2022届安徽省滁州市定远县第二中学高三下学期高考模拟检测数学（文）试题含解析

2022届安徽省滁州市定远县第二中学高三下学期高考模拟检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简集合，，然后算出，最后通过交集运算算出答案

【详解】解：或，

所以

所以，

故选：A

2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】利用模长公式和复数的除法运算化简可得对应的点，进而得出所在象限．

【详解】，对应点为，在第四象限.

故选：D

【点睛】本题考查复数的定义与运算，考查学生计算能力，属于基础题．

3．已知，，与的夹角是，若则实数的值为（    ）

A．7 B．－7

C．6 D．－6

【答案】B

【分析】根据向量垂直则数量积为0，再结合数量积的公式求解即可

【详解】因为，故，即，故，解得

故选：B

【点睛】本题主要考查了垂直的数量积表示、数量积的运算等，属于基础题

4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上半部分为半圆柱，下半部分为正四棱锥，求组合体的体积即可.

【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半圆柱，下半部分为正四棱锥，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面边长为2，高为1，

∴该几何体的体积为.

故选A.

5．已知偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上根的个数是（   ）

A．10个 B．8个 C．6个 D．4个

【答案】C

【分析】由条件证明函数为周期为2的函数，作函数，的图像，观察图像可得根的个数.

【详解】∵，

∴，

∴ 函数的周期为2，

因为为偶函数，所以，又当时，，

当时，，，

所以当时，，

当时， ，，

当时， ，，

在上，画出函数与的简图，如图所示：

根据图像，关于的方程在上根的个数是6个，

故选：C

6．是的中线，若，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】在中,由正弦定理可得,再根据求的面积即可.

【详解】在中,由正弦定理可得,即,解得,所以.

则,.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的应用,需要根据边角关系确定所用的正弦定理与面积公式.属于基础题.

7．“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上中下三等．一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制．已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快．若田忌不知道齐王三场比赛分别派哪匹马上场，则田忌获胜的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设齐王有上、中、下三等的三匹马A、、，田忌有上、中、下三等的三匹马、、，列举出所有比赛的情况，以及齐王第一场比赛会派出上等马的比赛情况和田忌使自己获胜时比赛的情况，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】设齐王有上、中、下三等的三匹马A，B，C，田忌有上、中、下三等的三匹马a，b，c，所有比赛的方式有：，，；，，；，，；，，；，，；，，，一共6种．其中田忌能获胜的方式只有，，1种，故此时田忌获胜的概率为．

故选：D.

8．函数的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导分析导函数的单调性与零点可得原函数存在两个极值点,再代入求值判断即可.

【详解】解法一：因为，设，

令,得,

当时,为减函数，即为减函数；

当时,，为增函数，即为增函数,

而,所以原函数存在两个极值点,

故淘汰选项C和D.将代入原函数,求得,淘汰选项A.

解法二：,淘汰选项A,D；

当时,,淘汰选项C.

故选：B.

【点睛】本小题考查函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想,考查直观想象、数学运算等核心素养,属于中档题.

9．双曲线的右焦点为，圆截双曲线的一条渐近线所得的弦长为，截轴所得的弦长为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题设，根据弦心距、半径与弦长的几何关系可得、，再由双曲线参数关系及离心率公式求双曲线的离心率.

【详解】由题设，，且到的距离为，即，

∴.

故选：C.

10．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为,设两条直线平行的概率为，相交的概率为，试问点与直线的位置关系是（ ）

A．P在直线的右下方 B．P在直线的左下方

C．P在直线的右上方 D．P在直线上

【答案】B

【分析】据两直线相交斜率不等,求出满足的条件,据古典概型概率公式求出，求出点P坐标,判断出与直线的关系.

【详解】当且仅当时两条直线只有一个交点,

而的情况有三种:(此时两直线重合); (此时两直线平行); (此时两直线平行).

而投掷两次的所有情况有种,

所以两条直线相交的概率;

两条直线平行的概率为,

点为,

在的左下方,故选项为B.

【点睛】本题融合了直线、线性规划、概率等有关知识,在处理方法上可采用枚举法处理概率问题，属于中档题.

11．已知函数的部分图像如图所示，则以下说法正确的是（    ）

A．函数的初相是

B．函数的最大值是2

C．函数在上单调递增

D．函数的图像是由函数的图像向右平移个单位长度，横坐标扩大到原来的3倍得到的

【答案】C

【分析】根据图像，求解函数解析式得，再结合三角函数性质依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：由图像可知，故，

因为为函数的一个对称中心，且在附近，函数值由负变正，

所以，即

所以，

因为，所以，

因为函数图像过点，

所以，解得，

所以，

所以，函数的初相位为，最大值为，故AB选项错误；

当时，，由于函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，故C选项正确；

的图像向右平移个单位长度，横坐标扩大到原来的3倍得到，显然不满足，故错误；

故选：C

12．已知函数在处的切线为l，第一象限内的点在切线l上，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出x=1处的导数值，根据点斜式直线方程写出l的方程，从而得出a，b之间的关系，运用基本不等式即可求解.

【详解】函数，

，

，，

由点斜式直线方程得：切线l的方程为， ，

由于点P在直线l上，则且，即，

则

，当且仅当，即时取等号；

故选：C.

二、填空题

13．函数的定义域为______．

【答案】；

【详解】因为 ,所以定义域为

14．设变量，满足约束条件，则的最小值为_______.

【答案】

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

【详解】由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，

化目标函数为，

由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最小值为．

故答案为：．

【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

15．某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图.执行此程序框图，输出a的值为____.

【答案】23；

【分析】根据程序框图依次计算得到答案.

【详解】根据程序框图：，，；，；，，

；，，，结束.

故答案为：.

【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力，理解能力和应用能力.

16．如图，直角梯形中，，，，，为的中点．把折起，使至，若点是线段上的动点，则有下列结论：

①存在点，使平面；

②对任意点，使与成异面直线；

③存在点，使平面；

④存在点，使平面．

其中不正确的序号是__．

【答案】②③④

【分析】利用线面平行的判定定理可判断①；根据空间直线之间的位置关系即可判断②；根据线面垂直的判定定理可判断③，④.

【详解】解：对于①，取的三等分点，使，

当时，有．又，

四边形为平行四边形，则，

故平面平面，而平面，则平面，因此①正确；

对于②，当点与点重合时，与共面，故②错误；

对于③，若平面，则垂直于平面内的任何直线，而，

不垂直于平面，故③错误；

对于④，若平面，则，而，

显然在△中不成立，故④错误．

综上可得：②③④错误．

故答案为：②③④

三、解答题

17．在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【分析】（1）类比等差数列求和的倒序相加法，将等比数列前n项积倒序相乘，可求，代入即可求解.

（2）由（1）知，利用两角差的正切公式，化简，，得

，再根据裂项相消法，即可求解.

【详解】（Ⅰ）由题意，构成递增的等比数列，其中，则

①

②

①②，并利用等比数列性质，得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

又

所以数列的前项和为

【点睛】（Ⅰ）类比等差数列，利用等比数列的相关性质，推导等比数列前项积公式，创新应用型题；（Ⅱ）由两角差的正切公式，推导连续两个自然数的正切之差，构造新型的裂项相消的式子，创新应用型题；本题属于难题.

18．某市文化部门为了了解本市市民对当地地方戏曲是否喜爱，从15-65岁的人群中随机抽样了人，得到如下的统计表和频率分布直方图.

(1)写出其中的、、及和的值；

(2)若从第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人中用分层抽样的方法抽取6人，求这三组每组分别抽取多少人？

(3)在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求这2人都是第3组的概率

【答案】(1)，，，，

(2)，，；

(3)

【分析】（1）利用频率分布表及频率分布直方图即可求出及和的值；

（2）第组喜欢地方戏曲的人数比，用分层抽样的分法从这三组中抽取人，即可求出这三组每组分别抽取多少人；

（3）利用列举法即可求出抽取人年龄都在的概率.

【详解】（1）由表可知第3组，第4组的人数分别为人和人，

再根据直方图可知第1组、第2组的人数也为人，

且抽样总人数.

所以第5组的人数为，

且，，

，.

（2）因为第1，2，3组喜欢地方戏曲的人数比为，

那么用分层抽样的方法从这三组中抽取6人，

第1组应抽取1人，第2组应抽取2人，第3组应抽取3人.

（3）设第1组的人为，第二组的人为，第三组的人为，

从这6人中随机抽取2人的基本事件共有以下15种：

设“2人都是第3组”为事件，

事件包含的基本事件有3种，

所以.

19．如图，已知四棱锥的底面是菱形，AC交BD于O，平面ABC，E为AD的中点，点F在PA上，.

（1）证明：平面BEF；

（2）若，，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）设交于，根据平行线分线段成比例可得，即可根据得到，再根据线面平行的判定定理即可证出；

（2）由等积法可知，即可解出．

【详解】（1）设交于，连结.因为，分别是，的中点，

所以，即. 又因为，所以，

所以，又因为平面，平面，所以平面．

（2）在菱形中，因为，，所以是边长为2的等边三角形，故.因为，平面，所以.

故点到平面的距离等于，所以，即三棱锥的体积为.

20．如图,已知椭圆的长轴为,过点的直线与轴垂直,椭圆的离心率,为椭圆的左焦点,且.

(1)求此椭圆的方程;

(2)设是此椭圆上异于的任意一点,轴，为垂足,延长到点使得.连接并延长交直线于点,为的中点,判定直线与以为直径的圆的位置关系.

【答案】(1)；

(2)与以为直径的圆相切.

【分析】（1）由题意，根据条件列出关于的方程组，求解的值，再由，得到的值，即可求得椭圆的方程；

（2）设（），则，因为点坐标为，得直线的方程为，进而得到坐标和的直线方程，再利用圆心到直线的距离和圆的半径的关系，即可作出证明．

【详解】（1）解：由题得，

因为，椭圆的离心率

所以，，解得

所以

所以，椭圆方程为

（2）解：与以为直径的圆相切,证明如下：

设（）,

因为延长到点使得，故

又因为点坐标为，所以直线的斜率

则直线的方程为,

所以，当时,，即点坐标为,

又因为,则

所以，直线的斜率为

因为，，

所以

所以，直线的方程为：，

整理得：，即

所以，点到直线的距离为，

则与以为直径的圆相切.

21．设函数（其中）．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）试比较与的大小，并证明你的结论．

【答案】（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）大小见详解，证明见详解．

【分析】（Ⅰ）求导函数，解导数不等式即可求解单调区间；

（Ⅱ）由，令，求导分析单调性，求得最值，讨论范围即可比较大小．

【详解】（Ⅰ）当时，

当得，当得，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为；

（Ⅱ），

由

当或时，

当时，令

由得，由得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

当且时，

当时，

综上所述：当或时，；

当且时，；

当时，．

22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，设与的交点为M，当m变化时，M的轨迹为曲线C．

(1)写出C的普通方程；

(2)曲线的极坐标方程为：，当曲线与曲线C有交点Q时，求最小值．

【答案】(1)；

(2)2.

【分析】（1）消参法得到的普通方程，公式法得到的普通方程，联立、消去参数m，即可得C的普通方程.

（2）由（1）知C的极坐标方程为，联立得，根据的几何意义及正弦函数的性质即可得最小值．

【详解】（1）曲线的普通方程为y＝x＋m，曲线的普通方程为，

联立得：C的普通方程为xy＝2，即．

（2）C的极坐标方程为，

联立，可得，

当，即时，最小为4，

所以最小值为2．

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）分类讨论去绝对值即可求解；

（2）由绝对值三角不等式化简可求.

【详解】（1）当时，不等式可化为，

当时，不等式可化为，解得，

；

当时，不等式可化为，解得，

；

当时，不等式可化为，解得，

，

所以不等式的解集为．

（2）由绝对值三角不等式，可得

，当且仅当时等号成立，

，

或，

所以的取值范围为．