第3章 一元一次方程 初中数学人教版七年级上册章末检测卷(含答案)

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第3章一元一次方程
章末检测卷01
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
首先理解题意找出题中存在的等量关系：成本价×(1+40%)×80%=售价240元，根据此列方程即可．
【详解】
设这件商品的成本价为x元，成本价提高40%后的标价为x(1+40%)，再打8折的售价表示为x(1+40%)×80%，又因售价为240元，
列方程为：x(1+40%)×80%=240,
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解此题的关键是理解成本价、标价、售价之间的关系及打8折的含义．
2．书店有书x本，第一天卖了全部的，第二天卖了余下的，还剩(　　)本．
A．x- B．x-
C．x- D．x-
【答案】D
【分析】






根据书店有书x本，第一天卖出了全部的，求出第一天还余下的本数，再根据第二天卖出了余下的，即可求出剩下的本数．
【详解】
∵书店有书x本，第一天卖出了全部的，
∴第一天还余下(x−x)本，
∵第二天卖出了余下的，
∴还剩下x −x− (x−x)本；
故选D.
【点睛】
本题考查列代数式.
3．已知a＝b，下列变形正确的有（　　）个．
①a+c＝b+c；②a﹣c＝b﹣c；③3a＝3b；④ac＝bc；⑤．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】
运用等式的基本性质求解即可．①、②根据等式性质1判断，③、④、⑤根据等式的性质2判断，要注意应用等式性质2时，等式两边同除以一个数时必须具备该数不等于零这一条件.
【详解】
解：已知a＝b，
①根据等式性质1，两边同时加上c得：a+c＝b+c，故①正确；
②根据等式性质1，两边同时减去c得：a﹣c＝b﹣c，故②正确；
③根据等式的性质2，两边同时乘以3，3a＝3b，故③正确；
④根据等式的性质2，两边同时乘以c，ac＝bc，故④正确；
⑤因为c可能为0，所以与不一定相等，故⑤不正确．
故选B．
【点睛】
本题考查等式的性质，选择相应的基本性质作依据是解题关键.要注意应用等式基本性质2时，等式两边同除以一个数时必须具备该数不等于零这一条件.
4．已知x＝y，则下列等式不一定成立的是（　　）
A．x﹣k＝y﹣k B．x+2k＝y+2k C． D．kx＝ky
【答案】C
【分析】
根据等式的基本性质1是等式两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式可以得出答案．
【详解】
解：A、因为x=y，根据等式性质1，等式两边都减去k，等式仍然成立，所以A正确；
B、因为x=y，根据等式性质1，等式两边都加上2k，等式仍然成立，所以B正确；
C、因为x=y，根据等式性质2，等式两边都同时除以一个不为0的数，等式才成立，由于此选项没强调k≠0，所以C不一定成立；
D、因为x=y，根据等式的基本性质2，等式两边都乘以k，等式仍然成立，所以D正确．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质以及理解到位除数不能为０是解决本题的关键．
5．若x=-3是方程的解，则的值是（）
A．6 B．－6 C．12 D．－12
【答案】B
【分析】
把x=-3，代入方程得到一个关于m的方程，即可求解．
【详解】
解：把x=-3代入方程得：2（-3-m）=6，
解得：m=-6．
故选：B．
【点睛】
本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．
6．下列等式变形正确的是（　　）
A．如果，那么
B．如果，那么x=3
C．如果mx=my，那么x=y
D．如果x﹣3=y﹣3，那么x﹣y=0
【答案】D
【分析】
根据等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立，可得答案．
【详解】
A、如果，那么，故A错误；
B、如果，那么x=12，故B错误；
C、当m=0时，错误；
D、等式的两边都加3后移项，故D正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握性质1、等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题关键．
7．下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元一次方程有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次幂为1的整式方程进行判断即可．
【详解】
是分式方程，故①不符合题意；
是一元一次方程，故②符合题意；
是一元一次方程，故③符合题意；
是一元二次方程，故④不符合题意；
是一元一次方程，故⑤符合题意；
是二元一次方程，故⑥不符合题意．
故选：B
【点睛】
本题考查的是一元一次方程的判断，掌握一元一次方程的定义是关键．
8．运用等式的性质变形，正确的是（）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果那么
【答案】B
【分析】
根据等式的基本性质进行判断即可．
【详解】
如果，那么，故A错误；
如果，那么，故B正确；
如果，那么（c≠0），故C错误；
如果那么，故D错误．
故选：B
【点睛】
本题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是关键，需要注意的是，在等式的两边除以一个相同的数（或代数式）时，这个数（或代数式）不能为0．
9．下列方程中，是一元一次方程的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．
【详解】
解：A、最高项的次数是2，故不是一元一次方程，选项不符合题意；
B、正确，符合题意；
C、含有2个未知数，故不是一元一次方程，选项不符合题意；
D、不是整式方程，故不是一元一次方程，选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
10．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】
根据等式的性质，逐项判断即可．
【详解】
解：A、根据等式性质2，a（x2+1）=b（x2+1）两边同时除以（x2+1）得a=b，原变形正确，故这个选项不符合题意；
B、根据等式性质2，a=b两边都乘c，即可得到ac=bc，原变形正确，故这个选项不符合题意；
C、根据等式性质2，c可能为0，等式两边同时除以c2，原变形错误，故这个选项符合题意；
D、根据等式性质1，x=y两边同时减去3应得x-3=y-3，原变形正确，故这个选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了等式的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
11．图①为一正面白色、反面灰色的长方形纸片．今沿虚线剪下分成甲、乙两长方形纸片，并将甲纸片反面朝上粘贴于乙纸片上，形成一张白、灰相间的长方形纸片，如图②所示．若图②中白色与灰色区域的面积比为8∶3，图②纸片的面积为33，则图①纸片的面积为（　　）

A． B． C．42 D．44
【答案】C
【详解】
解：设每一份为x，则图②中白色的面积为8x，灰色部分的面积为3x，由题意，得
8x+3x=33，解得：x=3，∴灰色部分的面积为：3×3=9，∴图（①）纸片的面积为：33+9=42．
故选C．
【点睛】
本题考查了比列问题在解实际问题中的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据条件建立方程求出灰色部分的面积是关键．
12．如图，长方形ABCD中，，，点P从A出发，以的速度沿运动，最终到达点C，在点P运动了3秒后点Q开始以的速度从D运动到A，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当的面积为时，t的值为（）

A．2或 B．2或 C．1或 D．1或
【答案】A
【分析】
首先分P运动了3秒以内和3秒以后两种情况，分别结合速度和距离的关系列出等式，从而完成求解．
【详解】
四边形ABCD是矩形
，
当点P在AB边时

此时点Q还在点D处，
∴
∴；
3秒后，点P在BC上
∴
∴
∴
∴当的面积为时，t的值为2或．
故选A．
【点睛】
本题考察了矩形、一元一次方程、三角形面积计算等知识；求解的关键是熟练掌握矩形、一元一次方程的性质，并运用到实际问题的求解过程中，即可得到答案．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．轮船沿江从 A 港顺流行驶到 B 港，比从 B 港返回 A 港少用 3 小时，若船速为 26 千米/小时，水速为 2 千米/时，则 A 港和 B 港相距_____千米．
【答案】
【分析】
轮船航行问题中的基本关系为：（1）船的顺水速度=船的静水速度+水流速度；（2）船的逆水速度=船的静水速度一水流速度．若设A港和B港相距x千米，则从A港顺流行驶到B港所用时间为小时，从B港返回A港用小时，根据题意列方程求解．
【详解】
解：设A港和B港相距x千米，
根据题意，得+3=，
解之得x=504．
故答案为：504．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，考验学生对顺水速度，逆水速度的理解，注意：船的顺水速度、逆水速度、静水速度、水流速度之间的关系．
14．某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价100%，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能是原价的10%，则该药品现在降价的幅度是_____%．
【答案】45．
【解析】
【分析】
设进价为a，则提价后售价为a（1+100%）＝2a，现在的降价幅度为x%，等量关系为：提价后的价格×（1-x）=降价后的价格．
【详解】
解：设进价为a，则提价后售价为a（1+100%）＝2a，现在的降价幅度为x%，根据题意得：
2a（1﹣x%）＝a（1+10%），
解得：x＝45．
故答案为45．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，题中的百分数很多，充分理解这些百分数的含义是解题的关键．
15．一个“数值转换机”按如图的程序计算，例如：输入的数为36，则经过一次运算即可输出结果106．若输出的结果127是经过两次运算才输出的，则输入的数是_____．

【答案】15
【分析】
根据题中的“数值转换机”计算即可求出所求．
【详解】
解：根据题意得：3x﹣2＝127，
解得：x＝43，
可得3x﹣2＝43，
解得：x＝15，
则输入的数是15，
故答案为15
【点睛】
考核知识点：解一元一次方程.理解程序意义是关键.
16．我们规定:若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如:方程的解为，而，则方程为“和解方程"．请根据上述规定解答下列问题:(1)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，则的值为________．(2)己知关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，则的值为_________．
【答案】，，
【分析】
（1）根据“和解方程“的定义得出，再将其代入方程之中进一步求解即可；
（2）根据“和解方程“的定义得出，结合方程的解为进一步得出，然后代入原方程解得，之后进一步求解即可.
【详解】
（1）依题意，方程解为，
∴代入方程，得，
解得：，
故答案为：；
（2）依题意，方程解为，
又∵方程的解为，
∴，
∴，
∴把，代入原方程得：，
解得：
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的求解，根据题意准确得知“和解方程”的基本性质是解题关键.

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）
某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利=售价-进价）

甲
乙
进价（元/件）
22
30
售价（元/件）
29
40
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
【答案】（1）购进甲种商品150件、乙种商品90件；（2）1950元；（3）8.5折
【分析】
（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据单价×数量=总价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据总利润=单件利润×销售数量，列式计算即可求出结论；
（3）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，
根据题意得：22x+30=6000，
解得：x=150，
∴=90，
答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件．
（2）（29-22）×150+（40-30）×90=1950（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元．
（3）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，
根据题意得：（29-22）×150+（40×-30）×90×3=1950+180，
解得：y=8.5．
答：第二次乙商品是按原价打8.5折销售．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据总利润=单件利润×销售数量列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
18.（12分）
一批皮鞋，按成本加5成作为售价，后因季节性原因，按原售价的七五折降低价格出售，降价后的新售价是每双63元，问这批皮鞋每双的成本价是多少元按降价后的新售价每双还可赚多少元？
【答案】成本价是56元，按降价后的新售价每双还可赚7元.
【分析】
若设成本价为x元，则成本加5成后的售价为（1+50%）x元，再按七五折后的售价为0.75（1+50%）x元，根据降价后的新售价是每双63元即可得方程0.75（1+50%）x=63，解方程求得x的值，根据盈利=售价-进价即可求得答案.
【详解】
设成本价为x元，则成本加5成后的售价为（1+50%）x元，再按七五折后的售价为0.75（1+50%）x元．
根据题意得：0.75（1+50%）x=63，
解得：x=56，
所以成本价是56元，按降价后的新售价每双还可赚7元．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解决问题时弄清加五成和七五折这些概念．
19.（12分）
某商场计划拨款万元从厂家购进台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元．
若商场同时购进其中两种不同型号的电视机台，用去万元，请你研究一下商场的进货方案；
若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利元，元，元，在以上的方案中，为使获利最多，商场应选择哪种进货方案？
【答案】有种方案．方案一：甲种台，乙种台；方案二：甲种台，丙种台；购买甲种电视机台，丙种电视机台获利最多．所以应选择方案二．
【分析】
（1）可分甲、乙，甲、丙和乙、丙三种方案，分别列式求解，再根据实际意义取舍即可；
（2）分别求出方案一和方案二的利润，通过比较两个方案利润的大小即可得解.
【详解】
（1）①设购进甲台，乙台，
；
∴ ；
∴ 购进甲台，乙台．
②设购进甲台，丙台
；
∴ ；
购进甲台，丙台．
③设购进乙台，丙台
；
∴ （舍）
所以选择有种方案．方案一：甲种台，乙种台；
方案二：甲种台，丙种台；
（2）利润应为：方案一：元，
方案二：元，
∵ 元元，∴ 方案二获利多，
购买甲种电视机台，丙种电视机台获利最多．所以应选择方案二．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
20.（12分）
如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板，一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块小正方形以及另两块长方形的纸板，恰好拼成一个大正方形，求大正方形的面积.

【答案】大正方形的面积是36cm2
【分析】
设小正方形的边长为x，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小正方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积．
【详解】
设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为4＋（5−x）cm或（x＋1＋2）cm，
根据题意得：4＋（5−x）＝（x＋1＋2），
解得：x＝3，
∴4＋（5−x）＝6，
∴大正方形的面积为36cm2．
答：大正方形的面积为36cm2．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长．
21.（12分）
如图，数轴上A，B，C三点对应的数分别是a，b，14，满足，动点P从A点出发，沿数轴以每秒2个单位长度匀速向右运动，同时动点Q从C点出发，沿数轴以每秒1个单位长度匀速向左运动，设运动时间为t．
则______，______．
当P点运动到数2的位置时，Q点对应的数是多少？
是否存在t的值使，若存在求出t值，若不存在说明理由．

【答案】（1）-4，8；（2）Q点对应的数是11；（3）存在，t的值为6或18．
【分析】
根据数形结合即可求出a，b的值；根据P，Q两点运动时间相等和各自的速度，即可求出Q点对应的数；要讨论P点在C点的左边和P点过了C点在C点的右边两种情况，根据到C点的距离相等即可列出方程，解出t的值．
【详解】
解：，，；
，，；
故答案为：；8
秒，．故Q点对应的数是11；
在C点的左边，则，解得；
P在C点的右边，则，解得．
综上所述，t的值为6或18．
故答案为：6；18．
【点睛】
本题主要考查了有理数，一元一次方程等知识点，利用数形结合思想准确找出等量关系是解题关键．
22.（12分）
某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20只），现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每只70元，A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架，B超市的优惠政策为所有商品八折，设购买书架a只．
(1)若该校到同一家超市选购所有商品，则到A超市要准备_____元货款，到B超市要准备_____元货款（用含a的式子表示）；
(2)在（1）的情况下，当购买多少只书架时，无论到哪一家超市所付货款都一样？
(3)假如你是本次购买的负责人，学校想购买20张书柜和100只书架，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使付款额最少，最少付款额是多少？
【答案】（1）（70a+2800），（56a+3360）；（2）购买40只书架时，无论到哪家超市所付货款都一样；（3）第三种方案（到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架）所付款额最少，最少付款额为8680元．
【分析】
（1）根据A、B两个超市的优惠政策即可求解；
（2）由（1）和两家超市所付货款都一样可列出方程，再解即可；
（3）去A超市买、去B超市买和去A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架，三种情况讨论即可得出最少付款额．
【详解】
（1）根据题意得A超市所需的费用为：20×210+70（a﹣20）=70a+2800
B超市所需的费用为：0.8×（20×210+70a）=56a+3360
故答案为：（70a+2800），（56a+3360）
（2）由题意得：70a+2800=56a+3360
解得：a=40，
答：购买40只书架时，无论到哪家超市所付货款都一样．
（3）学校购买20张书柜和100只书架，即a=100时
第一种方案：
到A超市购买，付款为：20×210+70（100﹣20）=9800元
第二种方案：
到B超市购买，付款为：0.8×（20×210+70×100）=8960元
第三种方案：
到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架，
付款为：20×210+70×（100﹣20）×0.8=8680元．
因为8680＜8960＜9800
所以第三种方案（到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架）所付款额最少，最少付款额为8680元．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．