2023届青海省西宁市大通回族土族自治县高三第二次模拟考试数学（文）试题含解析

2023届青海省西宁市大通回族土族自治县高三第二次模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．若集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数单调性求集合M，再根据交集运算求解.

【详解】，，则.

故选：B.

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题首先可根据得出，然后通过复数的模的相关性质即可得出结果.

【详解】因为，

所以，

则，

故选：C.

3．是一款具有社交属性的健身，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小吴根据记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论不正确的是（    ）

A．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

B．月跑步里程最大值出现在10月

C．月跑步里程逐月增加

D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小

【答案】C

【分析】根据折线图的信息，逐项判断，即可求出结论.

【详解】由所给折线图可知：

月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数，故选项A正确；

月跑步里程最大值出现在10月，故选项B正确；

月跑步里程并不是逐月递增，故选项C错误；

1月至5月的月跑步里程相对6月至11月，波动性更小，故选项D正确．

故选：C．

【点睛】本题考查折线图数据分析，考查数形结合，属于基础题.

4．已知，若，则实数的值为（    ）

A． B．或 C． D．不存在

【答案】B

【分析】先根据分段函数的解析式求出，，，即可得到，再分和两种情况求解即可.

【详解】由题意，，，即.

当，即时，，解得，满足题意；

当，即时，，解得，满足题意.

所以或.

故选：B.

5．在等比数列中，，，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】利用等比数列的通项公式列式求解即可.

【详解】设等比数列的公比为，

所以，解得，

所以，

故选：A

6．已知函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先根据函数图象得到函数图象的一个对称中心与的最小正周期，进而利用函数的性质即可求解.

【详解】解：由题图可知图象的一个对称中心是，的最小正周期，

故图象的对称中心为，，结合选项可知，当时，图象的一个对称中心是.

故选：D.

7．从2~8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的和恰为质数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意结合古典概型运算求解.

【详解】从2~8的7个整数中随机取2个不同的数，则有(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(6，8)，(7，8)，共有21种不同的取法，

若2个数的和恰为质数，不同的取法有：，，，，，，，，共8种，

故所求概率.

故选：B.

8．已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且时两函数解析式相同，即可得解.

【详解】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同，

当时，所求函数图象与时图象关于轴对称，

即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求，

当时，，，故A正确，C错误.

故选：A.

9．若，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先计算出，，再根据利用两角差的正弦公式展开计算可得.

【详解】因为所以，

所以，

因为所以，

因为，所以，

所以.

故选：D

10．如图所示，长方体中，，O是的中点，直线交平面于点M，则下列结论错误的是（    ）

A．A，M，O三点共线

B．的长度为1

C．直线与平面所成角的正切值为

D．的面积为

【答案】C

【分析】利用公理3证明三点共线即可判断A，利用长方体的性质以及中位线定理，可判断B，利用线面角的定义，根据长方体的几何性质，结合三角函数定义，可判断C，利用三角形面积转化求解，可判断D.

【详解】

对于A，连结，则，四点共面，

平面，，平面，

又平面，在平面与平面的交线上，

同理也在平面与平面的交线上.

三点共线，故A正确：

对于B，设直线与平面的交点为，

，平面，平面，平面，

，平面，平面，平面，

又，平面，平面，

平面平面，

又平面平面，平面平面，

，

为中点，为中点，同理可得为的中点，

，故B正确；

对于C，取中点，连接，，平面，

则即为直线与平面所成角，又平面平面，

故即为直线与平面所成角，

又，

，故C错误；

对于D，，

，

，故D正确.

故选：C

11．已知函数，则下列说法错误的是（    ）

A．当时，函数不存在极值点

B．当时，函数有三个零点

C．点是曲线的对称中心

D．若是函数的一条切线，则

【答案】B

【分析】当时，分析函数的单调性，可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用导数的几何意义可判断D选项.

【详解】对于A选项，当时，，此时函数在上单调递增，

所以，当时，函数不存在极值点，A对；

对于B选项，当时，，，

由可得，由可得或，

所以，函数的增区间为、，减区间为，

函数的极大值为，

极小值为，

又因为，

由零点存在定理可知，函数在区间有一个零点，

当时，，

因此，当时，函数有一个零点，B错；

对于C选项，对任意的，，

所以，点是曲线的对称中心，C对；

对于D选项，设是函数的一条切线，设切点坐标为，

，由题意可得，①

所以，曲线在处的切线方程为，

即，则，②

联立①②可得，D对.

故选：B.

12．已知点是抛物线上的一点,点是圆上的一点,为坐标原点,则的最大值为(  )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由圆方程可得,易得为的焦点.设,根据抛物线定义和圆的性质可得,又,将的最大值的问题转化为函数最值问题,利用二次函数求解即可.

【详解】因为圆,所以,易得为的焦点.

设,

因为点是抛物线上的一点,点是圆上的一点,

则,又,

所以,

令,

则,

所以当,即时,取得最大值,最大值为.

故选:A.

二、填空题

13．若双曲线的一条渐近线方程为，则___________.

【答案】4

【分析】写出渐近线方程，根据条件列方程求解.

【详解】由题知双曲线的焦点在轴上，其中且 ，其渐近线方程为 ，

由条件知一条渐近线方程为，即 ，所以 ，解得；

故答案为：4.

14．已知向量，满足，，，则在上的投影为___________.

【答案】

【分析】两边平方，求出，从而利用向量投影公式求出答案.

【详解】因为，所以，

则在上的投影为.

故答案为：

15．母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为___________.

【答案】

【分析】求出侧面展开图的弧长和底面圆半径，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积．

【详解】因为母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，

所以侧面展开图的弧长为：.

设该圆锥的底面圆的半径为，

所以，解得，

所以该圆锥的高，

所以该圆锥的体积.

故答案为：.

16．已知为等差数列的前项和.若，，则当取最大值时，的值为___________.

【答案】6

【分析】利用等差数列前项和公式和等差数列数列的对称性，可得到0，，从而得出结果.

【详解】因为，

所以，又，

所以0，所以，则，

故答案为：6.

三、解答题

17．造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重要意义．某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差x（单位：）与树干最大直径偏差y（单位：）之间的关系进行分析，随机挑选了8株该品种的树苗，得到它们的偏差数据（偏差是指个别测定值与测定的平均值之差）如下：

(1)若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)若这种树苗的平均高度为，树干最大直径平均为，试由（1）的结论预测高度为的这种树苗的树干最大直径为多少毫米．

参考数据：，．

参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计：，．

【答案】(1)

(2)34

【分析】（1）根据最小二乘法公式求出，即可得出线性回归方程；

（2）利用回归直线方程代入，求解即可.

【详解】（1）,

，

，，

故y关于x的线性回归方程为

（2）当树干高度为时，高度偏差(cm)，

，

所以树干直径约为，

即预测高度为的这种树苗的树干最大直径为34毫米.

18．在中，内角的对边分别为，，，且.

(1)求角的大小；

(2)若，是边上的一点，且，求线段的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理得到，由辅助角公式求出答案；

（2）由正弦定理得到，由余弦定理得到，从而求出，得到答案.

【详解】（1）因为，由正弦定理得，

又，所以，

所以，即，，

又，

所以，所以，所以；

（2）在中，由正弦定理得，

所以.

因为，所以，

在中，由余弦定理得

，

所以，当且仅当，即时，等号成立，

所以，即线段的最大值为.

19．如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形CDEF为平行四边形，平面平面ABCD，．

(1)证明：平面ABE；

(2)若，，，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于点，取的中点，连接，根据条件证明四边形为平行四边形，然后得到即可；

（2）取的中点为，连接，依次证明平面、平面，然后可求出点到平面的距离，然后根据算出答案即可.

【详解】（1）

证明：连接交于点，取的中点，连接，

因为四边形为平行四边形，所以为的中点，

所以，

因为，，所以，

所以四边形为平行四边形，所以，即，

因为平面，平面，所以平面ABE，

（2）

取的中点为，连接，

因为，，所以为等边三角形，

所以，，

因为平面平面ABCD，平面平面ABCD ，平面，

所以平面，所以点到平面的距离为，

因为，平面，平面，

所以平面，

所以点到平面的距离为，

因为是直角梯形，，，，，

所以，

所以.

20．已知椭圆过点，直线与交于两点，且线段的中点为为坐标原点，直线的斜率为.

(1)求的标准方程；

(2)已知直线与有两个不同的交点为轴上一点.是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，时，点坐标为；当时，点坐标为

【分析】（1）根据中点弦点差法得，再根据，得，再结合椭圆过点解方程即可得答案；

（2）设中点，假设存在和点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，进而将问题转化为，，再联立，结合韦达定理讨论，同时成立的情况.

【详解】（1）解：设，则，

所以，由题知直线的斜率.

因为在椭圆上，

所以，

两式相减得，即，

又，

所以，即.

又因为椭圆过点，

所以，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）解：联立消整理得：.

因为直线与椭圆交于两点，故，解得.

设，则.

设中点，

则，故.

假设存在和点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，故，

所以，解得，故.

又因为，所以，

所以，即，

整理得.

所以，

代入，整理得，即，

所以或，即存在使得是以为顶点的等腰直角三角形.

当时，点坐标为；当时，点坐标为.

此时，是以为直角顶点的等腰直角三角形.

21．已知．

(1)若在上单调递增，求a的取值范围，

(2)证明：当时，．

【答案】(1)

(2)证明见解析.

【分析】（1）分离参数，转化为在上恒成立，求出函数的最大值即可得到结果；

（2）根据题意转化为，然后求得的最小值即可证明.

【详解】（1）由，可得，

因为在上单调递增，则在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则在上恒成立，即在上单调递减，

所以，

由在上恒成立，可得，

所以实数的取值范围为.

（2）因为函数，，令，则，

即时，，则单调递增；

即时，，则单调递减；

所以，即（当且仅当取等号），

因为函数，，

则，令，则，

当时，，则函数单调递增；

当时，，则函数单调递减；

所以，即（当且仅当取等号），

因为，且（当且仅当取等号） ，（当且仅当取等号），所以（两个等号不同时成立这里反为大于号），

令，即证，

因额为，令，可得，所以，

当时，，则函数单调递减；

当时，，则函数单调递增；

所以，所以，

即当时，．

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求C的直角坐标方程；

（2）设点M的直角坐标为， l与曲线C的交点为，求的值．

【答案】（1）（2）

【解析】(1)根据极坐标与直角坐标的互化求解即可.

(2)设所对应的参数分别为,再联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程,利用参数的几何意义与韦达定理求解即可.

【详解】（1）由,得．

将代入得,,

所以C的直角坐标方程为．

（2）设所对应的参数分别为,

因为直线l的参数方程为为参数

所以M在l上

把l的参数方程代入可得

所以,

所以,

故=.

【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,直线和圆的位置关系,以及直线的参数方程的参数的几何意义等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.

23．已知函数．

(1)解不等式；

(2)若对任意实数都成立，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用零点分段讨论法去掉绝对值，求解绝对值不等式；

（2）由绝对值三角不等式，则恒成立，利用基本不等式求的最大值．

【详解】（1），不等式等价于：

 或或 ，

解得或.

所以不等式解集为：.

（2）

恒成立，即，

由，

则，即，当且仅当时等号成立.

所以的最大值为.