2023届山西省大同市实验中学高三上学期高考考前模拟（二）数学试题含解析

这是一份2023届山西省大同市实验中学高三上学期高考考前模拟（二）数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届山西省大同市实验中学高三上学期高考考前模拟（二）数学试题

一、单选题
1．设集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合的交集的运算即可求得答案.
【详解】由已知集合得:,
故选：B
2．若复数满足，则=（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由复数的运算法则与复数相等的概念求解即可
【详解】设，则，
所以，
，
所以，
所以.
故选：A
3．中，，，为线段上任一点，则（   ）
A．8 B．4 C．2 D．6
【答案】B
【分析】由，为线段上任一点，可知，则可由向量的数量积公式直接计算出结果.
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
4．“”是“曲线表示椭圆”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.
【详解】因为曲线为椭圆，
所以，解得且，
所以“”是“且”的必要而不充分条件.
故选：B
5．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（    ）
A．30 B．36 C．360 D．1296
【答案】B
【分析】依据回文数对称的特征，可知有两种情况：1、在6个数字中任取1个组成个回文数；2、在6个数字中任取2个种取法，又由两个数可互换位置种，即个回文数；结合两种情况即可求出组成4位“回文数”的个数
【详解】由题意知：组成4位“回文数”
∴当由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个：种
当有两组相同的数，在6个数字中任取2个：种
又∵在6个数字中任取2个时，前两位互换位置又可以组成另一个数
∴2个数组成回文数的个数：种
故，在6个数字中任取2个组成回文数的个数：
综上，有数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为：+=36
故选：B
【点睛】本题考查了排列组合，根据回文数的特征—对称性，先由分类计数得到取数的方法数，再由分步计数得到各类取数中组成回文数的个数，最后加总即为所有组成4位“回文数”的个数
6．过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出切点弦的方程后可求不在任何切点弦上的点形成的区域的面积.
【详解】
设圆的动点为，过作圆的切线，切点分别为，
则过的圆是以直径的圆，该圆的方程为：.
由可得的直线方程为：.
原点到直线的距离为，
故圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为，
故选：A.
7．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方.记阶幻方的一条对角线上数的和为(如：在3阶幻方中，)，则

A．1020 B．1010 C．510 D．505
【答案】D
【详解】阶幻方共有个数，其和为阶幻方共有行，每行的和为，即，故选D.
8．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先判断不是方程的根，再方程两边同除以，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的图象，令，设方程的两根分别为、，对分类讨论，结合函数图象即可得解；
【详解】解：当时等式显然不成立，故不是方程的根，当时，将的两边同除以，可得，
令，则且，所以，
所以当和时，当时，
即在和上单调递减，在上单调递增，且，
函数的图象如下所示：

令，设方程的两根分别为、，，
①当时，方程无解，舍去；
②当时，，若，则，由图可得有且仅有一个解，故舍去，
若，则，由图可得有且仅有一个解，故舍去，
③当时，或，
若，由，，所以，由图可得与各有一个解，符合题意，
若，由，，可设，，，
由图可得无解，有两个解，符合题意，
综上可得的取值范围为；
故选：A

二、多选题
9．“中国最具幸福感城市调查推选活动”由新华社《瞭望东方周刊》、瞭望智库共同主办，至今已连续举办15年，累计推选出80余座幸福城市，现某城市随机选取30个人进行调查，得到他们的收入、生活成本及幸福感分数（幸福感分数为0~10分），并整理得到散点图（如图），其中x是收入与生活成本的比值，y是幸福感分数，经计算得回归方程为.根据回归方程可知（　　）

A．y与x成正相关
B．样本点中残差的绝对值最大是2.044
C．只要增加民众的收入就可以提高民众的幸福感
D．当收入是生活成本3倍时，预报得幸福感分数为6.044
【答案】ABD
【分析】根据给定散点图，利用相关性的意义判断A；计算残差判断B；举例说明判断C；利用回归方程计算判断D作答.
【详解】对于A，由散点图知，当x增大时，y也增大，y与x成正相关，A正确；
对于B，由图知，点A是残差绝对值最大的点，当时，，
则残差，所以残差的绝对值最大是2.044，B正确；
对于C，若增加民众的收入，而生活成本增加的更多，收入与生活成本的比值x反而减小，幸福感分数y减小，C不正确；
对于D，收入是生活成本的3倍，即，则，幸福感分数预报值为6.044，D正确.
故选：ABD
10．已知函数的图像关于直线对称，则（    ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．函数的图像向右平移个单位长度得到的函数图像关于对称，则的最小值是
D．若方程在上有个不同实根，则的最大值为
【答案】AC
【分析】根据题意得，，再结合三角函数的图像性质依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：因为函数的图像关于直线对称，
所以，，解得，
因为，
所以，即，
所以，对于A选项，函数，是奇函数，故正确；
对于B选项，当时，，由于函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，故错误；
对于C选项，函数的图像向右平移个单位长度得到的函数图像对应的解析式为，
若图像关于对称，则，解得，
由于，故的最小值是，故正确；
对于D选项，当时，，
故结合正弦函数的性质可知，若方程在上有个不同实根，不妨设，
则取得最大值时满足且，
所以，的最大值为，故错误.

故选：AC
11．定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，则（    ）
A．函数图象关于直线对称
B．函数的周期为6
C．
D．和的图象所有交点横坐标之和等于8
【答案】AD
【分析】由题设得即可判断A选项；由对称性结合奇偶性得即可判断B选项；利用周期性及解析式求出函数值即可判断C选项；先求得函数图象关于直线对称，画出和的图象得到有四个交点，且关于直线对称，即可判断D选项.
【详解】由定义域为R，可得，，
即，则函数图象关于直线对称，A正确；
由以及为偶函数可得，则，即函数的周期为4，B错误；
由周期性知，，又，
即，则，C错误；
函数的定义域为，，
可得函数图象关于直线对称，分别画出和的图象如图所示：

由图可得和的图象有四个交点，且关于直线对称，则所有交点横坐标之和等于，D正确.
故选：AD.
12．如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（    ）

A．
B．
C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0
D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为
【答案】ACD
【分析】根据题意找出点Q在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及到另一底面的概率即可逐步分析计算确定各选项正误.
【详解】在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，所以，故A正确，，故B错误，点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点，故C正确，由于且，所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】有一些复杂的概率模型可通过找寻与之间的递推关系，从而求出.

三、填空题
13．已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
【答案】
【分析】根据将分离出来，基本不等式求最值即可求解.
【详解】由得．
又，当且仅当，即当时等号成立，
∴，∴的最大值为．
故答案为：
14．是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
【答案】##
【分析】求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标，把的最小值转化为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离即可得答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
抛物线的焦点，
因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，
所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，
连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，
即，
所以的最小值为，
故答案为：

15．已知四面体ABCD，平面平面ABC，，，，且四面体ABCD外接球的表面积为，则四面体ABCD的体积为______．
【答案】
【分析】先证平面ABD，可将四面体ABCD补成直三棱柱，根据外接球半径求得值，再合体积公式即可求解．
【详解】如图所示，取AB的中点H，连接DH，
因为平面平面ABC，平面平面，，
而平面，所以平面ABC，因平面ABC，所以，
又因为，，所以平面ABD，可将其补成直三棱柱，
∵，，
∴，的外接圆半径为，
因为四面体ABCD外接球的表面积为，所以外接球半径，
所以，∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】16．如图，一建筑工地有墙面与水平面垂直并交于，长为米的钢丝连接平面内一点与平面内一点，点距均为3米，分别为的三等分点，若在平面内一点向点连绳子，则的最短长度为__________米.

【答案】
【分析】利用对称找到满足要求的，即满足最小的点，再利用线段比例关系及勾股定理得到各线段长，求出，利用余弦定理求出答案.
【详解】如图1，

找点关于平面的对称点，连接交平面于，
其中截面图如图2所示，
则即为满足最小的点，
因为，
所以，
，
又，
在中，由余弦定理得
，
即的最小值为.
故答案为：

四、解答题
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求的值
（2）若，b＝2，求△ABC的面积S.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据正弦定理＝，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，
根据和角公式、三角形内角和可得答案；
（2）由正弦定理、余弦定理a、c，根据同角三角函数基本关系式可知，再由三角形面积公式可得答案．
【详解】（1）由正弦定理，则＝，
所以＝，
即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，
因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA，
因此.
（2）由＝2，得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2，
得4＝a2＋4a2－4a2×，解得a＝1，从而c＝2.
因为cosB＝，所以sinB＝，
因此S＝acsinB＝×1×2×＝.
18．从①；②，；③，是，的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．
已知等差数列的前n项和为，公差d不等于零，______．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)

【分析】（1）选①：先计算出，得到前项和公式，进而计算出方差和通项公式；
选②：得到关于首项和公差的方程组，求出首项和公差，求出通项公式；
选③：根据等比中项，列出方程，求出公差，通项公式；
（2）在第一问的基础上，计算得到数列的通项公式，进而利用分组求和计算出前n项和.
【详解】（1）选①．
易得，解得：，即，
所以，即，故，
所以．
选②．
易得，所以，
所以．
选③．
易得，即，解得：（舍去），
所以．
（2）由（1）知，
所以，
所以
．
19．如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ADE⊥平面ABCD，O､M分别为线段AD､DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，AE=DE，AE⊥DE.

(1)求证：CM平面ABE；
(2)求直线CM与BD所成角的余弦值；
(3)点N在直线AD上，若平面BMN⊥平面ABE，求线段AN的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)

【分析】（1）取线段中点，连接、，可得四边形为平行四边形，即可得到，从而得证；
（2）连接可得，，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线线角的余弦值．
（3）设=λ，利用平面BMN⊥平面ABE求出，由两点间距离公式求AN.
【详解】（1）证明：取AE的中点P，连接BP､MP，如图所示.

∵M､P分别为ED､AE的中点，∴PMAD，且PM=AD.
又四边形BCDO是边长为1的正方形，
∴BCOD，且BC=OD，
又O为AD的中点，∴BCAD，且BC=AD，即PMBC，且PM=BC，
∴四边形BCMP为平行四边形，∴CMPB，又CM⊄平面ABE，PB⊂平面ABE，
∴CM平面ABE.
（2）（2）连接EO，
∵AE=DE，O为AD中点，
∴EO⊥AD.
∵EO⊂平面ADE，且平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，
∴EO⊥平面ABCD.
又OB⊂平面ABCD，OD⊂平面ABCD，
∴EO⊥OB，EO⊥OD，
以O为原点，OB､OD､OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，C（1，1，0），B（1，0，0），D（0，1，0），，0，，M
∴=（-1，1，0）.
设直线CM与BD所成角为θ，则cosθ=，
∴直线CM与BD所成角的余弦值为.
（3）设=λ，则N（0，λ，0），
∴=（1，-λ，0），，
设平面BMN的法向量为(a，b，c)，
则即，
令a=λ，则b=1，c=2λ-1，
∴=（λ，1，2λ-1），
设面的法向量为，
由，可取．
∵平面BMN⊥平面ABE，
∴，即λ-1+2λ-1=0，解得λ=，
.
20．某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标





元件甲
12
8
40
33
7
元件乙
17
8
40
28
7

(1)试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率；
(2)生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若是次品则亏损20元，则在（1）的前提下：
①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率；
②记X，Y分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润，试比较和的大小.（结论不要求证明）
【答案】(1)甲为正品的概率，乙为正品的概率
(2)①；②

【分析】(1)用元件甲和元件乙为正品的频率估计生产一件元件甲和生产一件元件乙为正品的概率；
(2)①利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；
②先计算生产一件甲元件的利润和生产一件乙元件的利润，再计算并比较和的大小.
【详解】（1）由已知100件甲元件的样本中正品的频率为，
100件乙元件的样本中正品的频率为，
所以生产一件元件甲为正品的概率为，     
生产一件元件乙为正品的概率为；
（2）①设生产的5件乙元件中正品件数为，则有次品件，由题意知得到，
设“生产5件乙元件所获得的利润不少于300元”为事件，则．
②设生产一件甲元件的利润为，则的所有取值为90,-10，
则，，
所以的分布列为：

90
-10
P



，所以
设生产一件乙元件的利润为，则的所有取值为100,-20，
则，，
所以的分布列为：

100
-20
P



，所以
所以
21．已知函数，其中．
(1)若函数在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若函数存在两个极值点，，时，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先求解导函数，再根据函数的单调性将问题转化为不等式恒成立问题，进而求解参数的取值范围；
（2）运用构造函数法将转化为关于的函数，再运用导数分析函数的最值可得出结果.
【详解】（1）根据题意，在上恒成立
即在s，令，则
当时，，单调递减，当时，，单调递增，

故.
（2）由（1）知，显然，且有
设，则
∴，两边以e为底取对数得，则
设，则
设，则
∴在单调递增，则
，故在上单调递增，且
∴
计算得.
22．已知椭圆C的方程为，过点作直线与椭圆交于A，B两点.

（1）求证：PA⊥PB；
（2）求|PA|·|PB|的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）设过点的直线方程为，联立，得，由韦达定理结合向量的坐标运算可得，即证得结论；
（2）设的直线方程为， 联立，得，利用弦长公式求得，同理可知，化简整理，利用换元法结合基本不等式求得最值.
【详解】（1）设过点的直线方程为，,，
联立，得，
由韦达定理得：
，
又，


所以
（2）设的直线方程为，,，
联立，得，
由韦达定理可得，故
同理可知


令，当且仅当，即时等号成立，
设，由对勾函数结合反比例函数性质可知函数在上单减，故
所以的最大值为
【点睛】方法点睛：本题考查利用向量证明垂直，直线与椭圆相交求弦长，以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式时，一定注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是积定和最小或者和定积最大；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于难题.