2022-2023学年四川省成都市石室中学高三下学期3月二诊模拟考试数学（文）（word版）

  成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届二诊模拟考试

文科数学

（全卷满分150分，考试时间120分钟）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知z的共轭复数是，且（i为虚数单位），则复数z的虚部为（    ）

A． B． C．-2 D．-2i

3．下图是我国跨境电商在2016~2022年的交易规模与增速统计图，则下列结论正确的是（    ）

A．这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元

B．这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大

C．这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元

D．图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8%

4．设实数x，y满足约束条件则的最小值为（    ）

A．-8 B．-6 C．-4 D．-2

5．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知a，b，c为直线，，，平面，下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

7．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，例如．如图所示程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于（    ）

A．20 B．21 C．22 D．23

8．已知双曲线的右焦点为，点P，Q在双曲线上，且关于原点O对称．若，且的面积为4，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．3

9．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（    ）

A． B． C．4 D．

10．已知函数满足，，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知抛物线与直线相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若，则AB的中点的横坐标为（    ）

A． B．3 C．5 D．6

12．设，，，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．平面向量，满足，，且，则x的值为______．

14．已知直线，，圆C的圆心在第一象限，且与，都相切，则圆C的一个方程为______．（写出满足题意的任意一个即可）

15．已知三棱锥的体积为，各顶点均在以PC为直径的球面上，，，，则该球的表面积为______．

16．已知函数，，，且在上单调，则的最大值为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）针对我国老龄化问题日益突出，人社部将推出延迟退休方案．某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示．

（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n的值；

（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人年龄在50岁以下的概率．

18．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，从①，②，③三个条件中任选一个，求数列的前n项和．

19．（本小题满分12分）如图，是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，，平面平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，．

（Ⅰ）求证：平面ABC；

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

20．（本小题满分12分）已知函数．

（Ⅰ）当时，求的最大值；

（Ⅱ）若，，求a的取值范围．

21．（本小题满分12分）已知椭圆经过点，其右焦点为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，求面积的最大值．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．

22．［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与曲线，（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线C的普通方程；

（Ⅱ）在极坐标系中，射线与直线l和曲线C分别交于点A，B，若，求的值．

23．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知存在，使得成立，，．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）求的最小值．

成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届二诊模拟考试

文科数学参考答案

答案及解析

1．C

2．C

3．D

4．B

5．B

6．D

7．C

8．C

9．B

10．D

11．A

12．A

13．

14．（答案不唯一）

15．

16．5

17．解：（Ⅰ）参与调查的总人数为，其中从持“不支持”态度的人数中抽取了30人，所以．

（Ⅱ）由已知易得，抽取的5人中，50岁以下与50岁以上人数分别为2人（记为，），3人（记为，，）．

画树状图如下：

由树状图可知，从这5人中任意选取2人，基本事件共10个，

其中，至少有1人年龄在50岁以下的事件有7个，

故所求概率为．

18．解：（Ⅰ）因为，所以．

将上述两式相减，得．

因为，，即，所以，所以，

所以．

因为，所以，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．

若选①：，

则，

．

将上述两式相减，得，

所以．

若选②：，

则．

若选③：．

当n为偶数时，；

当n为奇数时，．

综上，．

19．（Ⅰ）证明：如图，取CF的中点D，连接DM，DN．

因为M，N分别是AF，CE的中点，所以，．

又因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．

又因为，所以，同理可得，平面ABC．

因为平面MND，平面MND，，

所以平面平面ABC．

又因为平面MND，所以平面ABC．

（Ⅱ）解：如图，取AB的中点O，连接OC，OE．

由已知可得，且，

所以四边形OAFE是平行四边形，所以且．

因为是正三角形，O是AB的中点，所以．

又因为平面平面ABEF，平面平面，所以平面ABEF．

又平面ABEF，所以．

设，则，．

在中，由，得，则，

所以，，则，．

由题意易得，，

则点M到AB的距离，即点M到平面ABC的距离为．

又平面ABC，

所以．

20．解：（Ⅰ）当时，，，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以．

（Ⅱ）由，得，

易知在上单调递减．

①由（Ⅰ）可知，当时，，符合题意．

②当时，，，

所以存在时，使得，

故当时，，单调递减，

所以，不符题意，舍去．

③当时，，，

所以存在，使得，

故当时，，单调递减，．

令，则，故在上单调递减，

所以，故，符合题意．

综上所述，a的取值范围是．

21．解：（Ⅰ）依题意，得解得所以椭圆C的标准方程为．

（Ⅱ）易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线PQ不垂直于x轴，

故可设，，．

由得，

所以，，，即．

由，得，

消去，得，

即，

所以，

整理得，所以或，

所以直线或．

又因为直线PQ不经过点，所以直线PQ经过定点，

所以直线PQ的方程为，易知，设定点，

则

．

因为即，且，所以，所以，

所以，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为．

22．解：（Ⅰ）曲线C的普通方程为，．

（Ⅱ）直线l的极坐标方程为，易得．

曲线C的极坐标方程为，易得．

由已知，得，，

，，

两边平方并整理得．

又，即，所以，则．

23．解：（Ⅰ）由题意，知．

因为存在，使得，

所以只需，即的取值范围是．

（Ⅱ）由柯西不等式，得，

当，时，取得最小值．