2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图．是的直径，点、在上，若，则等于度．(    )

A.
B.
C.
D.

8.  某车间有名工人，每个工人每天生产个螺母或者个螺栓，每个螺栓配套两个螺母，若分配个工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列所列方程中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在中，、分别在、上，，点在边上，连接交于点，则下列结论中一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，长方形中，，，是的中点，点在长方形的边上，从点出发，沿运动，到达点运动终止．设的面积为，点经过的路程为，那么能正确表示与之间函数关系的图象是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  把用科学记数法表示为______．

12.  在函数中，自变量的取值范围是______．

13.  计算：______．

14.  分解因式：______．

15.  不等式组的整数解为______ ．

16.  方程的解为______．

17.  在矩形中，点在直线上，，若，，则点到直线的距离为______．

18.  一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的半径为______ ．

19.  一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为______．

20.  如图，四边形中，，且，过点作交于点，若，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

22.  本小题分
如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形顶点是网格线的交点．
先将竖直向上平移个单位，再水平向右平移个单位得到，请画出；
将绕点顺时针旋转，得，请画出；
连接，直接写出的长______．

23.  本小题分
某社区为了调查居民对“物业管理”的满意度，随机抽取了部分居民作问卷调查：：相当满意；：满意；：比较满意；：不满意；如图是根据调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图：
本次问卷调查，共调查了多少人；
将图中“”部分的图形补充完整；
如果该社区有居民人，请你估计该社区居民对“物业管理”感到“不满意”的约有多少人？

 

24.  本小题分
已知是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接．
如图，求证：四边形是菱形；
如图，当四边形是正方形，时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于的角．

 

25.  本小题分
某商品经销店欲购进、两种纪念品，用元购进的种纪念品与用元购进的种纪念品的数量相同，每件种纪念品的进价比种纪念品的进价贵元．
求、两种纪念品每件的进价分别为多少？
若该商店种纪念品每件售价元，种纪念品每件售价元，这两种纪念品共购进件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于元，求种纪念品最多购进多少件．

26.  本小题分
内接于，的半径于，连接．
如图，求证：平分；
如图，过点作的垂线，垂足为，求证：；
如图，在的条件下，延长交线段于，连接，若点是的中点，，的面积为，求的长．

 

27.  本小题分
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于，连接，．
如图，求的值；
如图，点在第一象限的抛物线上，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式不用写出的取值范围；
如图，在的条件下，连接交于，点在的延长线上，连接、，压交轴于，若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
根据绝对值的性质求解．
本题考查了绝对值，掌握一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，正确；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、应为，故本选项错误；
D、应为，故本选项错误．
故选A．
根据同底数幂的乘法、合并同类项、单项式的除法和积的乘方法则进行计算．
本题主要考查整式的运算和幂的运算法则，要注意区分它们各自的特点，以避免出错．
 

3.【答案】 

【解析】解：原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：从正面看得到从左往右列正方形的个数依次为，，，
故选：．
从正面看得到从左往右列正方形的个数依次为，，，依此判断即可．
此题考查三视图，关键是根据三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换．
先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为，把点向左平移个单位，再向下平移个单位长度所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线解析式为．
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：反比例函数，当时随的增大而增大，
，解得．
故选：．
根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值随自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随自变量增大而增大．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
；
故选：．
连接，由圆周角定理得出，，再由直角三角形的性质即可得出答案．
本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设分配名工人生产螺栓，则名生产螺母，
一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母个或螺栓个，
可得．
故选：．
设分配名工人生产螺栓，则名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按：配套，可得出方程．
本题考查了根据实际问题抽象一元一次方程，要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的倍螺母数量．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，，
，，，，
选项符合题意．
故选：．
由，结合平行线分线段成比例可得结论．
本题主要考查平行线分线段成比例，题目比较简单，熟知相关定理是解题基础．
 

10.【答案】 

【解析】解：三角形的面积变化，由到时，增大，由到时，取得最大值是且不变；由到时，面积变小．
故选：．
根据三角形的面积公式，分类讨论：在上运动时，三角形的面积在增大，在上运动时，三角形的面积不变；在上运动时，三角形的面积在减小，可得答案．
本题考查了动点函数的图象，三角形的面积公式是解题关键，注意要分类讨论．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
．
应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
由得：；
由得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为．
故答案为：．
求出不等式组的解集，找出解集中的整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

17.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
点在边上时，
如图所示：连接，作于，
四边形是矩形，
，，，
，
，，
在中，，
的面积的面积的面积矩形的面积，
，
解得：；
点在边的延长线时，
如图所示：作于，延长线与延长线交于点，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
是的中位线，
，
，在中，，
的面积，
；
综上所述，点到直线的距离为或；
故答案为：或．
分两种情况：点在边上时，连接，作于，由矩形的性质得出，，，求出，，在中，由勾股定理得出，再由的面积的面积的面积矩形的面积，即可得出结果；
点在边的延长线时，作于，延长线与延长线交于点，由矩形的性质得出，，，，，证出是的中位线，得出，，在中，由勾股定理得出，再由三角形面积公式即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式、三角形中位线定理以及分类讨论等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，进行分类讨论是关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据弧长公式，可得，再将数据代入计算即可．
本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为．
 

19.【答案】 

【解析】解：列表得，

由表格可知，不放回的摸取次共有种等可能结果，其中两次摸出的小球都是白球有种结果，
两次摸出的小球都是白球的概率为：，
故答案为：．
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
本题考查概率的概念和求法，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】 

【解析】解：在延长线上取一点，使得，过点作交延长线于，连接，如图：

，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，，，
，，
，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
；
故答案为：．
在延长线上取一点使得，过点作交延长线于，连接，证明是等边三角形，得到，，再根据平行线的性质求出，，；证明≌得到，，进而求出，则，，即可得到，故CE．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的计算方法．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，为所作；
如图，为所求，

．
利用网格特点和平移的性质画出、、的对应点、、，从而得到；
利用网格特点和旋转的性质画出点、、，的对应点、、，从而得到；
利用勾股定理计算的长．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

23.【答案】解：人，
本次问卷调查，共调查了人．

人，
如图．

如果该校有学生人，则该校学生对教学感到“不满意”的约有：人． 

【解析】根据条形图可得人数为人，根据扇形图可得占总人数的，再用除以可得答案；
首先利用总数减去各条的纵坐标可得答案；
利用样本估计总体的方法用乘以感到“不满意”的人数所占百分比．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

24.【答案】证明：在和中，
，
≌；
，
同理≌，


，
，
，
，
四边形是菱形；
四边形是正方形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
综上所述，度数为的度数倍的角是，，，． 

【解析】直接由得出≌，得出，再由证明≌，得出由得出，从而，根据等角对等边得出，从而，由菱形的判定可知四边形是菱形；
如图，利用正方形的性质可得，然后证明即可．
本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性质等知识．关键是由得出≌．
 

25.【答案】解：设种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价为元．
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
．
答：种纪念品每件的进价为元，种纪念品每件的进价为元．
设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，
根据题意得：，
解得：．
答：种纪念品最多购进件． 

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
设种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价为元，根据数量总价单价结合用元购进的种纪念品与用元购进的种纪念品的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据总利润单件利润购买数量结合这两种纪念品全部售出后总获利不低于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其范围内的最大值即可得出结论．
 

26.【答案】证明：连接、，如图：

在和中，
，
≌，
，即，
，，
，
平分；
证明：连接，在上截取，连接，如图：

，
≌，
，
在圆内接四边形中，，
，
，
由知，
，
≌，
，
，
；
解：由知：，
，，
≌，
，
过点作于，连接、、，如图：

平分，
，，
，
≌，
，，
同理≌，
，
，
为中点，
，
，
垂直平分，
，
半径，
，
是等边三角形，
，，
在中，，
，
，
，，，
≌，
，，
，即，
，
设，则，，
过点作于，
，
，，
，
在中，，
，
解得，舍，
，，，，
在中，，
中，，
设，则，
，
，
解得负值已舍去，
． 

【解析】连接、，证明≌，得，即，可得，故AE平分；
连接，在上截取，证明≌，有，可得，故≌，得，即可得；
证明≌，得，过点作于，连接、、，可证≌，得，，同理≌，知，故，由为中点，，知垂直平分，，从而是等边三角形，可得，，故DE，得，，因≌，所以，由三角形面积公式得，设，则，，过点作于，知，得，，，故，解得，得，，，，在中，，得，设，则，由，得，从而．
本题考查圆的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

27.【答案】解：，
，
设，
，，
把、坐标代入得：
，
解得：或，
，
，
，
解得；
过点作轴于，作轴于，如图：

由知：，，，
可得抛物线解析式为；
点在第一象限的抛物线上，点的横坐标为，
，



；
设直线的解析式为，把和代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
令得，
，，
在中，，
 过点作轴于，过点作轴于，过点作轴交于点，过点作于点，在上取点，使，连接，如图：

，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在等腰直角三角形中，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
在中，，
，
≌，
，
，
，
设，则，
在中，，则，
，
，
，
在等腰直角三角形中，，
解得舍或，
． 

【解析】设，表示出、点坐标，再将、坐标代入，求出的值，进而求的值；
过点作轴于，作轴于，设，再由求解即可；
表示出直线的解析式为，求出，，在中，，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴交于点，过点作于点，在上取点，使，连接，先证明是等腰直角三角形，求得，，再证四边形是正方形，在中，，然后证≌，分别得到，，设，则，在中，，则，由，则，在等腰直角三角形中，，求得，从而求出．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的性质及判定，等腰直角三角形的性质是解题的关键．