2023届青海省西宁市大通回族土族自治县高三二模数学（理）试题含解析

2023届青海省西宁市大通回族土族自治县高三二模数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数的单调性与定义域得出集合，即可根据集合的交集运算得出答案.

【详解】，则，解得，

则，

，

，

故选：B.

2．已知是虚数单位，若，，则在复平面内的对应点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】写出的共轭复数，结合复数的乘法运算求出，根据复数的几何意义即可判断.

【详解】由，得，所以，故在复平面内的对应点的坐标为，位于第四象限.

故选：D

【点睛】本题主要考查共轭复数、复数的乘法运算及复数的几何意义，属于基础题.

3．已知向量满足，则与所成角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量模的运算得，进而结合向量夹角公式求解即可.

【详解】解：因为向量满足，

所以，解得，

所以，

因为，

所以，，即与所成角为.

故选：A

4．使“”成立的一个充分不必要条件是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可．

【详解】对于A，若，，当时，成立，

所以“，”“”，A不满足条件；

对于B，，，则，即，

所以“，”“”，

若，则，不妨取，，，则，

所以“，”“”，

所以“，”是“”的充分不必要条件，B满足条件；

对于C，若，则，使得，即，

即“”“，”，

所以“，”是“”的充分条件，C不满足条件；

对于D，若，，则，即，当且仅当时，等号成立，

所以“，”“”，D不满足条件.

故选：B.

5．已知函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先根据函数图象得到函数图象的一个对称中心与的最小正周期，进而利用函数的性质即可求解.

【详解】解：由题图可知图象的一个对称中心是，的最小正周期，

故图象的对称中心为，，结合选项可知，当时，图象的一个对称中心是.

故选：D.

6．已知实数，函数若，则a的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件分和两种情况讨论，即可求解.

【详解】由题意，函数，

当时，由可得，即，解得；

当时，由可得，即，此时方程无解，

综上可得，实数的值为.

故选：A.

7．有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（    ）

A．12 B．14 C．36 D．72

【答案】B

【分析】根据题意，分厂只接受1个女生和厂接受2个女生两类情况，结合厂的分派方案，利用分类、分步计数原理，即可求解.

【详解】由题意，可分为两种情况：

①若厂只接受1个女生，有种分派方案，

则厂分派人数可以为或，则有种分派方案，

由分步计数原理可得，共有种不同的分派方案；

②若厂接受2个女生，只有1种分派方案，

则厂分派人数为，则有种分派方案，

此时共有种不同的分派方案，

综上，由分类计数原理可得，共有种不同的分派方案.

故选：B.

8．已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且时两函数解析式相同，即可得解.

【详解】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同，

当时，所求函数图象与时图象关于轴对称，

即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求，

当时，，，故A正确，C错误.

故选：A.

9．在和中，若，，则（    ）

A．与均是锐角三角形

B．与均是钝角三角形

C．是钝角三角形，是锐角三角形

D．是锐角三角形，是钝角三角形

【答案】D

【分析】根据题意，由三角形的正弦值一定大于零，即可判断是锐角三角形，然后再由，判断的形状即可得到结果.

【详解】在和中，因为，

所以均为锐角，即为锐角三角形.

另一方面，可得或

即，

所以为锐角或者钝角，

同理可得为锐角或者钝角，

但是中必然有一个为钝角，否则不成立，所以为钝角三角形.

故选:D

10．已知函数，则下列说法错误的是（    ）

A．当时，函数不存在极值点

B．当时，函数有三个零点

C．点是曲线的对称中心

D．若是函数的一条切线，则

【答案】B

【分析】当时，分析函数的单调性，可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用导数的几何意义可判断D选项.

【详解】对于A选项，当时，，此时函数在上单调递增，

所以，当时，函数不存在极值点，A对；

对于B选项，当时，，，

由可得，由可得或，

所以，函数的增区间为、，减区间为，

函数的极大值为，

极小值为，

又因为，

由零点存在定理可知，函数在区间有一个零点，

当时，，

因此，当时，函数有一个零点，B错；

对于C选项，对任意的，，

所以，点是曲线的对称中心，C对；

对于D选项，设是函数的一条切线，设切点坐标为，

，由题意可得，①

所以，曲线在处的切线方程为，

即，则，②

联立①②可得，D对.

故选：B.

11．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球O的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意求出矩形的对角线的长，即截面圆的直径，根据棱锥的体积计算出球心距，进而求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．

【详解】由题可知矩形所在截面圆的半径即为的对角线长度的一半，

，，

，

由矩形的面积，

则到平面的距离为满足：，

解得，

故球的半径，

故球的表面积为：，

故选：A．

12．设分别是双曲线的左､右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由双曲线的方程可得两焦点的坐标及渐近钱的方程，由题意求出 的方程，与渐近线联立求出P的坐标，进而求出的值，由点到直线的距离公式，求的值，由由求出a，c的关系，进而求出离心率．

【详解】由双曲线的方程可得双曲线渐近线方程：，右焦点，

到渐近线的距离，

由渐近线的对称性，设渐近线为，①

则直线方程为∶ ②，

由①②可得， 则，

左焦点，所以 ，

 由，有，得，

即 ， ，则的离心率为

故选∶C·

二、填空题

13．已知函数（且）的图像过定点A，若抛物线也过点A，则抛物线的准线方程为__________.

【答案】x=-1

【分析】先求出A点的坐标，再求出p即可.

【详解】因为函数 经过定点 ，所以函数 经过

定点，将它代入抛物线方程得 ，解得，

所以其准线方程为；

故答案为： .

14．已知为锐角，且，则_______．

【答案】

【解析】利用同角三角函数的基本关系可得，再由，利用两角差的余弦公式即可求解.

【详解】由为锐角，且，

所以，

所以

．

故答案为：

【点睛】本题考查了两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题．

15．关于正方体有如下说法：

①直线与所成的角为；           ②直线与所成的角为；

③直线与平面所成的角为；   ④直线与平面ABCD所成的角为．

其中正确命题的序号是_______．

【答案】①④

【分析】由与平行，结合等边三角形的性质判断①；由平行，结合等腰三角形的性质判断②；由平面，平面结合线面角的定义判断③④.

【详解】连接，，因为与平行，所以是异面直线与所成的角，

因为为等边三角形，所以直线与所成的角为，故①正确；

连接交于点，取的中点为，连接，，

因为为的中点，所以平行，

则或其补角为直线与所成的角，易知，所以，

即直线与所成的角为，故②错误；

连接，直线交于点，连接，

设正方体的棱长为，易知，

由线面垂直的判定可知，平面，

则为直线与平面所成的角，

，，则，即，故③错误；

平面，易知为直线与平面所成的角，

由，则，故④正确.

故答案为：①④.

16．设为随机变量，从棱长为的正方体的条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，为两条棱上两点（不在同一条棱上）间距离的最小值，则随机变量的数学期望为_______．

【答案】

【分析】作出图形，分析可知随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值.

【详解】在棱长为的正方体中，如下图所示：

当两条棱相交时，，与每条棱相交的棱有条，即；

当两条棱平行时，这两条棱之间的距离为或，

其中，与棱平行且距离为的棱为、，与棱平行且距离为的棱为；

当两条棱异面时，，与棱异面的棱为、、、.

所以，，，

因此，.

故答案为：.

三、解答题

17．造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重要意义．某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差x（单位：）与树干最大直径偏差y（单位：）之间的关系进行分析，随机挑选了8株该品种的树苗，得到它们的偏差数据（偏差是指个别测定值与测定的平均值之差）如下：

(1)若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)若这种树苗的平均高度为，树干最大直径平均为，试由（1）的结论预测高度为的这种树苗的树干最大直径为多少毫米．

参考数据：，．

参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计：，．

【答案】(1)

(2)34

【分析】（1）根据最小二乘法公式求出，即可得出线性回归方程；

（2）利用回归直线方程代入，求解即可.

【详解】（1）,

，

，，

故y关于x的线性回归方程为

（2）当树干高度为时，高度偏差(cm)，

，

所以树干直径约为，

即预测高度为的这种树苗的树干最大直径为34毫米.

18．已知数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，设，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，证明数列是首项为，公比为的等比数列即可求解；

（2）结合（1）得，再分和两种情况讨论求解即可.

【详解】（1）解：由，得，

两式相减，得，

所以，即.

又因为时，，所以，

因为，

所以数列是首项为，公比为的等比数列.

所以.

（2）解：由（1）得，.

当时，，

当时，

综上，

19．如图，在直角梯形中，，四边形为平行四边形，平面平面.

(1)证明：平面；

(2)若，求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）连接，取的中点，连接，证明为平行四边形，即可推理作答.

（2）在平面内过D作，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.

【详解】（1）连接，取的中点，连接，如图，在中，为的中点，

则，又，，因此，

即四边形为平行四边形，于是，即，而平面，平面，

所以平面ABE.

（2）在中，，则是菱形，又，即有是正三角形，

在平面内过D作，因为平面平面，平面平面，

则有平面，于是两两垂直，

以点D为原点，射线的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，

则，，

令平面的法向量，则，令，得，

令平面的法向量，则，令，得，

因此，

所以二面角的正弦值为.

20．已知椭圆过点，直线与交于两点，且线段的中点为为坐标原点，直线的斜率为.

(1)求的标准方程；

(2)已知直线与有两个不同的交点为轴上一点.是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，时，点坐标为；当时，点坐标为

【分析】（1）根据中点弦点差法得，再根据，得，再结合椭圆过点解方程即可得答案；

（2）设中点，假设存在和点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，进而将问题转化为，，再联立，结合韦达定理讨论，同时成立的情况.

【详解】（1）解：设，则，

所以，由题知直线的斜率.

因为在椭圆上，

所以，

两式相减得，即，

又，

所以，即.

又因为椭圆过点，

所以，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）解：联立消整理得：.

因为直线与椭圆交于两点，故，解得.

设，则.

设中点，

则，故.

假设存在和点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，故，

所以，解得，故.

又因为，所以，

所以，即，

整理得.

所以，

代入，整理得，即，

所以或，即存在使得是以为顶点的等腰直角三角形.

当时，点坐标为；当时，点坐标为.

此时，是以为直角顶点的等腰直角三角形.

21．已知函数．

(1)若，讨论的单调性；

(2)当，，有两个不同的实数根，证明：．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）分类讨论，两种情况，结合导数得出的单调性；

（2）将有两个不同的实数根转化为，是方程的两个根，利用韦达定理得，进而通过换元，将转化为关于的函数，利用导数研究其最值即可.

【详解】（1），.

当，即时，，即在上单调递增.

当时，若，则；

若，则；

即函数在，上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，函数在，上单调递增，

在上单调递减.

当时，在上单调递增.

（2）有两个不同的根，则，是方程的两个根，

所以，，

所以，，.

，

令，

，

在单调递增，

所以，

令，

在上单调递增，，

，

即.

【点睛】关键点睛：对于问题（2），含双变量的问题，关键要通过计算转化为一个变量，利用导数得出单调性，进而证明不等式.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求C的直角坐标方程；

（2）设点M的直角坐标为， l与曲线C的交点为，求的值．

【答案】（1）（2）

【解析】(1)根据极坐标与直角坐标的互化求解即可.

(2)设所对应的参数分别为,再联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程,利用参数的几何意义与韦达定理求解即可.

【详解】（1）由,得．

将代入得,,

所以C的直角坐标方程为．

（2）设所对应的参数分别为,

因为直线l的参数方程为为参数

所以M在l上

把l的参数方程代入可得

所以,

所以,

故=.

【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,直线和圆的位置关系,以及直线的参数方程的参数的几何意义等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.

23．已知函数．

(1)解不等式；

(2)若对任意实数都成立，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用零点分段讨论法去掉绝对值，求解绝对值不等式；

（2）由绝对值三角不等式，则恒成立，利用基本不等式求的最大值．

【详解】（1），不等式等价于：

 或或 ，

解得或.

所以不等式解集为：.

（2）

恒成立，即，

由，

则，即，当且仅当时等号成立.

所以的最大值为.