四川省达州市2023届高三第一次诊断测试模拟考试理科数学试题及答案

四川省达州市2023届高三第一次诊断测试模拟考试理科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

2．如图，若向量对应的复数为z，则表示的复数为（    ）

A．1＋3i B．－3－i

C．3－i D．3＋i

3．设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P（A）＋P（B）＝1”，则甲是乙的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知直线与圆相切，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

5．执行程序框图，则输出的数值为（    ）

A．31 B．32 C．63 D．64

6．的展开式中，的系数为

A．10 B．20

C．30 D．60

7．已知平面向量，是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（    ）

A．​ B．1 C．​ D．2

8．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线​​下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（    ）

A．​ B．​

C．​ D．​

9．已知定义在 ​上的函数​满足，当​时，​​，则​等于（    ）

A．1 B．​ C．​ D．2

10．某顾客在2020年1月1日采用分期付款的方式购买一辆价值2万元的家电，在购买一个月后2月1日第一次还款，且以后每个月1日等额还款一次，如果一年内还清全部贷款（12月1日最后一次还款），月利率为0.5％.按复利计算，则该顾客每个月应还款多少元？（精确到1元，参考值，）（     ）

A． B． C． D．

11．已知函数在上不单调，在上单调，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

12．如图所示，设正方体的棱长为，点是棱上一点，且，过，，的平面交平面于，在直线上，则（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．设变量满足约束条件：，则目标函数的最大值为__________.

14．已知数列 ​满足，，​，则​等于__________.

15．已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是__________.

16．已知当时，不等式恒成立，则正实数a的最小值为___________.

三、解答题

17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（I）求A；

（Ⅱ）设D是线段的中点，若，，求a．

18．某种病菌在某地区人群中的带菌率为 ， 目前临床医学研究中已有费用昂贵但能准确检测出个体是否带菌的方法. 现引进操作易、成本低的新型检测方法: 每次只需检测两项指标，若指标的值大于 4 且指标的值大于 100， 则检验结果呈阳性， 否则呈阴性. 为考查该检测方法的准确度， 随机抽取 50 位带菌者(用 “*” 表示)和 50 位不带菌者(用 “+” 表示)各做 1 次检测， 他们检测后的数据， 制成如下统计图:

(1)根据独立性检验， 完成列联表， 判断是否有 以上的把握认为 “带菌” 与 “检测结果呈阳性” 有关?

(2)现用新型检测方法， 对该地区人群进行全员检测， 用频率估计概率， 求每个被检者 “带菌” 且 “检测结果呈阳性” 的概率.

附：.

19．如图，三棱柱​中，底面​为等腰直角三角形，​，​.

(1)证明: ​；

(2)若​，求​与平面​所成角的正弦值.

20．平面直角坐标系 ​中， 已知椭圆​， 椭圆​​.设点​为椭圆​上任意一点， 过点​的直线​交椭圆​于​两点， 射线​交椭圆​于点​.

(1)求 ​的值；

(2)求 ​面积的最大值.

21．已知函数(其中e是自然对数的底数，k∈R)．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当函数有两个零点时，证明：．

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线的方程为：.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线，的极坐标方程分别为：，.

（1）若曲线，相交于异于极点的点Q，求点Q的直角坐标；

（2）若直线与，相交于异于极点的A，B两点，求的最大值.

23．设的最大值为.

（1）求；

（2）若，求的最大值.

参考答案：

1．A

【分析】分别解方程和不等式求出集合和集合，再求并集即可.

【详解】对于集合，由解得或，∴，

对于集合，不等式等价于，

∵是定义在上的增函数，∴，∴，

∴.

故选：A.

2．D

【解析】利用复数与向量的对应关系可得z＝1－i，再利用复数的运算法则即可得出答案.

【详解】由题图可得Z（1，－1），即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.

故选：D.

【点睛】本题考查复数的几何意义、复数与向量之间的对应关系、复数的运算法则.

3．A

【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案.

【详解】①若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P（A）＋P（B）＝1；

②投掷一枚硬币3次，满足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不一定是对立事件，如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P（A）＝，P（B）＝，满足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不是对立事件.

所以甲是乙的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对立事件的理解，属于基础题.

4．D

【分析】由直线与圆相切可得，然后利用均值不等式可得，从而可求的最大值.

【详解】解：因为直线与圆相切，

所以，即，

因为，所以，

所以，

所以的最大值为，

故选：D.

5．C

【分析】模拟程序的运行过程，逐步计算即可求出结果．

【详解】解：模拟程序的运行，

，满足条件，，

，满足条件，，

，满足条件，，

，满足条件，，

，满足条件，，

，此时，不满足条件，退出循环，输出S的值为63．

故选：C．

6．C

【详解】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.

考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.

【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.

7．A

【分析】首先通过条件求得，然后根据数量积的运算公式求出，进而求解在方向上投影.

【详解】平面向量是非零向量，，

，则.

设与夹角为，则，

在方向上投影为.

故选：A

8．B

【分析】首先根据题意得到，再解方程组即可.

【详解】设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，

则焦点到渐近线的距离，

所以，即双曲线方程为：.

故选：B

9．D

【分析】有题目条件，可得周期为4，且图像关于对称，据此可得.

【详解】因，则图像关于对称

又因，

则

，即周期为4.

则，又当​时，，则，即.

故选：D

10．A

【分析】设每月还款元，每月还款按得利计算，11次还款的本利和等于银行贷款按复利计算的本利和，由此可得．

【详解】设每月还款元，共还款11个月，

所以，

．

故选：A．

11．D

【分析】先运用辅助角公式将函数解析式化为，则当时，，当时，，依题意只需且即可.

【详解】依题意，函数在上不单调，故，即；

因为时，；

故，

则，解得：，

而，且，，故选D．

【点睛】本题考查利用函数的单调性求参问题，难度一般.解答时采用整体思想，用整体的范围与原函数单调区间的关系来求解.

12．A

【分析】连接，由面面平行性质定理，可以证出，所以，，利用相似比即可求出.

【详解】

在正方体中，，，

∴四边形是平行四边形，∴，

又∵在正方体中，平面平面，

平面平面，平面平面，

∴，∴，

∴，，

又∵，

∴，∴，

又∵正方体的棱长为，

∴，，，

∴.

故选：A.

13．##4.5

【分析】根据不等式组作出可行域，再结合目标函数的几何意义求最值.

【详解】根据不等式组作出可行域，如图所示

当目标函数经过点时，取最大值为

故答案为：##4.5

14．7

【分析】首先根据题意得到是等差数列，再根据等差数列的性质求解即可.

【详解】因为，所以是等差数列，

由等差数列性质可得，解得.

，解得.

所以.

故答案为：7

15．##

【分析】根据抛物线的性质，做出图像即可得到当平行于轴时，取得最小值，从而得到结果.

【详解】

抛物线的准线方程为，

过点作垂直准线于点，

显然，当平行于轴时，

取得最小值，此时，

此时

故答案为:.

16．

【分析】将问题转化为，设，根据函数的单调性求出，令（），利用导数求出其最小值，从而可求出实数a的取值范围，进而可求得正实数a的最小值

【详解】由题意得，原不等式可变形为，即，

设，则当时，恒成立，

由，得，

当时，，当时，，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因为，，所以，，

因为在上单调递增，

所以要使，只要，

两边取对数得，，

因为，所以，

令（），则，

所以在上单调递增，

所以，

所以，所以，

所以正实数a的最小值为，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查数学转化思想，解题的关键是将原不等式转化为，发现两边形式相同，所以构造函数，转化为当时，恒成立，再由函数的单调性可得，再转化为恒成立，构造函数求出其最小值即可，属于较难题

17．（I）；（Ⅱ）

【分析】（I）先由正弦定理，将所给条件化为，再由余弦定理，即可得出结果；

（Ⅱ）根据题中条件，得到，推出，再由余弦定理得到，两式联立求出，进而可求出.

【详解】（I）根据正弦定理，由可得，

即，

由余弦定理可得，，

因为为三角形内角，所以；

（Ⅱ）因为D是线段的中点，，，

所以，则，

所以，

即，整理得；

又，

所以，解得或（舍），

因此，所以

【点睛】思路点睛：

求解三角形中的边长或面积等问题时，一般需要根据正弦定理，或余弦定理，将题中条件进行转化，得出对应的方程求解即可.

18．(1)列联表见解析，有 ​以上的把握认为 “带菌” 与 “检测结果呈阳性” 有关；

(2).

【分析】（1）据已知统计表，求得列联表，结合参考数据和参考公式求得，即可判断；

（2）知数据，结合条件概率的计算公式，求解即可.

【详解】（1）​列联表如下：

根据列联表中的数据， 经计算得到

​，

所以有 ​以上的把握认为 “带菌” 与 “检测结果呈阳性” 有关.

（2）设 事件表示：被检测者带菌，事件表示：被检测者检测结果呈阳性，

 则表示：被检者带菌且检测结果呈阳性，

用频率估计概率， 根据题意可知 ​，

所以由条件概率公式可知 ​.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）作出辅助线，由余弦定理求出，进而得到，由勾股定理逆定理得到，结合，得到线面垂直，证明出；

（2）证明出，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.

【详解】（1）证明: 连接， 在中，，

由余弦定理得，，

，

，

.

又为等腰直角三角形，且，

，

，平面，

平面.

∵平面，

∴

（2），

，

，

如图， 以 A为原点， 的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，

设平面的一个法向量为，

由，得，令，得，

平面的一个法向量为.

，

设与平面所成角的大小为，

，

与平面所成角的正弦值为.

20．(1)2

(2)

【分析】(1) 设 ​，根据比例关系得出，将点的坐标分别代入方程即可求解；

(2) 由(1)知，的​面积为​，将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理和三角形面积公式求出，利用换元法求出面积的最值即可.

【详解】（1）设 ​， 由题意知​.

因为 ​， 又​， 即​， 所以​，

即 ​.

（2）由(1)知，的​面积为​，

设 ​.

将 ​代入椭圆​的方程， 可得​，

由 ​， 可得​，①

则有 ​. 所以​.

因为直线 ​与​轴交点的坐标为​，

所以​的面积​

​.

设 ​， 将​代入椭圆​的方程，

可得 ​，

由 ​， 可得​，②

由 (1)(2)可知 ​， 因此​， 故​， 当

且仅当 ​， 即​时取得最大值​.

所以面积的最大值为​.

21．（1）见解析；（2）见解析.

【详解】试题分析：

本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题．（1）求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性．（2）根据题意将证明的问题转化为证明，即证，构造函数，

利用函数的单调性证明即可．

试题解析：

（1）解：∵

∴．

①当时，令，解得，

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

②当时，恒成立，

∴函数在R上单调递增.

综上，当时，在上单调递减，在上单调递增．

当时，在R上单调递增.

（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点．

所以．

设函数的两个零点为，

则，

设，

解得，

所以，

要证，

只需证，

设

设单调递增，

所以，

所以在区间上单调递增，

所以，

故．

22．（1）；（2）

【分析】（1）分别求出、的直径坐标方程，进而联立两个直角坐标方程，可求出点Q的直角坐标；

（2）求出的极坐标方程，设，，从而可得，利用三角函数求最值即可.

【详解】（1）由，得，将代入，可得的直角坐标方程为；

由，得，将代入，可得的直角坐标方程为.

联立，解得或，

所以点Q的直角坐标为.

（2）由，可得，将代入，可得的极坐标方程为，则.

设，，

则，，

所以（），

因为，所以.

故的最大值为.

【点睛】本题考查普通方程、参数方程及极坐标方程间的转化，考查利用极坐标求弦长，考查计算求解能力，属于中档题.

23．（1）；（2）．

【分析】（1）采用零点分段法去绝对值结合函数图象可得；

（2）由于,所以,所以.

【详解】（1）画出图象如图，

可知当时，函数取得最大值2.

∴.

（2）∵，∴，

∴，∴的最大值为2，

当且仅当时，等号成立.