高中上教版（2020）3.2 对数单元测试课后复习题

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第3章 幂、指数与对数（B卷·能力提升练）

（时间：120分钟，满分：150分）

一、填空题(共54分)

1．(本题4分)（2022·上海浦东新·高一期末）计算：_______．

【答案】5

【分析】利用对数运算性质求解即可.

【详解】.

故答案为：

2．(本题4分)（2021·上海徐汇·高一期末）已知，化简 = __________

【答案】##

【分析】根据指数幂的运算法则即可计算.

【详解】.

故答案为：

3．(本题4分)（2022·上海杨浦·高一期末）里氏震级的计算公式为：，其中是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是，此时标准地震的振幅为，则此次地震的震级为_________级.

【答案】

【分析】将，代入等式计算即可得解.

【详解】将，代入等式得.

故答案为：.

4．(本题4分)（2021·全国·高一课时练习）若，，则0.12的算术平方根约等于______.

【答案】0.3464

【分析】由得出答案.

【详解】

故答案为：0.3464

5．(本题4分)（2021·上海市风华中学高三期中）方程的解为___________.

【答案】或.

【分析】求解一元二次方程可得，进一步求解指数方程得答案.

【详解】解：由，得，

即，解得，

∴或.

故答案为：或.

6．(本题4分)（2021·上海市第二中学高一期中）设方程的两个根分别为，则的值为________．

【答案】

【分析】将原方程变形为，求出方程的根相乘即可.

【详解】解：由得，

则或，

或，

.

故答案为：.

7．(本题5分)（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知，，用a、b表示______．

【答案】

【分析】根据给定条件用常用对数表示b，再利用换底公式及对数运算法则计算作答.

【详解】因，则，而，

所以.

故答案为：

8．(本题5分)（2022·上海交大附中高二期末）已知，若，则___________.

【答案】8

【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．

【详解】解：由，且

所以是方程的两根，

解得或，

又，所以，即，又

从而，且，则，．

所以.

故答案为：8.

9．(本题5分)（2022·上海金山·高一期末）若，则的最小值为______.

【答案】

【分析】利用对数的运算可得出，分析出，，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】因为，所以，，则，，

所以，，

因为，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为.

故答案为：.

10．(本题5分)（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）已知，则______;

【答案】3

【分析】由指对数关系可得，再应用对数的运算性质化简求目标式的值.

【详解】由题设，，

则.

故答案为：3

11．(本题5分)（2021·上海市桃浦中学高一期中）定义两个实数间的新运算“Δ”：（x，y∈R），对于任意的实数a，b，c，给出下列结论：（1）aΔb＝bΔa：（2）（aΔb）Δc＝aΔ（bΔc）；（3）（aΔb）+c＝（a+c）Δ（b+c）；（4）（a+b）Δc＝aΔc+bΔc，正确结论的序号是 ___．

【答案】（1）（2）（3）

【分析】根据新运算定义对结论一一分析即可．

【详解】由于，所以（1），正确；

（2），

,所以（2）正确；

（3），

，所以（3）正确；

（4），，

所以（4）错误．

故答案为：（1）（2）（3）

12．(本题5分)（2022·上海静安·模拟预测）在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数）

【答案】2.5##

【分析】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，

再根据题意求，利用指数、对数的运算性质化简即可求解.

【详解】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，则

由题意可知，，

，

所以

倍.

所以最大信息传递率C会提升到原来的倍.

故答案为：2.5

二、单选题(共20分)

13．(本题5分)（2020·上海市崇明中学高三期中）以下对数式中，与指数式等价的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据指数式和对数式的关系即可得出.

【详解】根据指数式和对数式的关系，等价于.

故选：A.

14．(本题5分)（2020·上海奉贤·高一期中）若，下列运算正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．

【详解】由，，，，知：

对于，，故正确；

对于，，故错误；

对于，，故错误；

对于，，故错误．

故选：．

15．(本题5分)（2022·上海杨浦·高一期末）设，下列计算中正确的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由指数的运算逐一判断即可.

【详解】，，，

故选：C

16．(本题5分)（2020·上海市川沙中学高一期中）设，则（    ）

A．3 B．1 C． D．

【答案】B

【分析】先求出，再利用换底公式和对数的运算法则计算求解.

【详解】因为，

所以，

则，

所以则.

故选：B.

三、解答题(共76分)

17．(本题12分)（2021·全国·高一课时练习）已知函数．当时，，且对任意都有，求实数、的值．

【答案】，

【分析】根据时，，可得，再根据二次不等式对恒成立，利用判别式即可求解.

【详解】由时，，可得，即，.

因为对任意都成立，

所以恒成立

所以

可得，

所以.

18．(本题14分)（2020·上海奉贤·高一期中）每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”.声强级是表示声强度相对大小，其值为（单位），定义，其中为声场中某点的声强度，其单位为m2（瓦/平方米）m2为基准值.

（1）如果一辆小轿车内声音是50，求相应的声强度;

（2）如果飞机起飞时的声音是120，两人正常交谈的声音是60，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍?

【答案】（1）；（2）倍．

【分析】（1）直接把代入，求得得结论；

（2）分别求出声音是120和60的声强度，作比得结论．

【详解】（1）由，得，

即．

故声音是，相应的声强度是；

（2）设声音是的声强度为，

则，即，

设声音是的声强度为，

则，即，

．

前者的声强度是后者的声强度的倍．

19．(本题16分)（2021·上海市甘泉外国语中学高一期中）已知关于x的方程，试解

(1)当是方程的一个解时，求实数a的值；

(2)当方程只有一解时，求实数a的值．

【答案】(1)或

(2)或.

【分析】（1）由题可得，解之即得；

（2）由题可得，解之即得.

(1)

∵是方程的一个解，

∴即，

解得或，

∴或.

(2)

∵只有一解，

当时，2=0，显然不成立，

当时，，

∴解得或，

∴或.

故实数a的值为或.

20．(本题16分)（2021·上海市复兴高级中学高一期中）（1）当时，解关于x的方程；

（2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围；

（3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围

【答案】（1）；（2）或；（3）

【分析】（1）解对数方程，其中；（2）有意义，要求真数大于0；（3）通过化简变为有且仅有一个解，对进行分类讨论，注意变形中的真数要始终成立，所以要检验.

【详解】（1）∵

∴

∴

（2）对数有意义，则，解得：或，

所以实数x的取值范围为或；

（3）

即

=①

方程两边同乘x得：

即②

当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求

当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求

当且时方程②的解为或，

若是方程①的解，则，即

若是方程①的解，则，即

则要使方程①有且仅有一个解，则

综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是

21．(本题18分)（2020·上海奉贤·高一期中）我们知道当时，对一切恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究.

（1）当时，求的值

（2）当时，求证：是不存在的；

（3）求证：只有一对正整数对使得等式成立.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【分析】（1）当时，，整理后将指数式化为对数式即可求解；

（2）由题意求得的表达式，令，然后分类和讨论即可求证；

（3）将，分离到等式的两侧，然后讨论左右两侧的值即可证得题中的结论.

【详解】（1）当时，，即，所以，

（2）设，因为，所以，且，

当时，，不成立；

当时，，由可得，

因为，，，所以不成立，

综上所述：当时，是不存在的；

（3）由可得，

当，均为正整数时，等号左侧为的指数幂，故右侧也是的指数幂，

所以，即时符合题意，此时，

所以只有一对正整数对使得等式成立.