2023年广东省清远市佛冈县石角中学中考一模数学试题（含答案）

2022-2023清远市佛冈县石角中学一模

数学试题

（共100分）

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。

1．五边形ABCDE中，∠A、∠B、∠C、∠D对应的邻补角和等于215°，则∠E的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°

2．下列计算正确的是（　　）

A．x3•x2＝x6 B．﹣（x2）4＝x6 C．x6÷x5＝x D．x2+x3＝x5

3．如图是由正六棱柱和球体组合而成的几何体，则它的左视图是（　　）

A． B． C． D．

4．下列运算正确的是（　　）

A．x2•x3=x5 B．（a+b）2=a2+b2 C．（a2）3=a5 D．a2+a3=a5

5．化简的结果是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（　　）

   A．2 B．4 C．2 D．4 

7.如图,一种珍贵的乌稔树被台风吹歪了,出于对它的保护,需要测量它的高度.现采取以下措施:在地面选取一点C,测得∠BCA=45°,AC=20米,∠BAC=60°,则这棵乌稔树的高AB约为(参考数据:≈1.4,≈1.7)              (　　)

A.7米           B.14米       C.20米               D.40米

8．若二次根式有意义，则下列各数符合要求的是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．4

9．班长统计去年1∼8月“书香校园”活动中全班的课外书阅读数量（单位：本），绘制了折线统计图（如图）．下列说法中，正确的是（　　）

A．这组数据的极差是47 

B．这组数据的众数是42 

C．这组数据的中位数是58 

D．月阅读数量超过40本的有5个月

10．如图所示，该几何体的主视图应为（　　）[来源:Zxxk.Com]

A． B． C． D．

二、填空题（本大题5小题，每小题5分，共25分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡的位置上．

11．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为　   　．

12.已知抛物线y=ax2-2ax+c与x轴的一个交点为(-1,0),则一元二次方程ax2-2ax+c=0的根为　　　　. 

13．南昌是国家历史文化名城，其名源于“昌大南疆，南方昌盛”之意，市内的滕王阁、八一起义纪念馆、海昏侯遗址、绳金塔、八大山人纪念馆等都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人）．这组数据的中位数是 　   　．

14．因式分解：﹣ x2+2＝　   　．

15．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是A（﹣4，2）、B（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍，则点A的对应点A'的坐标为 　   　．

三、计算题（本大题2小题，每小题6分，共12分)

16．计算：﹣（）0+2sin30°．

17． (长沙)计算：()－1＋4cos60°－＋.

四、解答题（本大题4小题，共33分）

18．如图，AB是半圆的直径，AC为弦，过点C作直线DE交AB的延长线于点E．若∠ACD=60°，∠E=30°．

（1）求证：直线DE与半圆相切；

（2）若BE=3，求CE的长．

19(13分)已知:如图1,抛物线的顶点为M,平行于x轴的直线与该抛物线交于点A,B(点A在点B左侧).根据对称性可知,△AMB恒为等腰三角形.我们规定:当△AMB为直角三角形时,就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”.

(1)①如图2,求出抛物线y=x2的“完美三角形”的斜边AB的长;

②抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是　　　　; 

(2)若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4,求a的值;

(3)若抛物线y=mx2+2x+n-5的“完美三角形”的斜边长为n,且y=mx2+2x+n-5的最大值为-1,求m,n的值.

20．（6分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PCB是⊙O的割线，交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC，垂足为E，AD交PB于点F，BF＝PF．

（1）求证：PA＝PF；

（2）若CF＝1，求切线PA的长．

21．（8分）为改善河流水质，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如表：

经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元．

（1）求x、y的值；

（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过95万元，求该治污公司有哪几种购买方案；

（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案．

答案

1. B

2 .C

3．D．

4．A．

5．A．

6．D

7 .B

8．D

9．C．

10．C．

11．20．

12 .x1=-1,x2=3　

13．7．

14 （x+2）（x﹣2）．

15．（﹣8，4）或（8，﹣4）．

16．解：原式=3﹣1+2×=3﹣1+1=3

17．(长沙)计算：()－1＋4cos60°－＋.

18．证明：（1）连接OC，

∵∠ACD=60°，∠E=30°，

∴∠A=30°，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠A=30°，

∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°，

∴直线DE与半圆相切；

（2）在Rt△OCE中，∠E=30°，

∴OE=2OC=OB+BE，

∵OC=OB，

∴OB=BE，

∴OE=2BE=6，

∴CE=OE•cosE=．[来源:学。科。网Z。X。X。K]

19.　(1)①过点B作BN⊥x轴于点N,如图,

∵△AMB为等腰直角三角形,∴∠ABM=45°.

∵AB∥x轴,∴∠BMN=∠ABM=45°,

∴△BMN是等腰直角三角形,MN=BN.

设B(a,a),则a=a2,∴a=1或a=0(舍去),

∴B(1,1),∴MN=BN=1,

∴MB==,∴MA=MB=.

在Rt△AMB中,AB==2,

∴抛物线y=x2的“完美三角形”的斜边AB的长为2.

②相等

∵抛物线y=x2+1与y=x2的形状相同,

∴抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等.

(2)∵抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+4的形状相同,

∴抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+4的“完美三角形”全等.

∵抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4,

∴抛物线y=ax2的“完美三角形”的斜边长为4,

∴抛物线y=ax2的“完美三角形”△AMB的顶点B的坐标为(2,2)或(2,-2),

把点B的坐标代入y=ax2,解得a=±.

(3)∵y=mx2+2x+n-5的最大值为-1,

∴=-1,即mn-4m-1=0,

∵抛物线y=mx2+2x+n-5的“完美三角形”的斜边长为n,

∴抛物线y=mx2的“完美三角形”的斜边长为n,

∴抛物线y=mx2的“完美三角形”△AMB的顶点B的坐标为(,)或(,-).

把点B(,)代入y=mx2,得()2·m=,

∴mn=2,∴2-4m-1=0,解得m=(舍去);

把点B(,-)代入y=mx2,得()2·m=-,

∴mn=-2,∴-2-4m-1=0,解得m=-,

∴n=.

综上所述,m的值为-,n的值为.

20．（1）证明：∵PA是圆O的切线，

∴∠OAD+∠PAF＝90°…①

∵OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA…②

∵OD⊥BC，

∴∠ODA+∠DFE＝90°，而∠DFE＝∠PFA．

∴∠PFA+∠ODA＝90°…③

根据①②③可得：∠PFA＝∠PAF，

∴PA＝PF．

（2）解：∵PA是圆O的切线，

∴PA2＝PC•PB．

∵PC＝PF﹣CF＝PA﹣1，PB＝2PF＝2PA，

∴PA2＝（PA﹣1）•2PA．

∴PA＝2．

21．解：（1）由题意，得，

解得，

（2）设治污公司决定购买A型设备a台，则购买B型设备（10﹣a）台，

由题意，得 11a+9（10﹣a）≤95，

解得，

∴0≤a≤，

∵a为整数，

∴a＝0或1或2，

∴，该公司有以下三种方案：

方案一：A型设备0台，B型设备为10台；

方案二：A型设备1台，B型设备为9台；

方案三：A型设备2台，B型设备为8台；

（3）由题意，得 240a+200（10﹣a）≥2040，

解得：a≥1，

∴a＝1或2，

当a＝1时，买设备所需资金为：11+9×9＝92万元；当a＝2时，买设备所需资金为：11×2+9×8＝94万元；

∴按方案二：购买A型设备1台，B型设备9台最省钱．