2023-2024学年上海市杨浦区高三上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市杨浦区高三上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析），共21页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（1-6题每小题4分，7-12每小题5分，满分54分）
1．关于x的不等式的解集是 .
2．已知函数，则函数的最小正周期是 .
3．二项式的展开式中，常数项为 ．
4．双曲线两条渐近线的夹角大小是
5．已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，则 .
6．在棱长为1的正方体中，平行平面与间的距离为 .
7．设，是两个单位向量，向量，且，则 .
8．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 ．

9．若，则称与互为“邻位复数”．已知复数与互为“邻位复数”， 则的最大值 ．
10．若函数无极值点，则实数的取值范围是 ．
11．在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则 ．
12．已知函数若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是 ．
二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）
13．已知，下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
14．下列问题中是古典概型的是
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
15．从圆上的一点向圆引两条切线，连接两切点间的线段称为切点弦，则圆内不与任何切点弦相交的区域面积为（ ）
A．B．C．D．
16．数列中，，，使对任意的（k为正整数）恒成立的最大k值为（ ）
A．1209B．1211C．1213D．1215
三、解答题（满分78分）
17．如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点.
(1)求圆柱的表面积；
(2)求二面角的大小.
18．已知数列的前项和为，数列满足，.
(1)证明是等差数列；
(2)是否存在常数、，使得对一切正整数都有成立.若存在，求出、的值；若不存在，说明理由.
19．今年7月28日第5号台风“杜苏芮”在福建登陆，最大风力达到12级.路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成角，树尖C着地处与树根A相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）
(1)若，求：折断前树的高度（结果保留一位小数）
(2)问一辆横截面近似为宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由.
（参考：见图，为救援车的宽，）
20．已知椭圆经过，两点.为坐标原点，且的面积为，过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.且直线，分别与轴交于点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程；
(3)设，，求的取值范围.
21．已知函数，，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)令当，若函数有两个零点，，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，证明.
1．或
【分析】利用分式不等式的解法求解即可.
【详解】因为，
所以，解得或，
所以的解集为或.
故或.
2．
【分析】利用正切函数最小正周期公式即可得解.
【详解】因为，
所以的最小正周期为.
故答案为.
3．
【分析】根据二项展开式的通项公式，即可得到答案；
【详解】，
当时，，
常数项为，
故答案为.
本题考查二项式定理通项公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
4．60°##
【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小.
【详解】双曲线的两条渐近线的方程为，
由直线的斜率为，可得倾斜角为，
的斜率为，可得倾斜角为，
所以两条渐近线的夹角的大小为，
故答案为.
5．
【分析】利用任意角的三角函数的定义求得的值，进而根据二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【详解】因为角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，
所以，
所以．
故．
6．##
【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，再由即可得解.
【详解】依题意，建立空间直角坐标系，如图，
则，
故
设平面的法向量为 ，则，
取，则，所以，
由题意知平面平行于平面，
所以平面与平面间的距离.
故答案为.
7．
【分析】利用向量数量积的运算律求解即可.
【详解】因为，，是两个单位向量，
所以，解得.
故答案为.
8．
【分析】根据茎叶图中的数据，分别利用数据的中位数和平均数的公式，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】由平均数的公式得，甲的平均数为，
乙的平均数为，
因为甲乙的平均数相等，可得，即，
又由甲的中位数为，乙的中位数为，
因为甲乙的中位数相等，可得，解得，
因为，所以，所以.
故答案为.
9．9
【分析】由已知条件与复数模长的计算公式可知，所求表达式表示点到原点的距离的平方，利用两点间距离公式和圆的性质即可求解.
【详解】因为复数与互为“邻位复数”，
所以，故，即，
其表示的是点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
而表示点到原点的距离，
故的最大值为原点到圆心的距离加半径，
即，
所以的最大值为，
故9.

10．
本题首先可根据函数解析式得出导函数，然后根据函数无极值点得出，最后通过计算即可得出结果.
【详解】因为，所以，
因为函数无极值点，
所以，解得，实数的取值范围是，
故答案为.
11．
【分析】取的中点得，，再将用向量表示并结合的最小值为得，即到直线的距离为，再根据几何关系即可求得
【详解】取的中点，取，，
，
因为的最小值，
所以．
作，垂足为，如图，
则，又，所以，
因为，
所以由正弦定理得：，，
所以
．
故答案为.
本题考查向量的数量积运算，正弦定理解三角形，余弦的差角公式等，是中档题.
12．
【分析】求得x≥2时的值域，方法一，只需使x＜2时对应的函数图像在该值域区间上只有一个交点即可，利用数形结合的办法，对参数分类讨论，写出满足的不等式组，求得a的取值范围；方法二：对a分类讨论，求得函数单调性，利用单调性满足只有一个交点，且值域要比上面求的值域要大，来求得参数的取值范围.
【详解】解：【法1】当时，．因为，
而，当且仅当，即时，等号成立，所以的取值范围是．
由题意及函数的图像与性质可得
或 ，如上图所示．解得 或 ，所以所求实数的取值范围是 ．
【法2】
当时，，即，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的取值范围是；
当时，
（1）若，则 （），它是增函数，此时的取值范围是．由题意可得 ，解得 ，又，所以 ；
（2）若，则．函数在上是增函数，此时的取值范围是；而函数在上是减函数，此时的取值范围是．由题意可得 ，解得，又 ，所以 ．
综上，所求实数的取值范围是 ．
故[-1,5).
关键点点睛：数形结合将函数值问题转化为交点问题，值域范围问题，对参数分类讨论，借助单调性求解问题.
13．B
【分析】对于选项ACD，通过取特殊值即可排除，对选项B，利用不等式的性质可判断出选项是正确的，从而得出结果.
【详解】对于选项A，因为，满足，但不满足，所以选项A错误；
对于选项B，因为，由不等性质，同向可加性知成立，所以选项B正确；
对于选项C，因为，满足，但不满足，所以选项C错误；
对于选项D，因为，满足，但不满足，所以选项D错误，
故选：B.
14．D
【详解】A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；C项中基本事件的个数是无限多个；D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．故选D．
【考点】古典概型的判断．
15．B
【分析】由题画出大致图象，由切点弦找出临界点D，结合圆的面积公式即可求解.
【详解】
如图所示，设为上一点，为圆与的两条切线，为切点弦，因切点弦有无数条，当无数条切点弦交汇时，圆内不与任何切点弦相交的区域恰好构成虚线部分圆的面积，，则，由等面积法得，解得，又对由勾股定理可得，则以为半径的圆的面积为，故圆内不与任何切点弦相交的区域面积为.
故选：B
16．B
【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，判断到哪一项是等于，即可得答案.
【详解】由已知可得，数列：，
可得规律为；；；此时将原数列分为三个等差数列：
，；
，；
;
因为，
所以满足对任意的恒成立的最大值为．
故选：B.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由勾股定理可求得底面圆的半径，分别求得圆柱的侧面积和底面积，进而可求得表面积；
（2）方法一：连接，可证得，则可得所求二面角的平面角为，根据长度关系可得结果；
方法二：以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1），，，
底面圆的半径，圆柱的侧面积为，
又圆柱的底面积为，圆柱的表面积.
（2）方法一：连接，
平面，平面，；
，即，，平面，
平面，又平面，；
即为二面角的平面角，
，，，，
即二面角的大小为.
方法二：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
轴平面，是平面的一个法向量，
，
由图形可知：二面角为锐二面角，
二面角的大小为，即.
18．(1)证明见解析
(2)存在，，
【分析】（1）根据求出的通项公式，再根据等差数列的定义证明即可；
（2）根据题意可求得，，代入中得，只需满足以即可，从而求解的值即可.
【详解】（1）因为数列的前项和为，
所以当时，，
当时，，
所以，满足，
所以数列的通项公式为，，
所以，，
所以是等差数列；
（2）因为，，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
所以，
要使对一切正整数都有成立．
即，
即，
所以，解得 .
故存在常数，当时，对一切正整数都有成立.
19．(1)11.2米.
(2)救援车不能从此处通过，理由见解析
【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解；
（2）设，利用三角函数的恒等变换得到关于的关系式，结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】（1）解：在中，，，
所以，
由正弦定理，得.
又，
所以
米.
所以折断前树的高度11.2米；
（2）设的内接矩形的边在上且，设，
因为，，所以，
所以，
所以，
则
，
因为，所以
所以，所以
因为，所以救援车不能从此处通过.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把点坐标代入椭圆的方程得，由的面积可得，解得，进而得椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，，．联立直线与椭圆的方程的关于的一元二次方程，由，进而解得的取值范围，再列出韦达定理，由，则，即可求出，从而得解；
（3）因为，，，，写出直线的方程，令，解得．点的坐标为．同理可：点的坐标为．用坐标表示，，，代入，得，同理．由，，代入，化简再求取值范围．
【详解】（1）因为椭圆经过点，
所以解得（负值舍去）．
由的面积为可知，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，，．
联立，消整理可得．
因为直线与椭圆有两个不同的交点，
所以，解得，
因为，所以的取值范围是，
所以，，
则
，
因为以为直径的圆经过坐标原点，所以，
则，即，解得（负值舍去），
所以直线的方程为.
（3）因为，，，，
所以直线的方程是：，
令，解得，所以点的坐标为．
同理可得点的坐标为．
所以，，．
由，，
可得，，
所以，
同理，
由（2）得，
所以
，
因为，所以，所以，
则，所以，
所以的范围是．
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21．(1)
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）先求导，利用导数可得切线斜率，由点斜式方程可得；
（2）利用导数讨论单调性及极值，最值，找到不等式，解不等式，求出实数a的取值范围；
（3）构造差函数，证明极值点偏移问题.
【详解】（1）定义域为，，
所以切线斜率为，
又，所以切线方程为，即.
（2），
定义域为，，
①当时，有恒成立，在上单调递增，
函数不可能有两个零点；
②当时，由，解得，由，解得，
故函数在上递增，在上递减．
因为，
故，
设，，
则，当时，，当时，，
函数在上递增，在上递减，故在处取得极大值，也是最大值，，所以，故，
即
，
取，则.
因此，要使函数且两个零点，只需，
即，化简，得，
令，因为，
所以函数在上是单调递增函数，
又，故不等式的解为，
因此，使求实数a的取值范围是.
（3）因为，所以，
根据（2）的结果，不妨设，则只需证明，
因为在时单调递增，且，，
于是只需证明，
因为，所以即证，
记，，
，
所以在单调递增，则，
即证得，原命题得证.
关键点睛：极值点偏移问题，可以通过构造差函数进行解决，也可以变多元为多元求解，利用对数平均不等式也能解决，选择哪种方案，需要结合函数特点进行选择.