山东省烟台市牟平区2022届九年级上学期期中教学质量检测数学试卷(含答案)

2021—2022学年度第一学期期中质量检测

初四数学试题

说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡．

一、选择题：（本题共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．）

1. 计算的值为（    ）

A.  B. -2 C.  D. 1

2. 已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是（  ）

A.  B.  

C.  D.

3. 把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线是（    ）

A  B.  

C.  D.

4. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则 BC 的长是(     )

A.  B. 4 C. 8 D. 4

6. 由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线对称，根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是（    ）

A. 过点(3，0) B. 顶点是(-2，2)

C. 在轴上截得的线段的长是2 D. 与轴的交点是(0，3)

7. 如一次函数与反比例函数 的图像如图所示，则二次函数的大致图象是    （  ）

A.  B.  

C.  D.

8. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为(    )

A.  B.  

C.  D.

9. 如图,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（  ）

A. 2m B. 2m 

C. (2﹣2)m D. (2﹣2)m

10. 如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（　　）

A. m B. m 

C. m D. m

11. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，．对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根，其中正确的有（    ）

A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

12. 如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一动点（点与点不重合），以为边作正方形，设，正方形与重合部分（阴影部分）的面积为，则下列能大致反映与的函数关系的图象是（  ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题（每题3分，共18分）

13. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是__________．

14. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为______s．

15. 将抛物线向左平移_______个单位后经过点．

16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=_____．

17. 当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是_______．

18. 已知关于x二次函数y＝ax2+(a2﹣1)x﹣a的图象与x轴的一个交点坐标为(m，0)．若﹣4＜m＜﹣3，则a的取值范围是_____．

三、解答题（满分66分）

19. 某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，人民路AB与桥BC垂直．某校数学小组进行研学活动时，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝628m，AB＝400m，求出点D到AB的距离，（结果保留整数，参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

20. 已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.

(1)求k的值：

(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标.

21. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．

（1）求BC的长；

（2）求tan∠DAE的值．

22. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．

(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；

(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？

23. 如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网络信号塔，数学兴趣小组的同学在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡攀行了26米到达坡顶，在坡顶A处又测得该塔的塔顶的仰角为76°．求：

（1）坡顶A到地面的距离；

（2）网络信号塔的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，）

24. 有一个二次函数满足以下三个条件：

①函数图象与x轴的交点坐标分别为A(1，0)，B(，)（点B在点A的右侧）；

②对称轴是x=3；

③该函数有最小值是-2．

（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；

（2）将该函数图象部分图象向下翻折（翻折前后的图像关于轴对称）与原图象未翻折的部分组成图象“”，平行于轴的直线与图象“”相交于点、、，结合画出的函数图象求的取值范围．

25. 如图，抛物线的图象过点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

1-12 ADCBB  BABBC  AC

13. 20

14. 5

15. 3

16.

17.

18. 或 

19. 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，过D作DF⊥BC于点F，则四边形EBFD是矩形，

设DE＝x m，

在Rt△ADE中，∠AED＝90°，

∵tan∠DAE＝，

∴AE＝≈，

∴BE＝400－，

又BF＝DE＝x m，

∴CF＝m，

在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝45°，

∴DF＝CF＝m，

又BE＝DF，即400－＝628﹣x，

解得x＝428,

答：点D到AB的距离约是428m．

20. (1)∵抛物线y=x2+(k2+k－6)x+3k的对称轴是y轴，

∴，

即k2+k－6=0，

解得k=－3或k=2，

当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去，

当k=－3时，二次函数解析式为y=x2－9，它的图象与x轴有两个交点，满足题意，

∴k=－3；

(2)∵P到y轴的距离为2，

∴点P横坐标为－2或2，

当x=2时，y=－5；

当x=－2时，y=－5，

∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5).

21. 解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，

∴∠ADB=∠ADC=90°．

在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，

∴DC=AD=1．

在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1，

∴．

∴．

∴．

（2）∵AE是BC边上中线，∴CE=BC=．

∴DE=CE﹣CD=．

∴．

22. 解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]

=（x﹣50）（﹣5x+550）

=﹣5x2+800x﹣27500，

∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；

（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500，

∵a=﹣5＜0，

∴抛物线开口向下．

∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，

∴当x=80时，y最大值=4500；

（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，

解得x1=70，x2=90．

∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．

23. 【小问1详解】

如图，过点A作，垂足为点，

∵斜坡的坡度为，

∴，

设米，则米，由勾股定理，得：米，

∴，解得，

∴米，

答：坡顶A到地面的距离为10米；

【小问2详解】

延长交于点，

∵，，

∴，

∴四边形是矩形，米，．

∵，

∴．

设米，

由（1）可求出米，

∴，即，

∴米，

在中，，即．

解得．

答：网络信号塔的高度约为18.7米．

24. 【小问1详解】

解：由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，-2），

设二次函数的表达式为：．

∵该函数图象经过点A（1，0），

∴，

解得a=，

∴二次函数解析式为：；

【小问2详解】

解：∵A(1，0)，对称轴是x=3，

∴B(5，0)，

如图所示：

由已知条件可知直线与图形“G”要有三个交点，

当直线与x轴重合时，有2个交点，由二次函数的轴对称性得=1+5=6，

∴=1+5+5＞11；

当直线过的图象顶点时，有2个交点，

由翻折可以得到翻折后的函数图象为，

∴令时，

解得x=3+2或x=3-2（舍去），

∴=3+3+3+2＜9+2．

综上所述11＜＜9+2．

25. 解：（1）∵抛物线与x轴交于点

∴可设交点式

把点代入得：

∴抛物线解析式为

（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．

如图1，连接PB、BC

∵点P在抛物线对称轴直线上，点A、B关于对称轴对称

∵当C、P、B在同一直线上时，最小

最小

设直线BC解析式为

把点B代入得：，解得：

∴直线BC：

∴点使的周长最小，最小值为．

（3）存在满足条件的点M，使得．

∵

∴当以PA为底时，两三角形等高

∴点C和点M到直线PA距离相等

∵M在x轴上方

，设直线AP解析式为

     解得：

∴直线

∴直线CM解析式为：

解得：（即点C），

∴点M坐标为