2022届四川省成都市石室中学高三下学期“三诊模拟”文科数学试题含解析

成都石室中学2021~2022学年度下期高2022届“三诊模拟”

文科数学

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如果复数为纯虚数，那么实数a的值为（    ）

A．-2   B．1   C．2   D．1或-2

2．根据如下样本数据，得到回归直线方程为，则（    ）

A．，  B．，  C．，  D．，

3．从集合的所有子集中任取一个，这个集合恰是集的子集的概率是（    ）

A．    B．    C．    D．

4．空间四边形ABCD的对角线，，M，N分别为AB，CD的中点，，则异面直线AC和BD所成的角等于（    ）

A．30°   B．60°   C．90°   D．120°

5．若点在两条平行直线与之间，则整数b的值为（    ）

A．-4   B．4   C．-5    D．5．

6．设为指数函数（且），函数的图象与的图象关于直线对称．在，，，四点中，函数与的图象的公共点只可能是（    ）

A．点P   B．点Q   C．点M   D．点N

7．已知直线l和平面，满足，．在，，这三个关系中．以其中两个作为条件，余下一个作为结论所构成的命题中，真命题的个数是（    ）

A．0    B．1    C．2   D．3

8．已知，实数满足对于任意的，都有．若，则实数a的值为（    ）

A．-3    B．3   C．    D．

9．过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，圆心为C，则过点A，B，C的圆的方程是（    ）

A．   B．   

C．   D．

10．在中，，则的形状一定是（    ）

A．直角三角形   B．等腰三角形   C．等边三角形  D．等腰直角三角形

11．在中，，则以点A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（    ）

A．  B．   C．   D．

12．已知，且，则的最小值是（    ）

A．49    B．50    C．51   D．52

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．

13．已知实数x，y满足条件，则的最大值为______．

14．若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是______．

15．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为10，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为______．

16，若函数的图象关于直线对称，且直线与函数的图象有三个不同的公共点，则实数k的值为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本题满分12分）已知数列的前n项和为，且．

（Ⅰ）求，及数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求使得成立的最小正整数n的值．

18．（本小题满分12分）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人．为了了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取按性别分层抽样，随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450~950分之间．将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示．

（I）求a的值，并估计该校学生分数的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）若样本中属于“高分选手”的女生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关．

参考公式：，其中．

19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，M为棱的中点，平面．

（I）试确定点N的位置，并证明平面；

（Ⅱ）若是等边三角形，，，且平面平面，求四面体的体积．

20．（本小题满分12分）设函数．

（I）当时，判断的单调性；

（Ⅱ）若函数的图象与x轴没有公共点，求实数a的取值范围．

21．（本小题满分12分）已知M，N分别是x轴，y轴上的动点，且，动点P满足，设点P的轨迹为曲线C．

（I）求曲线C的轨迹方程；

（I）直线与曲线C交于A，B两点，G为线段AB上任意一点（不与端点重合），斜率为k的直线经过点G，与曲线C交于E，F两点．若的值与G的位置无关，求k的值．

（二）选考题：共10分．考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．

（I）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最小值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数．

（I）若，求不等式的解集；

（Ⅱ）对于任意的实数m，n，且，若恒成立，求实数a的取值范围．

答案

1．A 【解析】由题意，知，解得或．但当时，为实数，因此．故选A．

2．B 【解析】作图散点图易知，回归直线的斜率，截距．故选B．

3．C 【解析】集合的子集有，，，，，，，，，，，，，，，共16个，其中，，，这4个集合是的子集，因此所求概率为．故选C．

4．B 【解析】取BC的中点P，连接MP，NP，则且，且．由余弦定理可知，，所以异面直线AC和BD所成的角为60°．故选B．

5．B 【解析】直线与两条平行直线和分别交于点及，因此．又由b是整数，知．故选B．

6．D 【解析】由题意，知．逐一代入验证可知，仅点N可能同时在两条曲线上．故选D．

7．C 【解析】当且时，成立；当且时，不一定成立；当且时，结合，得成立．故选C．

8．D 【解析】由题意及正弦函数的图象可知，是的一个极大值点．由，得．故选D．

9．A 【解析】由几何关系易知，过点A，B，C的圆以PC为直径，其圆心为，直径为，故所求圆的方程为．故选A．

10．B 【解析】由题意，知，故．结合可知，，即，所以一定是等腰三角形．故选B．

11．D 【解析】设，则，，得，故，因此，所以双曲线的离心率．故选D．

12．B 【解析】由已知，得

，

当且仅当，即，时等号成立．因此，的最小值是50．故选B．

13．4 【解析】作出不等式组表示的平面区域如图所示．由图易知，当直线过点时，取得最大值为4．

． 【解析】由题意可知，函数在上是单调增函数，且当时恒成立，所以解得．

15．13 【解析】设样本数据由小到大依次为，，，，，记，则，．由于且可知，．若，则，得，，，中要么有1个是4其余3个是0，要么4个都是1，这与样本数据互不相同矛盾．若，则，取，，，满足题意．若，则，，，，只有，，，满足，但此时不满足．若，则，，，，不满足．综上可知，，，即样本数据的最大值为13．

16．-9 【解析】由已知可得，是的两个零点，因此3和5也是的零点，所以

．

由题意可知，关于x的方程有三个不同的实数解．令，则关于t的方程有两个不同的实数解，，且关于x的方程与中，一个方程有两个相同的实数解，另一个方程有两个不同的实数解，因此与中有一个等于，另一个大于．不妨设，则，解得，此时满足条件，因此．

17．解：（Ⅰ）由题意，得，即，；

，即，将代入并整理得，．

当时，，即．

因此，当时，．

综上可知，数列的通项公式为

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，

则．

由，得．

注意到随着n的增大而增大，且，，

因此所求n的最小值为63．

18．解：（Ⅰ），解得．

众数估计值为600分．

平均数估计值为（分）

中位数估计值为650分．

（Ⅱ）由题意可知，样本中男生有40人，女生有60，属于“高分选手”的有25分，其中女生10人．

因此，得到2×2列联表如下：

因此，的观测值，

所以有的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关．

19．解：（Ⅰ）如图，延长BM与的延长线交于点N，点．

由，知平面，所以平面，即点N为所求．

在三棱柱中，，，所以．

又由M是中点可知，M是BN中点．

连接与交于点O，连接MO，则MO是的中位线，所以．

又平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）如图，取中点G，连接．

由题可知，是等边三角形，，所以且．

又由平面平面易知，平面，

所以是三棱锥的高．

由，，，

得，

所以，即四面体的体积为．

20．解：（Ⅰ）当时，，则

．

因为的定义域为，且当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减．

（Ⅱ）由题意可知，关于x的方程没有实数解，

即关于x的方程没有实数解．

设，则．

设，易知在上单调递减，且．

因此，当时，当时，

即当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

故当且仅当，即时，的图象与x轴没有公共点，

所以当时，函数的图象与x轴没有公共点，

即所求实数a的取值范围是．

21．解：（Ⅰ）设，，则．

设，则，．

由题意，得解得

所以，化简得，

即曲线C的方程为．

（Ⅱ）由题意并结合（Ⅰ）易知（不妨设点A在第一象限内），，．

设点，其中，则，，

所以．因为斜率为k的直线经过点G，所以直线的方程为．

将直线的方程代入曲线C的方程化简、整理，

得．

设，，则，，

所以

，

所以．

因为的值与m的值无关，

所以，解得．

22．解：（Ⅰ）对于曲线C，由

且可知，曲线C的普通方程为．

对于直线l，利用，可知，直线l的直角坐标方程为．

（Ⅱ）设为曲线C上一点，则点P到直线l的距离

，

当且仅当，即时等号成立，此时．

因此，曲线C上的点到直线l的距离的最小值为．

23．解：（Ⅰ）当时，

当时，由，解得，即．

当时，恒成立．

当时，由，解得，即．

综上所述，不等式的解集为．

（Ⅱ）由柯西不等式，得

，

当且仅当，即，时等号成立，因此的最大值为5．

因为，当时等号成立，

所以的最小值为．

要使恒成立，只需成立，所以实数a的取值范围是．