2023届四川省达州市开江县开江中学高三下学期第6次模拟数学试题含解析

2023届四川省达州市开江县开江中学高三下学期第6次模拟数学试题

一、单选题

1．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由对数函数性质确定集合，由平方的定义确定集合，然后由交集定义计算．

【详解】，所以，

故选：C．

2．已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z在复平面上的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】结合复数的除法运算求出，由复数与复平面的关系即可求解.

【详解】由，所以，所以z在复平面上的点位于第四象限.

故选：D．

3．高三年级在某次月考时，某班数学科代表作统计本班数学成绩的工作，并计算出班级数学平均分和方差，当工作完成时，发现漏统计了一位同学的数学成绩，若该同学的数学成绩恰是班级的数学平均分，则下列说法正确的是（    ）

A．班级平均分不变，方差变小 B．班级平均分不变，方差变大

C．班级平均分改变，方差变小 D．班级平均分改变，方差变大

【答案】A

【分析】根据平均数的定义以及方差的公式分别代入增加前后的人数及分数，计算出结果进行对比即可得出结果.

【详解】设原平均分为，人数为，增加1人分数为后的平均分为，故班级的平均分不变；

而由方差公式，当增加一个为均值的数时，

方差公式中的n增大，中括号内的值不变，使得最终结果变小，

即

，故增加一个为均值的数据方差变小.

故选：A.

4．在中，“A=B”是“sin2A=sin2B”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】时，，充分性满足，

当时，，不必要．

所以应为充分不必要条件．

故选：B．

5．已知为等差数列的前n项和，，则的值为（    ）

A．12 B．14 C．24 D．28

【答案】D

【分析】设等差数列的公差为，然后由已知条件可得，从而可求出的值.

【详解】令等差数列的公差为，

因为，

所以

则，

所以，所以，

所以，

故选：D．

6．已知 为函数的导函数，且，则不等式的解 集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令 ，得到函数的单调性，再转化为解不等式即得解.

【详解】令 ，所以，

所以为上的增函数，由，所以，

则不等式等价于，则不等式的解为。

故 选 ：C.

7．已知函数，若在区间上单调，且，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据单调性和，可求得的一个对称中心和一条对称轴，再结合周期即可求出的值．

【详解】由于在区间上单调，且，所以，且，

又因为，且，所以为的对称轴，

又，所以，故而．

故选：B．

8．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正弦函数性质以及对数函数性质分别判断的范围，即可比较大小，再利用对数函数性质比较的大小，即可得答案.

【详解】由，而，

所以，

又，则,

所以，而，所以，

综合可知，

故选:B

9．已知圆与圆，圆I与圆均相切，则圆I的圆心I的轨迹中包含了哪条曲线（    ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【答案】C

【分析】分两种情况进行讨论，圆I与圆同时外切或内切和圆I与圆一个内切一个外切，即可得到答案

【详解】由圆可得，由圆可得，设圆I的半径为，

当圆I与圆同时外切或内切时，如图，

①当同时外切时，；②当同时内切时，；

故始终，此时I的轨迹为的中垂线；

当圆I与圆一个内切一个外切时，如图，

①当圆I与圆内切，与圆外切，则；

②当圆I与圆内切，与圆外切，则，

故，

所以此时I的轨迹是以为焦点的双曲线，

故选：C．

10．已知直线与椭圆，点，则下列说法正确的是（    ）

A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离

B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切

C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交

D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定

【答案】B

【分析】考虑和两种情况，联立方程，得到，根据点与椭圆的关系依次验证直线和椭圆的关系得到答案.

【详解】当，则，则直线，

①若点A在椭圆C外，则，则，直线l与椭圆C相交；

②若点A在椭圆C上，则，则，直线l与椭圆C相切；

③若点A在椭圆C内，则，则，直线l与椭圆C相离；

当时，联立方程，消去y得：

，

所以，

①若点A在椭圆C外，则，则，直线l与椭圆C相交；

②若点A在椭圆C上，则手，则，直线l与椭圆C相切；

③若点A在椭圆C内，则，则，直线l与椭圆C相离；

若点A在直线l上，则满足，即点A在椭圆C上，由以上讨论可知直线l与椭圆C相切，D错误.

综上所述：B正确

故选：B

11．已知是棱长为1的正方体，点P为正方体表面上任一点，则下列说法不正确的是（    ）

A．若，则点P的轨迹长度为

B．若，则点P的轨迹长度为

C．若，则点P的迹长度为

D．若，则点P的轨迹长度为

【答案】D

【分析】根据题意，依次分析点P轨迹,讨论各选项即可得答案.

【详解】当时，如图1，此时点P的轨迹为半径为1，圆心角为的三段圆弧，

所以此时点P轨迹的长度为，故A选项正确；

当时，如图2，点P的轨迹一部分是在面三个面内以为半径，圆心角为的三段弧，

另一部分是在面三个面内以为半径，圆心角为的三段弧；所以此时点P轨迹的长度为，故B选项正确；

当时，如图3，点P的轨迹是在面三个面内以1为半径，圆心角为的三段弧，

所以此时点P轨迹的长度为，故C选项正确；

当，如图4，点P的轨迹是在面三个面内以为半径，圆心角小于的三段弧，

所以此时点P轨迹的长度小于，故D选项不正确；

故选：D．

12．已知函数，则下列命题中，正确的个数为（    ）

①若，则函数的图像关于直线对称；

②令，，则函数与图像关于直线对称；

③若为偶函数，且，则函数的图像关于直线对称；

④若函数的图像关于直线对称，则函数的图像关于直线对称；

⑤若为R上的奇函数，且，使得，则函数在区间上有且仅有5个零点．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】B

【分析】利用若，则函数的图像关于直线对称，从而判断出①②③正确，④错误，⑤特殊值法，令满足条件，但在上有无穷多个零点，则错误．

【详解】由，令，即则，故而是函数的对称轴，故①正确；

由关于直线的对称的函数图像的解析式为，所以关于直线的对称的函数图像的解析式为，故②正确；

由，所以，由为偶函数，所以，所以函数的图像关于直线对称，故③正确；

令，由函数的图像关于直线对称可得，即，

令，即，所以，故函数的图像关于直线对称，故④不正确；

不妨令，则有，则在上有无穷多个零点，故而⑤不正确．

故选：B．

二、填空题

13．已知边长为2的等边三角形，则___________．

【答案】

【分析】由数量积公式求解即可.

【详解】

故答案为：

14．已知为正项递增等比数列的前n项和，若，则___________．

【答案】

【分析】根据等比数列的概念可得和的值，直接根据等比数列前项和以及通项公式即可得结果.

【详解】由，所以，，

所以，解得或（舍），易知，

所以，

故．

故答案为：.

15．已知 的三条边是连续的三个正整数，且，则的周长为___________.

【答案】

【分析】不妨设，，，由题得，再利用正弦定理余弦定理化简即得解.

【详解】不妨设，，

由，即，

所以，

解得，

所以的周长为.

故答案为：15

16．从空间中点作四条射线，每两条射线间的夹角均相等，则此夹角的余弦值为___________．

【答案】

【分析】可把，，，放入正方体中，借助正方体中的边角关系，即可求出该角的余弦值.

【详解】如图，可把正方体的中心看成点，相对的四个顶点看作，，，，

设正方体棱长为1，则，，，

故答案为:

三、解答题

17．为了庆祝党的二十大的胜利召开，我校举办 “学党史” 知识测试活动，现根据测试成绩得 到如图所示频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图求出 的值;

(2)根据频率分布直方图估算本次测试的平均成绩 ;

(3)将（2）所得到的平均成绩 四舍五入保留为整数，并根据频率分布直方图估算本次考试成绩的方差.

【答案】(1)；

(2)；

(3)74；111.

【分析】（1）由各个小矩形的面积为1，得到方程解方程即得解；

（2）直接利用频率分布直方图的平均数计算公式求解；

（3）由题得，再利用频率分布直方图的方差公式求解.

【详解】（1）由各个小矩形的面积为1，

所以 ，

所以 .

（2）由题意知，本次测试的平均成绩为，

，

所以本次测试的平均成绩为 .

（3）将保留整数，则，由题意知:

所以本次测试的成绩的方差为 111 .

18．如图已知在四棱锥 中，是边长为2的正三角形，底面为菱形，且平面平面，平面平面.

(1)求证: 平面

(2)求点 到平面的距离

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）证明和，原题即得证；

（2）先求出，再利用等体积法求解.

【详解】（1）证明: 如图，取的中点，取的中点，

由于为正三角形，所以，由平面平面，

由面面垂直的性质定理知: 平面，

所以;

由平面平面，由面面垂直的性质定理知:平面，

所以;

又与相交，平面，所以面.

（2）由 （1） 知 为正方形，且平面，

又 ，所以

由 （1） 知，△为等腰直角三角形，所以，

在 中，又，所以，

设为点到面的距离，由，

所以，即，所以点到面的距离为.

19．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．

(1)求角A；

(2)若点D是边上的一点，且，求的面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）正弦定理角化边，再用余弦定理求角A；

（2）利用向量数量积的运算，把等式转化为边，再利用基本不等式求解最小值.

【详解】（1）由及正弦定理知：，即，

由余弦定理有，由，所以，

（2）由，所以，可得，即，

由，所以，当且仅当时等号成立，

所以，故所求的面积的最大值为．

20．已知椭圆的左、右焦点是,且以为直径的圆的面积为,点P是椭圆C上任一点,且的面积的最大值为．

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,且原点O到直线l的距离为1,求面积的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据题意先求出,再根据面积的最大值求出,进而求出椭圆的方程即可;

(2)先考虑直线l斜率不存在的情况,求出此时面积,再考虑直线l斜率存在的情况,设直线方程,利用原点O到直线l的距离,得到直线中参数的关系,再联立方程组,设点坐标,利用韦达定理,得出面积的式子进行化简求范围即可.

【详解】（1）解:由题知以为直径的圆的半径为c,

所以,故,

由的面积最大值为,

所以,故,

所以,

所以椭圆C的方程为;

（2）当直线l的斜率不存在时,由题意知直线l的方程为,

所以,

所以;

当直线l的斜率存在时,

令直线l的方程为,

由原点O到直线l的距离为1,

所以,

即,

联立方程,

消去y得:,

则有,

即,

令,

所以,

由

,

令,

则

,

令,

所以,

所以,

综上所述,．

【点睛】思路点睛:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,关于直线与圆锥曲线问题思路有:

(1)根据题意考虑直线与圆锥曲线的两个交点,即设有两个交点的直线方程;

(2)分情况讨论直线斜率是否存在;

(3)设直线方程,联立方程组;

(4)判别式大于零,韦达定理;

(5)根据题意建立关于的等式,化简即可.

21．已知函数．

(1)当时，求函数在处的切线方程；

(2)若函数有两个零点，求参数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导数，求出函数的切线的斜率，即可求出切线方程；

（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调性结合零点存在性定理，即可求出参数a的取值范围.

【详解】（1）当时，，所以，

所以，

在处的切线方程为，

即．

（2）（ⅰ）当时，，不合题意；

若，由，所以，

（ⅱ）当时，当时，，即单调递增；

当时，，即单调递减，

又，由零点存在定理及函数的单调性可知：

存在唯一的，使得，

又当时，，由零点存在定理及函数的单调性可知：

存在唯一的，使得，

所以满足题意；

（ⅲ）当时，令，得或，

①若，则，则

当时，，即单调递增；

当时，，即单调递减；

当时，，即单调递增；

又

，不合题意，

②若，则，则在R上恒成立，

即在R上单调递增，不合题意；

③若，则，

当时，，即单调递增；

当时，，即单调递减；

当时，，即单调递增；

又，不含题意，

综上所述，参数a的取值范围为．

22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)若点为曲线C上的两点，且满足，求的最大值．

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）采用消参法可得曲线的普通方程，再利用直角坐标和极坐标的转化公式即可求得答案；

（2）设，进而表示出的表达式，结合三角函数的恒等变换，即可求得答案.

【详解】（1）由题意曲线C的参数方程为 （t为参数），

由，

所以曲线C的普通方程为，

又，

所以曲线C的极坐标方程为，

即．

（2）不妨令，由（1）知：

，，

所以

，

所以的最大值为，

当且仅当，即时取最大值，

由可知或时取得最大值.

23．已知a，b，c均为大于零的实数．

(1)求证：；

(2)若，求的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)9

【分析】对于（1），相当于证明，恒等变形后利用基本不等式可证；

对于（2），注意到，后利用基本不等式可得答案.

【详解】（1）证明：要证，

即证，注意到

设，

则

=

，

当且仅当，即时取等号.

故

（2）由，所以

，当且仅当，即，时取等号.故的最小值为.