2023届天津市五所重点校高三一模数学试题含解析

这是一份2023届天津市五所重点校高三一模数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届天津市五所重点校高三一模数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】列举法表示集合，再求.【详解】，，∴.故选：D2．已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.3．下列命题错误的是（    ）A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于B．设，且，则C．线性回归直线一定经过样本点的中心D．随机变量，若，则【答案】B【分析】利用相关关系判断A；由正态分布的性质判断B；由线性回归直线的性质判断C；由随机变量条件建立方程组解出即可判断D.【详解】根据相关系数的意义可知，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于，故A正确；由，知，即概率密度函数的图像关于直线对称，所以，则，故B错误；根据线性回归直线的性质可知，线性回归直线一定经过样本点的中心，故C正确；随机变量，若，则，故D正确；故选：B.4．函数y=sin2x的图象可能是A． B．C． D．【答案】D【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．5．已知，则a、b、c的大小关系为A． B． C． D．【答案】B【分析】分别和0,1比较大小，得到，，的大小关系.【详解】， ， ，.故选B【点睛】本题考查指对数比较大小，一般可以判断函数类型，根据单调性比较大小，或是和中间值0或1比较大小.6．对于函数,下列命题①函数图象关于直线对称; ②函数图象关于点(,0)对称;③函数图象可看作是把的图象向左平移个单位而得到;④函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍 (纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是( ▲ )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】【解析】正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：综合题．分析：①把x=-代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误；②把x= ，代入函数，函数值是否为0，即可判定正误；③函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个 单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；④函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，得到函数的表达式是否相同，即可判定正误．解答：解：①把x=-代入函数f（x）=sin（2x+）=0，所以，①不正确；②把x=，代入函数f（x）=sin（2x+）=0，函数值为0，所以②正确；③函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数为f（x）=sin（2x+），所以不正确；④函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数f（x）=sin（2x+），正确；故选C．点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型．7．在中国古代数学经典著作九章算术中，称图中的多面体为“刍甍”书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即，其中是刍甍的高，即点到平面的距离若底面是边长为的正方形，，且，和是等腰三角形，，则该刍甍的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图形，如图，计算点到平面的距离，并代入公式求解即可.【详解】如图所示，设点在底面的射影为，分别为的中点，连接，则即为刍甍的高，由，平面，平面，所以平面，又平面，且平面平面，所以，在“刍甍”中，和是等腰三角形，所以一定在上，由题意底面是边长为的正方形，，可知，在是等腰直角三角形，且，所以，所以，所以.故选：B.8．已知，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，满足，连接交轴于点，若，则双曲线的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得垂直于轴，，为的中点，运用直角三角形斜边中线为斜边的一半，结合双曲线的方程可得，再由勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】解：由题意可得垂直于轴，，因为为的中点，则为的中点，可得，由可得，即有，在直角三角形中，可得，即有，可得，即，由可得，，解得舍去），故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质，注意运用直角三角形的性质和勾股定理，考查化简整理的运算能力．9．已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由偶函数性质可以画出函数的图像，关于的方程有6个不同的实数根，根据数形结合和韦达定理即可求得结果.【详解】由题意可知，函数的图像如下图所示：根据函数图像，函数在上单调递增，在上单调递减；且时取最大值2，在时取最小值0，是部分图像的渐近线.令，则关于的方程即可写成此时关于的方程应该有两个不相等的实数根（其他情况不合题意），设为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：①当时，此时，则②当时，此时，则综上可知，实数的取值范围是.故选：C. 二、填空题10．已知复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于第_____象限.【答案】一【解析】化简得到，得到复数对应象限.【详解】，复数在复平面内对应的点的坐标为（2,1），故复数在复平面内对应的点位于第一象限.故答案为：一.【点睛】本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用.11．若的展开式中常数项为，则展开式中的系数为__________.【答案】【分析】首先求出的展开式的通项公式，通过计算常数项求出a的值，再利用通项公式求的系数.【详解】展开式的通项公式为，当时，常数项为，所以．当时，，展开式中的系数为．【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查二项式定理求特定项的系数，解题的关键是求出二项式的通项，属于基础题.12．若直线：被圆：截得线段的长为6，则实数的值为______.【答案】24【分析】把圆的一般方程化为圆的标准方程，利用点到直线的距离公式以及勾股定理进行求解.【详解】把圆：化为标准方程有：，所以圆心，半径，又直线：，所以圆心到直线的距离为，因为直线：被圆：截得线段的长为6，根据勾股定理有：，解得，所以，解得.故答案为：24. 三、双空题13．口袋中有个黑球、个白球，个红球，从中任取个球，每取到一个黑球记分，每取到一个白球记分，每取到一个红球记分，用表示得分数，则________，________.【答案】          【分析】“”表示取出的球为“黑红”或“白”，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值；写出随机变量的分布列，可求得的值.【详解】解：“”表示取出的球为“黑红”或“白”，所以，；由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，则，，，，.所以，随机变量的分布列如下表所示： 因此，.故答案为：. 四、填空题14．已知ab＝，a，b∈（0，1），则的最小值为________,【答案】【解析】由已知条件可得，然后利用基本不等式可得答案【详解】∵ab＝，a，b∈（0，1），∴，∴1﹣a＞0，1﹣b＝1﹣＞0，∴2a﹣1＞0，∴，，，，，，，＝2（3+2）+4＝10+4，当且仅当时，即时取等号，故的最小值为，故答案为：【点睛】此题考查基本不等式的应用，考查数学转化能力和计算能力，属于中档题 五、双空题15．在中，已知是斜边上一动点，点满足，若，若点在边所在的直线上，则的值为__________；的最大值为__________.【答案】     1     ##【分析】根据共线定理推论即得；建立直角坐标系，写出直线BC的方程，根据方程设点P坐标，结合条件可得Q的轨迹方程，进而设出点Q坐标，根据已知表示出然后利用三角函数的性质即得.【详解】因为，若点在边所在的直线上，则；以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则，，，得直线BC的方程为， 则可设，其中，由，得点Q在以点P为圆心，2为半径的圆上，可设，由，，，因为，所以，所以，即， 则（其中），所以， 即，故的最大值为.故答案为：；. 六、解答题16．的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知且.(1)求角A的大小；(2)若的周长为，求的面积；(3)若，求的值.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由余弦定理角化边化简后可得；（2）余弦定理与已知联立可得bc的值，然后可得；（3）先由正弦定理可得的值，然后根据二倍角公式与和差公式可解.【详解】（1）因为，所以，整理可得：，由余弦定理可得：，所以，，所以可得；（2）由三角形的周长为，a=，所以，由（1）可得，而，所以可得，可得，所以，所以△ABC的面积为；（3）因为b=，a=，A=π，由正弦定理可得：=，b＜a，所以B为锐角，所以，所以，，所以，即，所以．17．如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明，,由线线垂直证明线面垂直，即得证（2）由（1）为平面的一个法向量，求解平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解；（3）由（1）为平面的一个法向量，利用点面距离的向量公式即得解【详解】（1）证明：以为原点，､､所在直线分别为､､轴建立空间直角坐标系，如图则，，，，，∵，，，∴，，即，，∵，∴平面；（2）由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的法向量为，而，，则，令，可得，设二面角的平面角为，经观察为锐角，∴，即二面角的余弦值为；（3），平面的法向量为，设点到平面的距离为，∴，即点到平面的距离为.18．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆相交于两点、，且．(1)求椭圆的方程；(2)设点是椭圆上除长轴端点外的任一点，、为左、右焦点，连接、，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知可得，则椭圆的方程可化为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式以及可求出的值，由此可得出椭圆的方程；（2）由角平分线的性质可得出，可求得，求出的取值范围，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】（1）解：因为，且，则，所以，椭圆的方程可化为，联立，消去可得，，可得，设点、，则，，所以，解得：，从而，故所求椭圆的方程为：．（2）解：在椭圆中，，，，则点、，因为的角平分线交椭圆的长轴于点，在点到直线、的距离相等，则，由椭圆的定义可得，所以，，解得，设点，其中，且，所以，，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.19．已知正项数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求的取值范围；（3）若，从数列中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列.【答案】（1）（2）；（3），，，，和，，，，.【分析】（1）利用，求得数列的通项公式.（2）由（1）求得的表达式，然后利用裂项求和法求得的前项和.利用差比较法证得数列递增，进而求得的取值范围.（3）先判断出数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数.然后假设抽出的数列中有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项.进而证得奇数最多有项.由此求得所有满足条件的等差数列.【详解】（1）当时，由，得，得，由，得，两式相减，得，即，即因为数列各项均为正数，所以，所以所以数列是以为首项，为公差的等差数列.因此，，即数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以所以所以令，则所以是单调递增数列，数列递增，所以，又，所以的取值范围为.（3）设奇数项取了项，偶数项取了项，其中，，，.因为数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数.假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数.设抽出的三个偶数从小到大依次为，，，则为奇数，而，，则为偶数，为奇数，所以.又为奇数，而，，则与均为偶数，矛盾．又因为，所以，即偶数只有两项，则奇数最多有项，即的最大值为.设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且.由，得，，此数列为，，，，.同理，若从大到小排列，此数列为，，，，.综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为，，，，和，，，，.【点睛】本小题主要考查已知求，考查裂项求和法，考查数列单调性，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.20．已知函数，．，e为自然对数的底数．（1）如果函数在(0，)上单调递增，求m的取值范围；（2）若直线是函数图象的一条切线，求实数k的值；（3）设，，且，求证：．【答案】（1）（2）1（3）见解析．【分析】（1）依题意h′（x）=ex﹣2mx≥0（0，+∞）上恒成立．即在（0，+∞）上恒成立．即求函数的最小值即可;（2）设切点，则切线方程为则进而得到，令对函数求导得到函数的单调性和零点即可得到k值（3）：要证，只要证，两边同时除以令x2﹣x1=t，t＞0，即证（t﹣2）et+t+2＞0，利用=（t﹣2）et+t+2，（t＞0）单调性即可证明【详解】：（1）， 要使在上单调递增，则在上恒成立.∴，∴，令，当时，，单调递减，当时，，单调递增∴当x=1时，有最小值为，∴（2）∵，∴，设切点为，则∴，令，∴时，，单调递减，当k＞1时，，单调递增∴k＝1时，，∴时，k＝1.∴实数k的值为1.（3）要证只要证，两边同时除以得：，令得：所以只要证：，令∴，，∴即，∴原不等式成立.【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法和函数构造法，本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力，难度较大．求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.