2023届黑龙江省实验中学高三下学期第一次模拟考试数学试题含解析

2023届黑龙江省实验中学高三下学期第一次模拟考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由定义域求法求得，由函数值域求得Q，即可进行并集运算.

【详解】，.

∴.

故选：D

2．复数z满足，则复数z的共轭复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的乘法与除法运算,化简即可求得复数.结合共轭复数的定义即可得.

【详解】将式子化简可得，

，

根据共轭复数定义可知，

故选:C

3．在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据三角函数的定义求出与，再结合及求出，利用余弦差角公式求出答案.

【详解】由题意得：，，，

因为，所以，

因为，所以，故，

所以

.

故选：B

4．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

【答案】C

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.

5．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据对数运算性质，结合对数函数和指数函数的单调性进行判断即可.

【详解】，

，即，

，

因此，

故选：B

6．已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为l，过点且与l平行的直线交双曲线C于点M，若，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为，

因此直线的倾斜角的正切值为，即，

所以有，

设，由双曲线定义可知：，

由余弦定理可知：，

故选：B

7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为(-c，0)，(c，0)，若椭圆C上存在一点M使得的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用的面积相等，得到，得到，消去b，整理化简求出离心率的取值范围.

【详解】的面积为.

因为的内切圆半径为，所以的面积可表示为.

所以，所以.

因为，所以.

两边平方得：，

而，所以，整理得：,

因为离心率，所以，解得：.

故选：A.

8．已知函数，若存在使得关于的不等式成立，则实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将不等式变形为，构造函数，分析可知该函数为增函数，可得出，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围.

【详解】因为，由可得，即函数的定义域为，

可得，

即，

构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，

所以，，可得，则，

即，其中，令，其中，

则，当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，，解得.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为，结合不等式的结果构造函数，转化为函数的单调性以及参变量分离法求解.

二、多选题

9．已知是等比数列的前项和，且，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】AD

【分析】根据与的关系以及是等比数列，可求得，.进而判断数列是以8为首项，4为公比的等比数列，根据等比数列前项和公式即可判断C、D项.

【详解】当时，，

当时，.

因为是等比数列，所以需满足，所以，.

所以，A项正确，B项错误；

因为，，

所以数列是以8为首项，4为公比的等比数列.

所以，所以C项错误，D项正确.

故选：AD.

10．已知P为抛物线上的动点，为坐标原点，在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，，则（    ）

A．的最小值为4

B．若线段AB的中点为M，则弦长AB的长度为8

C．若线段AB的中点为M，则三角形OAB的面积为

D．过点作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分，则直线GH的斜率为定值

【答案】ABD

【分析】先求出抛物线的方程，利用抛物线的定义转化即可求出最小值可判断A；由直线与抛物线相交的弦长公式判断B；由点到直线的距离公式可求三角形OAB的面积判断C；设，,将已知转化为结合两点连线的斜率公式即可判断直线GH的斜率是否为定值判断D.

【详解】

由在抛物线C上，得，抛物线C的方程为，．

对于A，过点P作抛物线的准线的垂线PD，垂足为D，

由抛物线的定义知，

即M，P，D三点共线时，取得最小值，为，故A正确．

对于B，因为为AB的中点，点A，B的横坐标，则，，故B正确．

对于C，由直线l过焦点与求得直线l的方程为，则点O到直线l的距离，则，故C错误；

对于D，易知点在抛物线上且轴．设，．

易知直线EG，EH的斜率存在，，同理．

因为EF平分，轴，所以，即，

直线，所以，

直线GH的斜率为定值，故D正确．

故选：ABD

11．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的为（    ）

A．是偶函数 B．

C．的图象关于对称 D．

【答案】ABC

【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．

【详解】为奇函数，为偶函数，

所以的图象关于点对称且关于直线对称，

所以，，，

，所以是周期函数，4是它的一个周期．

，

，B正确；

，是偶函数，A正确；

因此的图象也关于点对称，C正确；

对任意的，且，都有，即时，，所以在是单调递增，

，，，

，∴，故D错．

故选：ABC．

12．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ）

A．直线平面

B．棱与平面所成角的正切值为

C．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段

D．若，那么Q点的轨迹长度为

【答案】ACD

【分析】以为坐标原点建立坐标系，用空间坐标求解A, ，B选项;

对C，D选项:设，根据条件求出满足的方程,判断其轨迹即可.

【详解】

以为坐标原点，以分别为轴建立坐标系，

则

设平面的法向量，

由 得，令得，所以取，

因为，故，所以直线平面，故A正确;

 对B:设与平面所成角为，则，

所以，故B错误;

对C: 设平面的法向量，

由 得，令得，所以取，

因为Q为正方形内一动点（含边界），设，

因为平面，所以，即，

令得，此时为棱的中点，

令得，此时为棱的中点，

在正方形内的轨迹为线段，故C正确;

对D:由得，即，在正方形内的轨迹为以为圆心，半径为的四分之一圆周， 那么Q点的轨迹长度为，故D正确.

故选:ACD

【点睛】对空间几何中的轨迹或最值问题求解时可以建立空间直角坐标系,几何关系转化为代数关系,可从方程上判断轨迹形状,从函数的角度求最值.

三、填空题

13．已知向量，，若，则______

【答案】

【分析】根据向量坐标运算法则求出，再利用模的计算公式即可.

【详解】根据题意，，

解得，此时，

则.

故答案为：

14．古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．在平面直角坐标系中，已知点，点P满足，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心，若直线与圆M相交于D，G两点，且，则____________．

【答案】或

【分析】设点由求出圆M方程，根据截圆弦长求得值.

【详解】设点点满足，

∴，

化为:，即点的轨迹圆，圆心，半径 .

圆心到直线的距离，

∴，

∴，解得或

故答案为: 或

15．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为____________．

【答案】

【分析】运用余弦定理和正弦定理进行求解即可.

【详解】根据余弦定理由，

而，因此有，

因为，所以，

由正弦定理可知的外接圆半径为，

故答案为：

16．已知数列前项和，数列满足为数列的前项和．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】利用与的关系，求得，由题意，求得并裂项，利用裂项相消，求得，分为奇数或偶数两种情况，利用函数求最值研究不等式恒成立问题，可得答案.

【详解】当时，；当时，，将代入上式，可得，则；

，

，

代入不等式，可得，整理可得，

当为偶数时，不等式为，

令，，

当时，，则在上单调递增，

由于，故，此时；

当为奇数时，不等式为，

令，（为奇数且），易知在单调递增，则，此时，

综上所述，.

故答案为：.

四、解答题

17．已知数列，前n项和为，且满足，，，，，等比数列中，，且，成等差数列．

(1)求数列和的通项公式；

(2)记为区间中的整数个数，求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据，，得到为等差数列，根据通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到的通项公式，再利用等比数列通项公式基本量计算出和公比，求出的通项公式；

（2）在第一问的基础上得到，分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式求出答案.

【详解】（1），，，

即，，，

故为等差数列，设公差为，

故，，

解得：，，

所以，

设等比数列的公比为，，

因为，成等差数列，所以，

即，与联立得：或0（舍去），

且，故，

（2）由题意得：为中的整数个数，

故，

所以

.

18．已知函数，其中，且函数的两个相邻零点间的距离为，

(1)求的值及函数的对称轴方程；

(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围．

【答案】(1)，对称轴方程为：；

(2).

【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的零点性质、周期公式、对称轴方程进行求解即可；

（2）根据正弦定理、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可.

【详解】（1），

，

因为函数的两个相邻零点间的距离为，

所以函数的最小正周期为，因为，

所以，即，

令，所以对称轴为；

（2）由，

因为，所以，

因为，所以由正弦定理可知：，

所以三角形的周长为，

，

因为，所以，因此，

所以周长的取值范围为.

19．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，，，E是PB的中点．

(1)求证：平面平面PBC；

(2)若二面角的余弦值为，求a的值；

(3)在（2）的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)4

(3)

【分析】（1）由线线垂直证平面PBC，再证平面平面PBC；

（2）以C为原点建立如图所示空间直角坐标系，由向量法求平面与平面的夹角余弦值，进而由二面角的余弦值建立方程，解得a的值；

（3）由向量法求得，即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值.

【详解】（1）证明：由题意得，直角梯形ABCD中，，，由得.

底面ABCD，平面ABCD，∴.

∵平面PBC，∴平面PBC，

∵平面，∴平面平面PBC；

（2）由（1）得，以C为原点建立如图所示空间直角坐标系，

则有，

设平面的法向量为，，，

则有，令有；

平面的其中一个法向量为.

故.

由二面角的余弦值为得，解得；

（3）由（2）得，，

∴，

∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.

20．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，角C的内角平分线与边AB交于点E，

(1)求角B的大小；

(2)记，的面积分别为，在①，②这两个条件中任选一个作为已知，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)选①：；选②：

【分析】（1）由，结合正弦定理及化简得到，即可求解；

（2）选①：由余弦定理列出方程求得，令，结合三角形的面积公式，求得则，，即可求得的值；

选②：由，求得，利用余弦定理列出方程求得，联立方程组求得，结合面积公式求得，即可求得的值.

【详解】（1）因为，

由正弦定理可得，

即

又由，

可得，

因为，可得，所以，

又因为，可得.

（2）选①：因为，，

由余弦定理可得，

整理得，解得，

因为为的平分线，令，

则，，

所以，故的值为.

选②：，，，

由，解得，

又由，由余弦定理可得，

即，可得，

又因为，可得，所以，即，

联立方程组，解得，

由为的平分线，令，

所以，，

所以，故的值为.

21．已知椭圆经过点，且椭圆的长轴长为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设经过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件可得出的值，将点的坐标代入椭圆的方程，可得出，即可得出椭圆的方程；

（2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出直线的方程，可求得点的坐标，利用三角形的面积公式以及对勾函数的单调性可求得的取值范围.

【详解】（1）解：因为椭圆的长轴长为，则，

将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，

所以，椭圆的标准方程为.

（2）解：若与轴重合，则不存在，

设直线的方程为，设点、，

若，则点与点重合，不合乎题意，所以，，

联立可得，

，

由韦达定理可得，，

易知点，，

直线的方程为，

将代入直线的方程可得，即点，

，

所以，，

令，则函数在上为增函数，

所以，，所以，.

故的面积的取值范围是.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

22．设函数.

(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；

(2)若存在两个极值点，且对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）求出，令，求解可得答案；

（2）令得，，当由可得，令，求导利用单调性可得答案； 当根据，令可得求解可得答案.

【详解】（1），

所以，解得；

（2），令得，

解得，或时且，

当即时，，对任意恒成立，

得可得，，

时成立，时，有在恒成立，

令，，所以在单调递减，

有，所以；

当即时，，对任意恒成立，求实数的取值范围，即在上恒成立，

因为，可得，

解得，

当即时，重合，不符合题意，

综上所述，或.