形.【解析】【分析】作平行四边形，使得，，可得，由于，可得，或作，使得，，，即可得出.【详解】（1）方法一：如图所示，当向量,两个不共线时，作平行四边形，使得，，则，又，所以，即，方法二：利用向量的三角形法则，如下图：作，使得，，，则，即，当向量,两个共线时，如下图：使得，，则，，所以，，即.（2）向量,两个不共线时，表示,,的有向线段能构成三角形，向量,两个共线时，,,的有向线段不能构成三角形.【点睛】本题考查了向量的三角形法则，平行四边形法则、分类讨论方法，考查了作图能力，属于基础题.7. 已知，为两个非零向量，（1）求作向量；（2）当向量，成什么位置关系时，满足？（不要求证明）【答案】（1）见解析.（2）【解析】【分析】根据向量的三角形法则，作出图象即可.【详解】（1）当向量,两个不共线时，作，使得，，，，所以，当向量,两个同向且共线时，作，，，所以，当向量,两个反向且共线时，作，，，所以，，（2）当时，满足，如图，作矩形，作，，所以，，.【点睛】本题考查了平面向量的知识，考查了学生的动手能力，解题的关键是掌握三角形法则的应用，掌握数形结合思想的应用，属于基础题.8. 化简：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，对每一个小题进行计算即可．【详解】（1）.（2）.（3）.（4）.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用问题，属于基础题．9. .求证.【答案】见解析【解析】【分析】直接由已知结合向量减法的三角形法则可得.【详解】证明：因为，而，所以.【点睛】本题考查共线向量基本定理，考查了向量减法的三角形法则，属于基础题.10. 填空：（1）若,满足,则的最大值为____________，最小值为____________；（2）当非零向量,满足_____________时，平分与的夹角.【答案】    ①. 5    ②. 1    ③. 【解析】【分析】利用即可得到结论.【详解】（1），当且仅当，同向时取等号，又，当且仅当，反向时取等号，.（2）当时，为以,为邻边的平行四边形的对角线，此时的平行四边形为菱形，对角线恰好平分与的夹角.答案：（1）5，1;（2）【点睛】本题考查向量的数量积的运算及计算公式，属于基础题.11. （1）已知,且与的夹角，求；（2）已知,且,求.【答案】（1）；；（2）；【解析】【分析】（1）根据向量的数量积公式和向量的模即可求出；（2）根据向量的数量积公式和向量的模即可求出.【详解】解：（1）；（2）【点睛】本题考查了向量的模和向量的数量积，考查了运算能力，属于基础题.12. 求证：.【答案】见解析【解析】【分析】分，，讨论即可得到结论.【详解】证明：（1）设，的夹角为，当时，.成立.（2）当时，与同向，与同向，与的夹角为，与的夹角为.，，成立.（3）当时，与反向，与反向，与的夹角为，与的夹角为.,,,成立.综上可知，原等式成立.【点睛】本题考查向量的数乘运算及运算律，属于基础题.综合运用13. 根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明：（1）；（2）；（3），且.【答案】（1）平行四边形.见解析（2）梯形，见解析（3）菱形，见解析【解析】【分析】（1）由，可得，，即可判断出四边形的形状；（2）由，可得，，即可判断出四边形的形状；（3）由，且，可得四边形是有一组邻边相等的平行四边形，即可判断出四边形的形状.【详解】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，证明如下：且.且，∴四边形ABCD是平行四边形.（2）四边形ABCD是梯形，证明如下：.又，，即，∴四边形ABCD是梯形.（3）四边形ABCD是菱形，证明如下：且.且，∴四边形ABCD是平行四边形.又，∴四边形ABCD是菱形.【点睛】本题考查了向量相等的意义、特殊四边形的判定，考查了推理能力，属于基础题.14. 在中，，且与边AC相交于点E，的中线AM与DE相交于点N.设，用，分别表示向量.【答案】，.【解析】【分析】直接利用向量共线即可得到结论.【详解】如图，.【点睛】本题考查向量共线的表示，属于基础题.15. 如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：+=2．【答案】证明详见解析．【解析】【详解】根据平面向量的加法意义，得，，又∵E，F分别为AD，BC中点，∴0，0；∴2=（++）+（++）=（+）+（+）+（+）=+，即．16. 飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？【答案】图见解析，北偏东45°方向，距甲地1400km.【解析】【分析】作出方位示意图，构造等腰三角形，解这个三角形即可得出答案【详解】如图，丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km.设甲地为，乙地为，丙地为，作出示意图，则，，，，是等边三角形，，，，即丙地在甲地北偏东，丙地距甲地.【点睛】本题考查了解三角形的实际应用，画出草图是关键，属于基础题.17. （1）如图（1），在中，计算；（2）如图（2），在四边形ABCD中，计算；（3）如图（3），在n边形中，证明你的结论.    【答案】（1）（2）（3），见解析【解析】【分析】根据向量的加法法则直接对各式计算即可.【详解】解：（1）（2）.（3）.证明如下：【点睛】本题考查向量加法的运算法则，属于基础题.18. 已知，求与的夹角.【答案】【解析】【分析】根据可求出，再根据求夹角，即可得出结果.【详解】因为，所以，即，所以，因此，所以与的夹角为.【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的夹角公式，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.19. 已知.且.求与的夹角（精确到1°）.（可用计算工具）【答案】【解析】【分析】先利用模的运算得，再利用向量夹角公式即可得到结论.【详解】，用计算器算得.【点睛】本题考查了向量的模，向量夹角公式，属于基础题.20. 已知是非零向量，，求证：【答案】见解析【解析】【分析】从向量数量积相等入手，移项变形，得到数量积为0即可.【详解】证法1：证法2：设.先证.由得.即而，所以再证由得.即，因此.【点睛】本题考查了向量的数量积为0的运算，属于基础题.拓广探索21. 已知的外接圆圆心为O,且,则向量在向量上的投影向量为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到，进而得到为正三角形，从而得到结论.【详解】如图，由知O为BC的中点，又∵O为的外接圆圆心，又为正三角形，，在上的投影向量为.故选：A.【点睛】本题考查平面向量数量积的含义，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则，本题是基本知识与技能考查题，主要考查了向量运算能力，属于基础题.22. 如图，O是平行四边形ABCD外一点，用表示.【答案】【解析】【分析】由，，，即可得到结论.【详解】.【点睛】本题考查向量加法，向量减法，属于基础题.23. 已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量满足等式.（1）作出满足条件的四边形ABCD.（2）四边形ABCD有什么特点？请证明你的猜想.【答案】（1）见解析（2）平行四边形.见解析【解析】【分析】（1）直接作图即可；（2）结论：四边形ABCD为平行四边形；将表达式变形，利用向量减法运算法则即可得到结论.【详解】（1）作图，通过作图可以发现四边形ABCD为平行四边形.（2）四边形ABCD为平行四边形，证明如下：因为，所以，因为.所以，即，因此四边形ABCD为平行四边形.【点睛】本题考查向量减法的运算法则，对表达式的灵活变形是解题的关键，属于基础题.24. 如图，在中，是不是只需知道的半径或弦AB的长度，就可以求出的值？【答案】只与弦AB的长度有关，与半径无关【解析】【分析】由题意，设的半径为r，AB的长度为2a，取AB的中点D，连接CD，根据向量的数量积公式即可求出.【详解】只与弦AB的长度有关，与半径无关.理由如下：设的半径为r，AB的长度为2a，取AB的中点D，连接CD，则.在中，，.【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及三角函数中，角与边的关系，属于基础题.