2023届青海省西宁市大通回族土族自治县高三一模数学（文）试题含解析

2023届青海省西宁市大通回族土族自治县高三一模数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则的元素个数为（    ）

A．1 B．3 C．5 D．7

【答案】C

【分析】根据并集的知识求得正确答案.

【详解】依题意，所以，

所以，共个元素.

故选：C

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算，化简即可得出结果.

【详解】.

故选：C.

3．下列坐标所表示的点是函数图象的对称中心的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用正弦函数的对称中心为，可得，解之即可.

【详解】因为正弦函数的对称中心为，所以令，

解得：，当时，对称中心为，

即A是对称中心，其它各项均不是对称中心.

故选：.

4．抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用抛物线的几何性质即可求得抛物线的准线方程.

【详解】因为，所以，

所以抛物线的准线方程为．

故选：C

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接利用和差公式计算得到答案.

【详解】，

故选：C

6．函数的零点为（    ）

A．4 B．4或5 C．5 D．或5

【答案】C

【分析】根据零点的定义结合对数的运算求解，注意函数的定义域.

【详解】由题意可得：，解得，故的定义域为，

令，得，则，解得或，

又∵，所以．

故选：C.

7．下图是2010年—2021年（记2010年为第1年）中国创新产业指数统计图，由图可知下列结论不正确的是（    ）

A．从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势

B．2021年的创新产业指数超过了2010年—2012年这3年的创新产业指数总和

C．2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大

D．2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢

【答案】B

【分析】由统计图中对应年份的创业指数及走势，判断出四个选项的正误.

【详解】从统计图可看出从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势，A正确；

从统计图估计得到2021年的创新产业指数大约为350，

而2010年—2012年这3年的创新产业指数总和大约为，

故2021年的创新产业指数没有超过2010年—2012年这3年的创新产业指数总和，B错误；

因为2021年的创新产业指数大约为350，2010年的创业指数小于150，

，故2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大，C正确；

2010年到2014年的创新产业指数的折线倾斜程度小，而2017年到2021年的创业指数的折线倾斜程度大，

故2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢，D正确.

故选：B

8．若是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据偶函数定义可求得，利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程.

【详解】为偶函数，，

即，，解得：，

，则，，

，在点处的切线方程为，即.

故选：A.

9．从甲、乙等名专家中任选人前往某地进行考察，则甲、乙人中至少有人被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】列举出所有基本事件和满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可求得结果.

【详解】记其他名专家分别为，将甲、乙分别记为，

从人中任选人，则有，，，，，，，，，，，，，，，共种情况；

其中甲、乙至少有人被选中的有，，，，，，，，，共种情况，

甲、乙至少有人被选中的概率.

故选：D.

10．已知的内角所对的边分别为，则的面积为（    ）

A． B． C．27 D．36

【答案】C

【分析】根据余弦定理求出，再根据求出，再根据面积公式求解.

【详解】由余弦定理得：

即即，即

所以，又因为，所以

所以的面积为

故选：C

11．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得，，又由，可得，化简得，代入即可得答案.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

又因为，

所以，

所以.

故选：A.

12．已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线l经过且与C左支交于P，Q两点，P在以为直径的圆上，，则C的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据P在以为直径的圆上，得到，设，，得到，由双曲线定义得到，求出，由勾股定理求出，从而求出离心率.

【详解】不妨设，，

因为P在以为直径的圆上，所以，即，则．

因为Q在C的左支上，所以，

即，解得，则．

因为，所以，即，

故，

故．

故选：A

二、填空题

13．设满足约束条件，则的最大值为________．

【答案】

【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距最小值的求解问题，采用数形结合的方式可求得结果.

【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，

若取得最大值，则在轴截距取得最小值，

由图象可知：当过点时，在轴截距最小，

由得：，即，.

故答案为：.

14．已知向量，，若，则________．

【答案】

【分析】根据向量模的展开计算，得出，从而进一步利用向量的线性计算求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

解得，

故答案为：.

15．若甲、乙两个圆柱形容器的容积相等，且甲、乙两个圆柱形的容器内部底面半径的比值为2，则甲、乙两个圆柱形容器内部的高度的比值为____________．

【答案】##

【分析】根据体积相等列方程，由此求得高度比.

【详解】设甲的底面半径为，则乙的底面半径为，

设甲的高为，乙的高为，

依题意，，

所以.

故答案为：

16．如图，在正三棱柱中，，为的中点，则与所成角的余弦值为______.

【答案】

【分析】取的中点，连接，，即可得到，从而得到为与所成的角，再利用余弦定理计算可得.

【详解】如图，取的中点，连接，，

在中，为的中点，所以为中位线，所以，

所以为与所成的角，

在中，，，，

所以，

所以与所成角的余弦值为.

故答案为：

三、解答题

17．年月日时分，长征四号丙运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后将遥感三十四号星送入预定轨道发射，大量观众通过某网络直播平台观看了发射全过程．为了解大家是否关注航空航天技术，该平台随机抽取了名用户进行调查，相关数据如下表．

(1)补充表格数据并根据表中数据分别估计男、女性用户关注航空航天技术的概率；

(2)能否有的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关？

附：，．

【答案】(1)表格见解析，男性关注的概率为；女性关注的概率为

(2)没有的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关

【分析】（1）根据已知数据可直接补充表格，由频率估计概率即可得到所求概率；

（2）由表格数据可求得，对比临界值表可得结论.

【详解】（1）由已知数据可补充表格如下：

估计男性用户关注航空航天技术的概率；女性用户关注航空航天技术的概率.

（2），

没有的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关．

18．在等比数列中，，且．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由可求得，进而得到公比，由等比数列通项公式可求得；

（2）由（1）可得，采用分组求和的方式，结合裂项相消法和等差数列求和公式可求得.

【详解】（1）由得：，

又，，

设等比数列的公比为，则，

所以；

（2）由（1）得：，

.

19．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，分别是的中点，平面，，且．

(1)证明：平面．

(2)求四棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由，结合面面平行的判定可得平面平面，由面面平行的性质可证得结论；

（2）由等腰三角形三线合一性质可说明四边形是边长为，且一个内角为的菱形，由此可得菱形的面积；作，可证得平面，由角度关系可求得，代入棱锥体积公式即可.

【详解】（1）分别是的中点，四边形为菱形，，，

四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面；

分别为的中点，，

又平面，平面，平面，

又，平面，平面平面，

平面，平面.

（2）连接，

平面，平面，，又，．

为的中点，，又，为等边三角形，

，；

延长至点，使得，

由（1）知：平面，又平面，，

又，平面，平面，

，，，

，

.

20．已知椭圆C：与椭圆的离心率相同，为椭圆C上一点.

(1)求椭圆C的方程.

(2)若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问以AB为直径的圆是否经过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在的坐标为，理由见解析

【分析】（1）先求出椭圆的离心率为，由此得到，将点的坐标代入椭圆，得到，再代入，解得，，则可得结果；

（2）先用两个特殊圆求出交点，再猜想以AB为直径的圆经过定点，再证明猜想，设直线，并与联立，利用韦达定理得到，，进一步得到，，利用，，，证明即可.

【详解】（1）在椭圆中，，，，离心率，

在椭圆C：中，，

所以，化简得，

因为在椭圆C：上，

所以，所以，所以，，

所以椭圆.

（2）当直线的斜率为0时，线段是椭圆的短轴，以AB为直径的圆的方程为，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，以AB为直径的圆的方程为，

联立，解得，

由此猜想存在，使得以AB为直径的圆是经过定点，

证明如下：

当直线的斜率不为0且斜率存在时，设直线，

联立，消去并整理得，

，

设、，

则，，

则，

，

因为

，

所以，所以点在以为直径的圆上，

综上所述：以AB为直径的圆是经过定点.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

21．已知函数

(1)若，证明：存在唯一极值点．

(2)若，证明：，

【答案】(1)见解析；

(2)见解析；

【分析】(1)只需证明在上只有一个解，且在此解的两侧异号即可；

(2)等价于证明在上恒成立，令，则等价于证明在上恒成立，结合对数函数的性质可得即证明在上恒成立，利用证明导数证明在上恒成立即可.

【详解】（1）证明：因为，

所以，

易知在上单调递减，

又因为，，

所以存在唯一个，使得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以存在唯一极值点；

（2）证明：要证明在上恒成立，

即要证明在上恒成立，

也即证明在上恒成立，

令，

即证明在上恒成立，

又因为在上单调递增，

所以，

所以原命题等价于证明在上恒成立，

又因为，

令，

则，

因为，

所以，，

当时，，

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以；

当时，，在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以；

当时，，在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以；

综上所述：在上恒成立，

所以原命题得证.

【点睛】方法点睛：对于利用导数解决恒立问题的常用方法：一是直接利用导数求函数的最值；二是分离参数，转化为参数与分离后的函数之间的关系；三是转化为两个初等函数之间的最值关系.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；

(2)若曲线与曲线交于两点，的直角坐标为，求．

【答案】(1)：，：.

(2)

【分析】（1）根据消参法消去参数即可求解的普通方程，根据直角坐标与极坐标之间的互换即可得的直角方程，

（2）根据直线的标准参数方程以及参数的几何意义即可求解.

【详解】（1）由消去得，即，

由得，即

（2）直线经过点，且倾斜角为 ，所以的方程写成标准参数方程为 （为参数），将其代入：得，

设所对应的参数分别为，则 故，

因此，

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若的最小值为，求的最小值．

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）分类讨论求解不等式即可.

（2）首先根据题意得到，从而得到，再利用基本不等式的性质求解即可.

【详解】（1）由题知：，

所以，

，

.

综上：，

所以的解集为.

（2），所以.

所以.

所以，

当且仅当，即等号成立.

所以的最小值为.