第3章 一元一次方程 初中数学人教版七年级上册章末测试(含答案)

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第3章一元一次方程
章末检测卷02
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列各式运用等式的性质变形，错误的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】
根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】
解：A．当c＝0时，由ac＝bc不能推出a＝b，故本选项符合题意；
B．∵﹣a＝﹣b，
∴两边同时乘以﹣1得：a＝b，故本选项不符合题意；
C．∵，
∴两边同时乘以c得：a＝b，故本选项不符合题意；
D．∵（m2+1）a＝（m2+1）b，且m2+1＞0，
∴两边同时除以m2+1得：a＝b，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了等式的性质，注意：等式的性质是：①等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式子，等式仍成立；②等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为零的数，等式仍成立．
2．若代数式和互为相反数，则x的值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据相反数的定义，列出关于x的一元一次方程，即可求解．
【详解】
∵和互为相反数，
∴+=0，解得：x=，
故选D．
【点睛】
本题主要考查相反数的定义以及一元一次方程，掌握解一元一次方程，是解题的关键．
3．解方程时，去分母、去括号后，正确的结果是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
对原方程按要求去分母，去括号得到变形后的方程，再和每个选项比较，选出正确选项．
【详解】
，
去分母，两边同时乘以6为：
去括号为：．
故选：C．
【点睛】
此题考查解一元一次方程的去分母和去括号，注意去分母是给方程两边都乘以分母的最小公倍数；去括号时，括号前是负号括在括号内的各项要变号．
4．一项工程甲单独做需要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作天完成这项工程，则可列的方程是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可知，甲每天做整个工程的，乙每天做整个工程的，根据量关系，甲单独完成的部分＋两人共同完成的部分=1，根据等量关系列出方程，选出正确答案即可．
【详解】
解：设两人合作天完成这项工程，根据题意可列的方程：

故选：D．
【点睛】
本题考查一元一次方程的运用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题关键．
5．解方程，去分母，得（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
方程两边同时乘以6，去分母，再去括号，注意负号的作用．
【详解】
去分母：

故选：C．
【点睛】
本题考查解一元一次方程之去分母，其中涉及去括号等知识，是重要考点，难点较易，掌握相关知识是解题关键．
6．下列方程：①3x﹣y＝2：②x++2＝0；③＝1；④x＝0；⑤3x﹣1≥5：⑥x2﹣2x﹣3＝0；⑦x．其中一元一次方程有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【详解】
解：下列方程：①3x﹣y＝2：②x++2＝0；③＝1；④x＝0；⑤3x﹣1≥5：⑥x2﹣2x﹣3＝0；⑦x．其中一元一次方程有③④⑦，共3个．
故选：C．
7．已知是方程的解，则的值为（）
A．0 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】
此题可先把x=-2代入方程然后求出a的值，再把a的值代入a2+a-6求解即可．
【详解】
解：将x=-2代入方程5x+12= ；
得：-10+12=-1-a；
解得：a=-3；
∴a2+a-6=0．
故选：A．
【点睛】
此题考查的是一元一次方程的解，先将x的值代入方程求出a的值，再将a的值代入a2+a-6即可解出此题．
8．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（　　）
A．若a＝b，则
B．若a＝b，则ac＝bc
C．若a（x2+1）＝b（x2+1），则a＝b
D．若x＝y，则x﹣3＝y﹣3
【答案】A
【分析】
通过等式的基本性质判断即可；
【详解】
解：∵若a＝b，只有c≠0时，成立，
∴选项A符合题意；
∵若a＝b，则ac＝bc，
∴选项B不符合题意；
∵若a（x2+1）＝b（x2+1），则a＝b，
∴选项C不符合题意；
∵若x＝y，则x﹣3＝y﹣3，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了等式的基本性质，准确计算是解题的关键．
9．晚上七点刚过，小强开始做数学作业，一看钟，发现此时时针和分针在同一直线上；做完数学作业八点不到，此时时针和分针又在同一直线上，则小强做数学作业花了多少时间（）
A．30分钟 B．35分钟 C．分钟 D．分钟
【答案】D
【分析】
由题意知，开始写作业时，分针和时针组成一平角，写完作业时，分针和时针重合.
设小强做数学作业花了x分钟，根据分针追上时针时多转了180°列方程求解即可.
【详解】
分针速度：30度÷5分=6度/分；时针速度：30度÷60分=0.5度/分.
设小强做数学作业花了x分钟，由题意得
6x-0.5x=180,
解之得
x= .
故选D.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用---追击问题，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
10．如图，正方形ABCD的边长是2个单位，一只乌龟从A点出发以2个单位/秒的速度顺时针绕正方形运动，另有一只兔子也从A点出发以6个单位/秒的速度逆时针绕正方形运动，则第2018次相遇在（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【解析】
【分析】
因为乌龟的速度是2个单位/秒，兔子的速度是6个单位/秒，正方形ABCD的边长为2，所以第1次相遇，乌龟走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次乌龟走了正方形周长的相遇一次，从而不难求得它们第2018次相遇位置．
【详解】
解：根据题意分析可得：乌龟的速度是2个单位/秒，兔子的速度是6个单位/秒，正方形ABCD的边长为2，所以第1次相遇，乌龟走了正方形周长的；
从第2次相遇起，每次乌龟走了正方形周长的相遇一次，从第1次相遇起，4次一个循环，
因此可得：从第1次相遇起，每次相遇的位置依次是：D，C，B，A依次循环．
故它们第2018次相遇位置在C上．
故答案为C．
【点睛】
此题考查了正方形的性质以及规律型中点的坐标，找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的是解题的关键．
11．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2小时，若船速为26千米/时，水速为3千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
轮船沿江从A港顺流行驶到B港，则由B港返回A港就是逆水行驶，由于船速为26千米/时，水速为3千米/时，则其顺流行驶的速度为26+3=29千米/时，逆流行驶的速度为：26-3=23千米/时．根据“轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2小时”，得出等量关系：轮船从A港顺流行驶到B港所用的时间=它从B港返回A港的时间-2小时，据此列出方程即可．
【详解】
解：设A港和B港相距x千米，可得方程：

故选A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．
12．日历中同一竖列相邻三个数的和不可能是(　　)
A．78 B．26 C．21 D．45
【答案】B
【分析】
因为日历上同一列的数都相对于前一个数相差7，所以设第二个数为x，则第一个数、第三个数分别为x-7、x+7，求出这三个数的和，发现其和为3的倍数，对照选项即可求解．
【详解】
设日历中同一竖列相邻三个数的第二个数为x，则第一数为x−7，第三个数为x+7，
∴三个数的和为：x+(x−7)+(x+7)=3x，
即：这三个数的和为3的倍数，
∵78，21，45是3的倍数，而26不是3的倍数，
∴日历中同一竖列相邻三个数的和不可能是26.
故选B.
【点睛】
本题考查了列代数相关知识.通过观察日历中的数字，并得出之间的数量关系是解题的关键
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．当__________时，方程解是？
【答案】1
【分析】
将代入方程，再解一元一次方程即可．
【详解】
由题意，将代入得：
两边同乘以6得
去括号得
移项、合并同类项得
系数化为1得
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了方程的解、解一元一次方程，掌握方程的解法是解题关键．
14．若关于的方程是一元一次方程，则______________．
【答案】0
【分析】
根据一元一次方程的定义可得关于k的方程，解方程即可求出k，再结合一次项系数不为0解答即可．
【详解】
解：根据题意，得：且，解得：k=0．
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的定义，属于基础概念题型，熟知一元一次方程的概念是解题关键．
15．一个两位数的个位上的数字是a，十位上的数字比个位上的数字大1，则这个两位数是______．
【答案】11a+10
【解析】
【分析】
两位数=10×十位数字+个位数字，把相关数值代入化简即可．
【详解】
∵个位上的数字是a，十位上的数字比个位上的数字大1，
∴十位上的数字为a+1，
∴这个两位数可表示为 10×（a+1）+a=11a+10．
故答案为11a+10．
【点睛】
考查列代数式，知道两位数的表示方法是解决本题的关键．
16．世界读书日，新华书店矩形购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律八折；③一次性购书200元以上一律打六折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款190.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是_____元．
【答案】224或272．
【分析】
设小丽第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元，分x≤、＜x≤、＜x≤100及x＞100四种情况，找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
设小丽第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元，根据题意，分四种情况讨论：
①当3x≤100，即x≤时，x+3x=190.4，解得：x=47.6（舍去）；
②当100＜3x≤200，即＜x≤时，x+0.8×3x=190.4，解得：x=56，∴x+3x=224；
③当3x＞200且x≤100，即＜x≤100时，x+0.6×3x=190.4，解得：x=68，∴x+3x=272；
④当x＞100时，0.8x+0.6×3x=190.4，解得：x≈73.23（舍去）．
综上所述：小丽这两次购书原价的总和是224元或272元．
故答案为224或272．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，分x≤、＜x≤、＜x≤100及x＞100四种情况，列出关于x的一元一次方程是解题的关键
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）
根据下列问题，列出方程，不必求解．
（1）把若干本书发给学生，如果每人发4本，还剩下2本；如果每人发5本，还差5本，问共有多少学生？
（2）某班50名学生准备集体去看电影，电影票中有15元的和20元的，买电影票共花880元，问这两种电影票各买几张？
（3）足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打14场比赛负5场，共得19分，那么这个队胜了多少场？
【答案】（1）4x+2＝5x﹣5；（2）15x+20（50﹣x）＝880；（3）3x+1×（14﹣5﹣x）+0×5＝19
【详解】
解：（1）设共有x名学生，
4x+2＝5x﹣5；
（2）设票价为15元的x张，则票价为20元的（50﹣x）张，
15x+20（50﹣x）＝880；
（3）设这个队胜了x场，
3x+1×（14﹣5﹣x）+0×5＝19．
18.（12分）
公园门票价格规定如下表：
购票张数
张
张
100张以上
每张票的价格
13元
11元
9元
某校初一（1）、（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班人数较少，不足50人．经估算，若两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：
（1）两班各有多少学生？
（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
（3）如果初一（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？
【答案】（1）初一（1）班的人数为48人，初一（2）班的人数为56人；（2）可省304元；（3）购买51张门票时最省钱．
【分析】
（1）设初一（1）班的人数为x人，则初一（2）班的人数为（104-x）人，然后根据题意可列方程求解；
（2）由表格可得两班联合起来买票的金额，然后进行比较即可；
（3）由题意及表格可直接进行求解．
【详解】
解：（1）设初一（1）班的人数为x人，则初一（2）班的人数为（104-x）人，由题意得：
，
解得：，
∴初一（2）班的人数为：（人）；
答：初一（1）班的人数为48人，初一（2）班的人数为56人．
（2）由表格及题意可得：
两班联合起来的票钱为：（元），
∴1240-936=304（元）；
答：作为一个团体购票可省304元．
（3）由（1）得：初一（1）班的人数为48人，由表格可得：
当以48人去购票时，则需花费48×13=624（元）；
当以51人去购票时，则需花费51×11=561（元）；
答：购买51张门票时最省钱．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键
19.（12分）
节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价：
每户每月用水量
水费价格（单位：元/立方米）
不超过22立方米
2.3
超过22立方米且不超过30立方米的部分
a
超过30立方米的部分
4.6
（1）若小明家去年1月份用水量是20立方米，他家应缴费______元
（2）若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，请求出用水在22～30立方米之间的收费标准a元/立方米？
（3）在（2）的条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的月水量是多少立方米？
【答案】（1）46；（2）3.45；（3）32
【分析】
（1）因为20立方米不超过22立方米，所以直接按2.3元计算即可；
（2）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以22×2.3＋（26−22）×a＝64.4，根据方程即可求出a的值；
（3）先根据第（2）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决．
【详解】
（1）∵20＜22
∴20立方米应缴费为20×2.3＝46
故答案为46．
（2）∵22＜26＜30
∴根据题意有22×2.3＋（26−22）×a＝64.4
解得a＝3.45
故用水在22～30立方米之间的收费标准为3.45元/立方米．
（3）若用水为30立方米，则收费为22×2.3＋8×3.45＝78.2＜87.4
∴小明家去年8月份用水量超过了30立方米．
设小明家去年8月份用水量为x立方米，由题意可得
22×2.3＋8×3.45＋（x−30）×4.6＝87.4
解得x＝32
答：小明家去年8月份用水量为32立方米．
【点睛】
本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键
20.（12分）
在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
【答案】（1）乙队单独完成需90天；（2）在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．
【分析】
（1）求的是乙的工效，工作时间明显．一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作总量=1．
（2）根据题意，分别求出三种情况的费用，然后把在工期内的情况进行比较即可．
【详解】
解：（1）设乙队单独完成需x天．
根据题意，得：．
解这个方程得：x=90．
经检验，x=90是原方程的解．
∴乙队单独完成需90天．
（2）设甲、乙合作完成需y天，则有，
解得，y=36；
①甲单独完成需付工程款为：60×3.5=210（万元）．
②乙单独完成超过计划天数不符题意，
③甲、乙合作完成需付工程款为：36×（3.5+2）=198（万元）．
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键
21.（12分）
某学校2019学年举行席地绘画大赛.共收到绘画作品480件，其中的优秀作品评出了一、二、三等奖.

占获奖总数的几分之几
获奖作品的件数
一等奖

b
二等奖

c
三等奖
a
96
（1）则a=；b=；c=；
（2）学校决定为获一等奖同学每人购买一个书包，获得二等奖同学每人购买一个文具盒，获得三等奖同学每人购买一支钢笔，并且每位获奖同学颁发一个证书，已知文具盒单价是书包单价的，证书的单价是文具盒单价的，钢笔的单价是文具盒单价的，学校购买书包、文具盒、钢笔共用4000元，那么学校购买证书共用了多少元？
【答案】（1），b=32，c=64；（2）共用576元
【分析】
（1）根据所给信息，计算一、二等奖占获奖总数的多少即可求出a，再根据题意列方程、再解方程即可求出b和c的值；
（2）设文具盒的单价为x元，然后表示出其他物品的单价，最后列出一元一次方程求解即可.
【详解】
解：（1）
设获奖作品的件数为x件.
根据题意，得x=b，x=c，ax=96，
解得：b=32，c=64
故答案为、32、64.
（）设文具盒的单价为x元，则钢笔的单价为x元，书包的单价为x÷=x元，证书的
价为x元.根据题意，得
32×x +64x+96×x=4000
解得x=30
则证书共用了192×x=192××30=576.
答：学年购买证书共用576元.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，根据表格所给信息，设合适的未知数并表示其它量是解答本题的关键
22.（12分）
如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为xA＝﹣5和xB＝6，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在B，A之间往返运动．设运动时间为t秒．
(1)当t＝2时，点P对应的有理数xP＝______，PQ＝______；
(2)当0＜t≤11时，若原点O恰好是线段PQ的中点，求t的值；
(3)我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当P，Q两点第一次在整点处重合时，直接写出此整点对应的数．

【答案】(1)﹣3，5；(2)t＝1或7；(3)6.
【分析】
（1）先求出P,Q对应的数，再求PQ的值；（2）结合数轴分析：①当0＜t＜5.5时，点Q运动还未到点A，有AP＝t，BQ＝2t．此时OP＝|5﹣t|，OQ＝|6﹣2t|．②当5.5＜t≤11时，点P在数轴上原点右侧，点Q已经沿射线BA方向运动到点A后折返，要使原点O恰好是线段PQ的中点，点Q必须位于原点O左侧；列出相应方程即可；（3）分两种情况求出t: ①当0＜t＜5.5时，点Q运动还未到点A，当P，Q两点重合时，P与Q相遇；②当5.5＜t≤11时，点P在数轴上原点右侧，点Q已经沿射线BA方向运动到点A后折返，当P，Q两点重合时，点Q追上点P，AQ＝AP.
【详解】
解：(1)当t＝2时，点P对应的有理数xP＝﹣5+1×2＝﹣3，
点Q对应的有理数xQ＝6﹣2×2＝2，
∴PQ＝2﹣(﹣3)＝5．
故答案为﹣3，5；
(2)∵xA＝﹣5，xB＝6，
∴OA＝5，OB＝6．
由题意可知，当0＜t≤11时，点P运动的最远路径为数轴上从点A到点B，点Q运动的最远路径为数轴上从点B到点A并且折返回到点B．
对于点P，因为它的运动速度vP＝1，点P从点A运动到点O需要5秒，运动到点B需要11秒．
对于点Q，因为它的运动速度vQ＝2，点Q从点B运动到点O需要3秒，运动到点A需要5.5秒，返回到点B需要11秒．
要使原点O恰好是线段PQ的中点，需要P，Q两点分别在原点O的两侧，且OP＝OQ，此时t≠5.5．
①当0＜t＜5.5时，点Q运动还未到点A，有AP＝t，BQ＝2t．
此时OP＝|5﹣t|，OQ＝|6﹣2t|．
∵原点O恰好是线段PQ的中点，
∴OP＝OQ，
∴|5﹣t|＝|6﹣2t|，
解得t＝1或t＝．
检验：当t＝时，P，Q两点重合，且都在原点O左侧，不合题意舍去；t＝1符合题意．
∴t＝1；
②当5.5＜t≤11时，点P在数轴上原点右侧，点Q已经沿射线BA方向运动到点A后折返，要使原点O恰好是线段PQ的中点，点Q必须位于原点O左侧，此时P，Q两点的大致位置如下图所示．

此时，OP＝AP﹣OA＝t﹣5，OQ＝OA﹣AQ＝5﹣2(t﹣5.5)＝16﹣2t．
∵原点O恰好是线段PQ的中点，
∴OP＝OQ，
∴t﹣5＝16﹣2t，
解得t＝7．
检验：当t＝7时符合题意．
∴t＝7．
综上可知，t＝1或7；
(3)①当0＜t＜5.5时，点Q运动还未到点A，当P，Q两点重合时，P与Q相遇，此时需要的时间为：秒，
相遇点对应的数为﹣5+＝﹣，不是整点，不合题意舍去；
②当5.5＜t≤11时，点P在数轴上原点右侧，点Q已经沿射线BA方向运动到点A后折返，当P，Q两点重合时，点Q追上点P，AQ＝AP，
2(t﹣5.5)＝t，解得t＝11，
追击点对应的数为﹣5+11＝6．
故当P，Q两点第一次在整点处重合时，此整点对应的数为6．
【点睛】结合数轴分析问题，要分类讨论，根据位置关系列出方程