还剩19页未读，
继续阅读
数学九年级上册甘肃省平凉市庄浪县九年级上期中数学试卷及答案解析
展开
这是一份数学九年级上册甘肃省平凉市庄浪县九年级上期中数学试卷及答案解析，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
甘肃省平凉市庄浪县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B． =2 C．x2+2x=x2﹣1 D．3（x+1）2=2（x+1）
2．下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A．y=1﹣x2 B．y=2（x﹣1）2+4 C．y=（x﹣1）（x+4） D．y=（x﹣2）2﹣x2
3．方程（x+1）（x﹣3）=5的解是（ ）
A．x1=1，x2=﹣3 B．x1=4，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣4，x2=2
4．把二次函数y=﹣x2﹣x+3用配方法化成y=a（x﹣h）2+k的形式时，应为（ ）
A．y=﹣（x﹣2）2+2 B．y=﹣（x﹣2）2+4 C．y=﹣（x+2）2+4 D．y=﹣（x﹣）2+3
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0
C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣
6．对抛物线：y=﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A．与x轴有两个交点 B．开口向上
C．与y轴的交点坐标是（0，3） D．顶点坐标是（1，﹣2）
7．以3和﹣1为两根的一元二次方程是（ ）
A．x2+2x﹣3=0 B．x2+2x+3=0 C．x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣2x+3=0
8．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1
10．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．144（1﹣x）2=100 B．100（1﹣x）2=144 C．144（1+x）2=100 D．100（1+x）2=144
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．方程2x2﹣1=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
12．若函数y=（m﹣3）是二次函数，则m= ．
13．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 ．
14．抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为 ．
15．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0，则m= ．
16．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为 ．
17．已知方程x2﹣3x+1=0的两个根是x1，x2，则：x12+x22= ．
18．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的点，F为CD边上的点，且AE=AF，AB=4，设EC=x，△AEF的面积为y，则y与x之间的函数关系式是 ．
三、解答题（共9小题，满分88分）
19．用适当的方法解一元二次方程：
（1）x2+3x﹣4=0
（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）
（3）x2﹣2x﹣8=0
（4）（x﹣2）（x﹣5）=﹣2．
20．用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
21．抛物线y=﹣2x2+8x﹣6．
（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
（2）x取何值时，y随x的增大而减小？
（3）x取何值时，y=0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0．
22．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
23．某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克．若销售价每涨1元，则月销售量减少10千克．
（1）要使月销售利润达到最大，销售单价应定为多少元？
（2）要使月销售利润不低于8000元，请结合图象说明销售单价应如何定？
24．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？
25．阅读下列例题：
解方程x2﹣|x|﹣2=0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1（舍去）．
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得x1=1（舍去），x2=﹣2．
∴x1=2，x2=﹣2是原方程的根．
请参照例题解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1=0．
26．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
27．已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积S△MCB．
甘肃省平凉市庄浪县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B． =2 C．x2+2x=x2﹣1 D．3（x+1）2=2（x+1）
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、ax2+bx+c=0当a=0时，不是一元二次方程，故A错误；
B、+=2不是整式方程，故B错误；
C、x2+2x=x2﹣1是一元一次方程，故C错误；
D、3（x+1）2=2（x+1）是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A．y=1﹣x2 B．y=2（x﹣1）2+4 C．y=（x﹣1）（x+4） D．y=（x﹣2）2﹣x2
【考点】二次函数的定义．
【分析】利用二次函数的定义，整理成一般形式就可以解答．
【解答】解：A、y=1﹣x2=﹣x2+1，是二次函数，正确；
B、y=2（x﹣1）2+4=2x2﹣4x+6，是二次函数，正确；
C、y=（x﹣1）（x+4）=x2+x﹣2，是二次函数，正确；
D、y=（x﹣2）2﹣x2=﹣4x+4，是一次函数，错误．
故选D．
【点评】本题考查二次函数的定义．
3．方程（x+1）（x﹣3）=5的解是（ ）
A．x1=1，x2=﹣3 B．x1=4，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣4，x2=2
【考点】解一元二次方程-公式法．
【专题】计算题．
【分析】首先把方程化为一般形式，利用公式法即可求解．
【解答】解：（x+1）（x﹣3）=5，
x2﹣2x﹣3﹣5=0，
x2﹣2x﹣8=0，
化为（x﹣4）（x+2）=0，
∴x1=4，x2=﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法．
4．把二次函数y=﹣x2﹣x+3用配方法化成y=a（x﹣h）2+k的形式时，应为（ ）
A．y=﹣（x﹣2）2+2 B．y=﹣（x﹣2）2+4 C．y=﹣（x+2）2+4 D．y=﹣（x﹣）2+3
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y=﹣x2﹣x+3=﹣（x2+4x+4）+1+3=﹣（x+2）2+4．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0
C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】存在型．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故选项A错误；
B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故选项B错误；
C、由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故选项C错误；
D、∵抛物线与x轴的两个交点分别是（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x=﹣==1，故选项D正确．
故选D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键．
6．对抛物线：y=﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A．与x轴有两个交点 B．开口向上
C．与y轴的交点坐标是（0，3） D．顶点坐标是（1，﹣2）
【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．
【专题】计算题．
【分析】根据△的符号，可判断图象与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x=0，可求图象与y轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．
【解答】解：A、∵△=22﹣4×（﹣1）×（﹣3）=﹣8＜0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；
B、∵二次项系数﹣1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；
C、当x=0时，y=﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），本选项错误；
D、∵y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2），本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了抛物线的性质与解析式的关系．关键是明确抛物线解析式各项系数与性质的联系．
7．以3和﹣1为两根的一元二次方程是（ ）
A．x2+2x﹣3=0 B．x2+2x+3=0 C．x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣2x+3=0
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】由题意，可令方程为（x﹣3）（x+1）=0，去括号后，直接选择C；
或把3和﹣1代入各个选项中，看是否为0，用排除法选择C；
或利用两根之和等于，和两根之积等于来依次判断．
【解答】解：以3和﹣1为两根的一元二次方程的两根的和是2，两根的积是﹣3，据此判断．
A、两个根的和是﹣2，故错误；
B、△=22﹣4×3=﹣8＜0，方程无解，故错误；
C、正确；
D、两根的积是3，故错误．
故选C．
【点评】本题解答方法较多，可灵活选择解题的方法．
8．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
【解答】解：x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
9．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．
【解答】解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），
所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键．
10．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．144（1﹣x）2=100 B．100（1﹣x）2=144 C．144（1+x）2=100 D．100（1+x）2=144
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：2012年的产量为100（1+x），
2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，
即所列的方程为100（1+x）2=144，
故选：D．
【点评】考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．方程2x2﹣1=的二次项系数是 2 ，一次项系数是 ﹣ ，常数项是 ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：方程2x2﹣1=化成一般形式是2x2﹣﹣1=0，
二次项系数是2，一次项系数是﹣，常数项是﹣1．
【点评】要确定一次项系数和常数项，首先要把法方程化成一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
12．若函数y=（m﹣3）是二次函数，则m= ﹣5 ．
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义解答．
【解答】解：∵y=（m﹣3）是二次函数，
∴，
解得m=﹣5．
故答案为﹣5．
【点评】本题考查了二次函数的定义，要知道，形如x+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
13．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 x＜﹣2或x＞8 ．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】先观察图象确定抛物线y1=ax2+bx+c和一次函数y2=kx+b（k≠0）的交点的横坐标，即可求出y1＞y2时，x的取值范围．
【解答】解：由图形可以看出：
抛物线y1=ax2+bx+c和一次函数y2=kx+b（k≠0）的交点横坐标分别为﹣2，8，
当y1＞y2时，x的取值范围正好在两交点之外，即x＜﹣2或x＞8．
故答案为：x＜﹣2或x＞8．
【点评】此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．
14．抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为 4 ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知抛物线的对称轴，利用对称轴公式可求b的值．
【解答】解：∵y=2x2﹣bx+3，对称轴是直线x=1，
∴=1，即﹣=1，解得b=4．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法：公式法：y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴是x=．
15．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0，则m= ﹣2 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．将x=0代入方程式即得．
【解答】解：把x=0代入一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0，得m2﹣4=0，即m=±2．又m﹣2≠0，m≠2，取m=﹣2．
故答案为：m=﹣2．
【点评】此题要注意一元二次方程的二次项系数不得为零．
16．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为 8 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】判别式法．
【分析】由抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2+8x+m=0，根的判别式△=b2﹣4ac=0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△=0，
∴b2﹣4ac=82﹣4×2×m=0；
∴m=8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了二次函数根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系．
17．已知方程x2﹣3x+1=0的两个根是x1，x2，则：x12+x22= 7 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据x1+x2=﹣，x1x2=，求出x1+x2=3，x1x2=1，再根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2即可求求出答案．
【解答】解：根据题意x1+x2=3，x1x2=1，
则x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣2=7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
18．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的点，F为CD边上的点，且AE=AF，AB=4，设EC=x，△AEF的面积为y，则y与x之间的函数关系式是 y=﹣x2+4x ．
【考点】正方形的性质；根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】根据正方形的性质可得AB=AD，再利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，然后求出CE=CF，再根据△AEF的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积列式整理即可得解．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴CE=CF，
∵CE=x，
∴BE=DF=4﹣x，
∴y=42﹣2××4×（4﹣x）﹣x2，
=﹣x2+4x，
即y=﹣x2+4x．
故答案为：y=﹣x2+4x．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．
三、解答题（共9小题，满分88分）
19．用适当的方法解一元二次方程：
（1）x2+3x﹣4=0
（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）
（3）x2﹣2x﹣8=0
（4）（x﹣2）（x﹣5）=﹣2．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）（3利用因式分解求得方程的解；
（2）移项，利用提取公式法因式分解求得方程的解即可；
（4）化为一般形式，利用因式分解法求得方程的解即可．
【解答】解：（1）x2+3x﹣4=0
（x+4）（x﹣1）=0
x+4=0，x﹣1=0
解得：x1=﹣4，x2=1；
（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）
3x（x﹣2）﹣2（2﹣x）=0
（3x+2）（x﹣2）=0
3x+2=0，x﹣2=0
解得：x1=﹣，x2=2；
（3）x2﹣2x﹣8=0
（x﹣4）（x+2）=0
x﹣4=0，x+2=0
解得：x1=4，x2=﹣2；
（4）（x﹣2）（x﹣5）=﹣2
x2﹣7x+12=0
（x﹣4）（x﹣3）=0
x﹣4=0，x﹣3=0
解得：x1=4，x2=3．
【点评】此题考查解一元二次方程的方法，根据方程的特点，灵活选用适当的方法求得方程的解即可．
20．用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（20﹣2x）．根据面积公式即可解答．
（2）把函数解析式用配方法化简，得出y的最大值．
【解答】解：（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（10﹣x）．
则y=x（10﹣x）化简可得y=﹣x2+10x
（2）y=10x﹣x2=﹣（x2﹣10x）=﹣（x﹣5）2+25，
所以当x=5时，矩形的面积最大，最大为25cm2．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，难度一般，重点要注意配方法的运用．
21．抛物线y=﹣2x2+8x﹣6．
（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
（2）x取何值时，y随x的增大而减小？
（3）x取何值时，y=0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0．
【考点】二次函数的三种形式；二次函数的性质．
【专题】计算题；配方法．
【分析】（1）根据配方法的步骤要求，将抛物线解析式的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标和对称轴；
（2）由对称轴x=﹣2，抛物线开口向下，结合图象，可确定函数的增减性；
（3）判断函数值的符号，可以令y=0，解一元二次方程求x，再根据抛物线的开口方向，确定函数值的符号与x的取值范围的对应关系．
【解答】解：（1）∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2，
∴顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x=2；
（2）∵a=﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小；
（3）令y=0，即﹣2x2+8x﹣6=0，解得x=1或3，抛物线开口向下，
∴当x=1或x=3时，y=0；
当1＜x＜3时，y＞0；
当x＜1或x＞3时，y＜0．
【点评】本题考查了抛物线的顶点坐标，与x轴的交点坐标的求法及其运用，必须熟练掌握．
22．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
【考点】二次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】本题只要计算大门顶部宽2.4米的部分离地面是否超过2.8米即可．如果设C点是原点，那么A的坐标就是（﹣2，﹣4.4），B的坐标是（2，﹣4.4），可设这个函数为y=kx2，那么将A的坐标代入后即可得出y=﹣1.1x2，那么大门顶部宽2.4m的部分的两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，因此将x=1.2代入函数式中可得y≈﹣1.6，因此大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是4.4﹣1.6=2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门．
【解答】解：根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），设这个函数为y=kx2．
将A的坐标代入，得y=﹣1.1x2，
∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，
∴将x=1.2代入函数式，得
y≈﹣1.6，
∴GH=CH﹣CG=4.4﹣1.6=2.8m，
因此这辆汽车正好可以通过大门．
【点评】本题主要结合实际问题考查了二次函数的应用，得出二次函数式进而求出大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是解题的关键．
23．某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克．若销售价每涨1元，则月销售量减少10千克．
（1）要使月销售利润达到最大，销售单价应定为多少元？
（2）要使月销售利润不低于8000元，请结合图象说明销售单价应如何定？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）设销售单价定为每千克x元，获得利润为w元，则可以根据成本，求出每千克的利润，以及按照销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，可求出销量．从而得到总利润关系式；
（2）先计算出y=8000时所对应的x的值，然后画出函数的大致图象，再根据图象回答即可．
【解答】解：（1）设销售单价定为每千克x元，获得利润为w元，则：
w=（x﹣40）[500﹣（x﹣50）×10]，
=（x﹣40）（1000﹣10x），
=﹣10x2+1400x﹣40000，
=﹣10（x﹣70）2+9000，
故当x=70时，利润最大为9000元．
答：要使月销售利润达到最大，销售单价应定为70元；
（2）令y=8000，则﹣10（x﹣20）2+9000=8000，
解得x1=10，x2=30．
函数的大致图象为：
观察图象当10≤x≤30时，y不低于8000．
所以当销售单价不小于60元而不大于80元时，商场获得的周销售利润不低于8000元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．
24．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】本题有多种解法．设的对象不同则列的一元二次方程不同．设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解．
【解答】解：解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，
根据题意，得（x﹣2）•（2x﹣4）=288，
∴2（x﹣2）2=288，
∴（x﹣2）2=144，
∴x﹣2=±12，
解得：x1=﹣10（不合题意，舍去），x2=14，
所以x=14，2x=2×14=28．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为xm．根据题意，得（x﹣2）•（x﹣4）=288．
解这个方程，得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=28．
所以x=28， x=×28=14．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
【点评】解答此题，要运用含x的代数式表示蔬菜种植矩形长与宽，再由面积关系列方程．
25．阅读下列例题：
解方程x2﹣|x|﹣2=0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1（舍去）．
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得x1=1（舍去），x2=﹣2．
∴x1=2，x2=﹣2是原方程的根．
请参照例题解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；绝对值．
【专题】阅读型．
【分析】参照例题，应分情况讨论，主要是|x﹣1|，随着x取值的变化而变化，它将有两种情况，考虑问题要周全．
【解答】解：（1）设x﹣1≥0原方程变为x2﹣x+1﹣1=0，
x2﹣x=0，
x1=0（舍去），x2=1．
（2）设x﹣1＜0，原方程变为x2+x﹣1﹣1=0，
x2+x﹣2=0，
解得x1=1（舍去），x2=﹣2．
∴原方程解为x1=1，x2=﹣2．
【点评】解本题时，应把绝对值去掉，对x﹣1正负性分类讨论，x﹣1≥0或x﹣1＜0．
26．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【考点】根的判别式；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据方程解的定义把x=﹣1代入方程得到（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，整理得a﹣b=0，即a=b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）根据判别式的意义得到△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，整理得a2=b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．
27．已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积S△MCB．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式．
（2）可根据抛物线的解析式先求出M和B的坐标，由于三角形MCB的面积无法直接求出，可将其化为其他图形面积的和差来解．过M作ME⊥y轴，三角形MCB的面积可通过梯形MEOB的面积减去三角形MCE的面积减去三角形OBC的面积求得．
【解答】解：
（1）依题意：，
解得
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5
（2）令y=0，得（x﹣5）（x+1）=0，x1=5，x2=﹣1，
∴B（5，0）．
由y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，得M（2，9）
作ME⊥y轴于点E，
可得S△MCB=S梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC=（2+5）×9﹣×4×2﹣×5×5=15．
【点评】本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
甘肃省平凉市庄浪县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B． =2 C．x2+2x=x2﹣1 D．3（x+1）2=2（x+1）
2．下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A．y=1﹣x2 B．y=2（x﹣1）2+4 C．y=（x﹣1）（x+4） D．y=（x﹣2）2﹣x2
3．方程（x+1）（x﹣3）=5的解是（ ）
A．x1=1，x2=﹣3 B．x1=4，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣4，x2=2
4．把二次函数y=﹣x2﹣x+3用配方法化成y=a（x﹣h）2+k的形式时，应为（ ）
A．y=﹣（x﹣2）2+2 B．y=﹣（x﹣2）2+4 C．y=﹣（x+2）2+4 D．y=﹣（x﹣）2+3
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0
C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣
6．对抛物线：y=﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A．与x轴有两个交点 B．开口向上
C．与y轴的交点坐标是（0，3） D．顶点坐标是（1，﹣2）
7．以3和﹣1为两根的一元二次方程是（ ）
A．x2+2x﹣3=0 B．x2+2x+3=0 C．x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣2x+3=0
8．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1
10．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．144（1﹣x）2=100 B．100（1﹣x）2=144 C．144（1+x）2=100 D．100（1+x）2=144
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．方程2x2﹣1=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
12．若函数y=（m﹣3）是二次函数，则m= ．
13．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 ．
14．抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为 ．
15．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0，则m= ．
16．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为 ．
17．已知方程x2﹣3x+1=0的两个根是x1，x2，则：x12+x22= ．
18．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的点，F为CD边上的点，且AE=AF，AB=4，设EC=x，△AEF的面积为y，则y与x之间的函数关系式是 ．
三、解答题（共9小题，满分88分）
19．用适当的方法解一元二次方程：
（1）x2+3x﹣4=0
（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）
（3）x2﹣2x﹣8=0
（4）（x﹣2）（x﹣5）=﹣2．
20．用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
21．抛物线y=﹣2x2+8x﹣6．
（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
（2）x取何值时，y随x的增大而减小？
（3）x取何值时，y=0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0．
22．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
23．某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克．若销售价每涨1元，则月销售量减少10千克．
（1）要使月销售利润达到最大，销售单价应定为多少元？
（2）要使月销售利润不低于8000元，请结合图象说明销售单价应如何定？
24．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？
25．阅读下列例题：
解方程x2﹣|x|﹣2=0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1（舍去）．
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得x1=1（舍去），x2=﹣2．
∴x1=2，x2=﹣2是原方程的根．
请参照例题解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1=0．
26．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
27．已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积S△MCB．
甘肃省平凉市庄浪县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B． =2 C．x2+2x=x2﹣1 D．3（x+1）2=2（x+1）
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、ax2+bx+c=0当a=0时，不是一元二次方程，故A错误；
B、+=2不是整式方程，故B错误；
C、x2+2x=x2﹣1是一元一次方程，故C错误；
D、3（x+1）2=2（x+1）是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A．y=1﹣x2 B．y=2（x﹣1）2+4 C．y=（x﹣1）（x+4） D．y=（x﹣2）2﹣x2
【考点】二次函数的定义．
【分析】利用二次函数的定义，整理成一般形式就可以解答．
【解答】解：A、y=1﹣x2=﹣x2+1，是二次函数，正确；
B、y=2（x﹣1）2+4=2x2﹣4x+6，是二次函数，正确；
C、y=（x﹣1）（x+4）=x2+x﹣2，是二次函数，正确；
D、y=（x﹣2）2﹣x2=﹣4x+4，是一次函数，错误．
故选D．
【点评】本题考查二次函数的定义．
3．方程（x+1）（x﹣3）=5的解是（ ）
A．x1=1，x2=﹣3 B．x1=4，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣4，x2=2
【考点】解一元二次方程-公式法．
【专题】计算题．
【分析】首先把方程化为一般形式，利用公式法即可求解．
【解答】解：（x+1）（x﹣3）=5，
x2﹣2x﹣3﹣5=0，
x2﹣2x﹣8=0，
化为（x﹣4）（x+2）=0，
∴x1=4，x2=﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法．
4．把二次函数y=﹣x2﹣x+3用配方法化成y=a（x﹣h）2+k的形式时，应为（ ）
A．y=﹣（x﹣2）2+2 B．y=﹣（x﹣2）2+4 C．y=﹣（x+2）2+4 D．y=﹣（x﹣）2+3
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y=﹣x2﹣x+3=﹣（x2+4x+4）+1+3=﹣（x+2）2+4．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0
C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】存在型．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故选项A错误；
B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故选项B错误；
C、由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故选项C错误；
D、∵抛物线与x轴的两个交点分别是（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x=﹣==1，故选项D正确．
故选D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键．
6．对抛物线：y=﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A．与x轴有两个交点 B．开口向上
C．与y轴的交点坐标是（0，3） D．顶点坐标是（1，﹣2）
【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．
【专题】计算题．
【分析】根据△的符号，可判断图象与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x=0，可求图象与y轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．
【解答】解：A、∵△=22﹣4×（﹣1）×（﹣3）=﹣8＜0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；
B、∵二次项系数﹣1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；
C、当x=0时，y=﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），本选项错误；
D、∵y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2），本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了抛物线的性质与解析式的关系．关键是明确抛物线解析式各项系数与性质的联系．
7．以3和﹣1为两根的一元二次方程是（ ）
A．x2+2x﹣3=0 B．x2+2x+3=0 C．x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣2x+3=0
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】由题意，可令方程为（x﹣3）（x+1）=0，去括号后，直接选择C；
或把3和﹣1代入各个选项中，看是否为0，用排除法选择C；
或利用两根之和等于，和两根之积等于来依次判断．
【解答】解：以3和﹣1为两根的一元二次方程的两根的和是2，两根的积是﹣3，据此判断．
A、两个根的和是﹣2，故错误；
B、△=22﹣4×3=﹣8＜0，方程无解，故错误；
C、正确；
D、两根的积是3，故错误．
故选C．
【点评】本题解答方法较多，可灵活选择解题的方法．
8．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
【解答】解：x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
9．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．
【解答】解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），
所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键．
10．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．144（1﹣x）2=100 B．100（1﹣x）2=144 C．144（1+x）2=100 D．100（1+x）2=144
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：2012年的产量为100（1+x），
2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，
即所列的方程为100（1+x）2=144，
故选：D．
【点评】考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．方程2x2﹣1=的二次项系数是 2 ，一次项系数是 ﹣ ，常数项是 ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：方程2x2﹣1=化成一般形式是2x2﹣﹣1=0，
二次项系数是2，一次项系数是﹣，常数项是﹣1．
【点评】要确定一次项系数和常数项，首先要把法方程化成一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
12．若函数y=（m﹣3）是二次函数，则m= ﹣5 ．
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义解答．
【解答】解：∵y=（m﹣3）是二次函数，
∴，
解得m=﹣5．
故答案为﹣5．
【点评】本题考查了二次函数的定义，要知道，形如x+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
13．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 x＜﹣2或x＞8 ．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】先观察图象确定抛物线y1=ax2+bx+c和一次函数y2=kx+b（k≠0）的交点的横坐标，即可求出y1＞y2时，x的取值范围．
【解答】解：由图形可以看出：
抛物线y1=ax2+bx+c和一次函数y2=kx+b（k≠0）的交点横坐标分别为﹣2，8，
当y1＞y2时，x的取值范围正好在两交点之外，即x＜﹣2或x＞8．
故答案为：x＜﹣2或x＞8．
【点评】此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．
14．抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为 4 ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知抛物线的对称轴，利用对称轴公式可求b的值．
【解答】解：∵y=2x2﹣bx+3，对称轴是直线x=1，
∴=1，即﹣=1，解得b=4．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法：公式法：y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴是x=．
15．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0，则m= ﹣2 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．将x=0代入方程式即得．
【解答】解：把x=0代入一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0，得m2﹣4=0，即m=±2．又m﹣2≠0，m≠2，取m=﹣2．
故答案为：m=﹣2．
【点评】此题要注意一元二次方程的二次项系数不得为零．
16．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为 8 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】判别式法．
【分析】由抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2+8x+m=0，根的判别式△=b2﹣4ac=0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△=0，
∴b2﹣4ac=82﹣4×2×m=0；
∴m=8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了二次函数根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系．
17．已知方程x2﹣3x+1=0的两个根是x1，x2，则：x12+x22= 7 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据x1+x2=﹣，x1x2=，求出x1+x2=3，x1x2=1，再根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2即可求求出答案．
【解答】解：根据题意x1+x2=3，x1x2=1，
则x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣2=7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
18．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的点，F为CD边上的点，且AE=AF，AB=4，设EC=x，△AEF的面积为y，则y与x之间的函数关系式是 y=﹣x2+4x ．
【考点】正方形的性质；根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】根据正方形的性质可得AB=AD，再利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，然后求出CE=CF，再根据△AEF的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积列式整理即可得解．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴CE=CF，
∵CE=x，
∴BE=DF=4﹣x，
∴y=42﹣2××4×（4﹣x）﹣x2，
=﹣x2+4x，
即y=﹣x2+4x．
故答案为：y=﹣x2+4x．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．
三、解答题（共9小题，满分88分）
19．用适当的方法解一元二次方程：
（1）x2+3x﹣4=0
（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）
（3）x2﹣2x﹣8=0
（4）（x﹣2）（x﹣5）=﹣2．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）（3利用因式分解求得方程的解；
（2）移项，利用提取公式法因式分解求得方程的解即可；
（4）化为一般形式，利用因式分解法求得方程的解即可．
【解答】解：（1）x2+3x﹣4=0
（x+4）（x﹣1）=0
x+4=0，x﹣1=0
解得：x1=﹣4，x2=1；
（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）
3x（x﹣2）﹣2（2﹣x）=0
（3x+2）（x﹣2）=0
3x+2=0，x﹣2=0
解得：x1=﹣，x2=2；
（3）x2﹣2x﹣8=0
（x﹣4）（x+2）=0
x﹣4=0，x+2=0
解得：x1=4，x2=﹣2；
（4）（x﹣2）（x﹣5）=﹣2
x2﹣7x+12=0
（x﹣4）（x﹣3）=0
x﹣4=0，x﹣3=0
解得：x1=4，x2=3．
【点评】此题考查解一元二次方程的方法，根据方程的特点，灵活选用适当的方法求得方程的解即可．
20．用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（20﹣2x）．根据面积公式即可解答．
（2）把函数解析式用配方法化简，得出y的最大值．
【解答】解：（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（10﹣x）．
则y=x（10﹣x）化简可得y=﹣x2+10x
（2）y=10x﹣x2=﹣（x2﹣10x）=﹣（x﹣5）2+25，
所以当x=5时，矩形的面积最大，最大为25cm2．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，难度一般，重点要注意配方法的运用．
21．抛物线y=﹣2x2+8x﹣6．
（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
（2）x取何值时，y随x的增大而减小？
（3）x取何值时，y=0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0．
【考点】二次函数的三种形式；二次函数的性质．
【专题】计算题；配方法．
【分析】（1）根据配方法的步骤要求，将抛物线解析式的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标和对称轴；
（2）由对称轴x=﹣2，抛物线开口向下，结合图象，可确定函数的增减性；
（3）判断函数值的符号，可以令y=0，解一元二次方程求x，再根据抛物线的开口方向，确定函数值的符号与x的取值范围的对应关系．
【解答】解：（1）∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2，
∴顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x=2；
（2）∵a=﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小；
（3）令y=0，即﹣2x2+8x﹣6=0，解得x=1或3，抛物线开口向下，
∴当x=1或x=3时，y=0；
当1＜x＜3时，y＞0；
当x＜1或x＞3时，y＜0．
【点评】本题考查了抛物线的顶点坐标，与x轴的交点坐标的求法及其运用，必须熟练掌握．
22．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
【考点】二次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】本题只要计算大门顶部宽2.4米的部分离地面是否超过2.8米即可．如果设C点是原点，那么A的坐标就是（﹣2，﹣4.4），B的坐标是（2，﹣4.4），可设这个函数为y=kx2，那么将A的坐标代入后即可得出y=﹣1.1x2，那么大门顶部宽2.4m的部分的两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，因此将x=1.2代入函数式中可得y≈﹣1.6，因此大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是4.4﹣1.6=2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门．
【解答】解：根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），设这个函数为y=kx2．
将A的坐标代入，得y=﹣1.1x2，
∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，
∴将x=1.2代入函数式，得
y≈﹣1.6，
∴GH=CH﹣CG=4.4﹣1.6=2.8m，
因此这辆汽车正好可以通过大门．
【点评】本题主要结合实际问题考查了二次函数的应用，得出二次函数式进而求出大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是解题的关键．
23．某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克．若销售价每涨1元，则月销售量减少10千克．
（1）要使月销售利润达到最大，销售单价应定为多少元？
（2）要使月销售利润不低于8000元，请结合图象说明销售单价应如何定？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）设销售单价定为每千克x元，获得利润为w元，则可以根据成本，求出每千克的利润，以及按照销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，可求出销量．从而得到总利润关系式；
（2）先计算出y=8000时所对应的x的值，然后画出函数的大致图象，再根据图象回答即可．
【解答】解：（1）设销售单价定为每千克x元，获得利润为w元，则：
w=（x﹣40）[500﹣（x﹣50）×10]，
=（x﹣40）（1000﹣10x），
=﹣10x2+1400x﹣40000，
=﹣10（x﹣70）2+9000，
故当x=70时，利润最大为9000元．
答：要使月销售利润达到最大，销售单价应定为70元；
（2）令y=8000，则﹣10（x﹣20）2+9000=8000，
解得x1=10，x2=30．
函数的大致图象为：
观察图象当10≤x≤30时，y不低于8000．
所以当销售单价不小于60元而不大于80元时，商场获得的周销售利润不低于8000元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．
24．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】本题有多种解法．设的对象不同则列的一元二次方程不同．设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解．
【解答】解：解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，
根据题意，得（x﹣2）•（2x﹣4）=288，
∴2（x﹣2）2=288，
∴（x﹣2）2=144，
∴x﹣2=±12，
解得：x1=﹣10（不合题意，舍去），x2=14，
所以x=14，2x=2×14=28．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为xm．根据题意，得（x﹣2）•（x﹣4）=288．
解这个方程，得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=28．
所以x=28， x=×28=14．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
【点评】解答此题，要运用含x的代数式表示蔬菜种植矩形长与宽，再由面积关系列方程．
25．阅读下列例题：
解方程x2﹣|x|﹣2=0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1（舍去）．
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得x1=1（舍去），x2=﹣2．
∴x1=2，x2=﹣2是原方程的根．
请参照例题解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；绝对值．
【专题】阅读型．
【分析】参照例题，应分情况讨论，主要是|x﹣1|，随着x取值的变化而变化，它将有两种情况，考虑问题要周全．
【解答】解：（1）设x﹣1≥0原方程变为x2﹣x+1﹣1=0，
x2﹣x=0，
x1=0（舍去），x2=1．
（2）设x﹣1＜0，原方程变为x2+x﹣1﹣1=0，
x2+x﹣2=0，
解得x1=1（舍去），x2=﹣2．
∴原方程解为x1=1，x2=﹣2．
【点评】解本题时，应把绝对值去掉，对x﹣1正负性分类讨论，x﹣1≥0或x﹣1＜0．
26．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【考点】根的判别式；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据方程解的定义把x=﹣1代入方程得到（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，整理得a﹣b=0，即a=b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）根据判别式的意义得到△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，整理得a2=b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．
27．已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积S△MCB．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式．
（2）可根据抛物线的解析式先求出M和B的坐标，由于三角形MCB的面积无法直接求出，可将其化为其他图形面积的和差来解．过M作ME⊥y轴，三角形MCB的面积可通过梯形MEOB的面积减去三角形MCE的面积减去三角形OBC的面积求得．
【解答】解：
（1）依题意：，
解得
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5
（2）令y=0，得（x﹣5）（x+1）=0，x1=5，x2=﹣1，
∴B（5，0）．
由y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，得M（2，9）
作ME⊥y轴于点E，
可得S△MCB=S梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC=（2+5）×9﹣×4×2﹣×5×5=15．
【点评】本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
相关试卷
2023-2024学年甘肃省平凉市庄浪县七年级（上）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年甘肃省平凉市庄浪县七年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年甘肃省平凉市庄浪县八年级（上）期末数学试卷(含解析）： 这是一份2023-2024学年甘肃省平凉市庄浪县八年级（上）期末数学试卷(含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年甘肃省平凉市庄浪县九年级上学期期中数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年甘肃省平凉市庄浪县九年级上学期期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
