统考版高中数学（文）复习1-2命题及其关系、充分条件与必要条件学案

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

·最新考纲·

1．理解命题的概念．

2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．

·考向预测·

考情分析：命题的真假判断和充分必要条件仍是高考热点，题型仍为选择、填空题．

学科素养：通过四种命题的关系及充分、必要条件的判断考查逻辑推理的核心素养．

必备知识——基础落实　赢得良好开端

一、必记3个知识点

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句叫做命题，其中________的语句叫做真命题，________的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．

3．充分条件、必要条件与充要条件

二、必明2个常用结论

1．四种命题间的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同．

(2)两个命题互为逆命题或者互为否命题，它们的真假性没有关系．

2．充分条件与必要条件的两个特征

(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．

(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q，且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q，且q⇐r”⇒“p⇐r”)．

三、必练4类基础题

(一)判断正误

1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)“x－3>0”是命题．(　　)

(2)一个命题非真即假．(　　)

(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则¬q”．(　　)

(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　　)

(5)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)

(6)命题“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　)

(二)教材改编

2．[选修2－1·P8习题A组T2改编]命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是(　　)

A．若a≤b，则a＋c≤b＋c

B．若a＋c≤b＋c，则a≤b

C．若a＋c>b＋c，则a>b

D．若a>b，则a＋c≤b＋c

3．[选修2－1·P10练习T3改编]“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(三)易错易混

4．(对命题中条件与结论否定不全面)“－<x<3”的一个必要不充分条件是(　　)

A．－<x<3    B．－1<x<6

C．－<x<0    D．－3<x<

5．(忽视大前提)已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________________________________________________________________________．

6．(忽视等号的选取)已知p：x>a，q：x≥2.

(1)若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________；

(2)若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

(四)走进高考

7．[2021·浙江卷]已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

关键能力——考点突破　掌握类题通法

考点一　命题及其关系　[基础性]

1．已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a不是正数，则它的平方等于0，则q是p的(　　)

A．逆命题     B．否命题

C．逆否命题     D．否定

2．对于命题“单调函数不是周期函数”，下列说法正确的是(　　)

A．逆命题为“周期函数不是单调函数”

B．否命题为“单调函数是周期函数”

C．逆否命题为“周期函数是单调函数”

D．以上都不正确

3．下列命题中为真命题的是(　　)

A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程

B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点

C.互相包含的两个集合相等

D．空集是任何集合的真子集

反思感悟

判断命题真假的方法

(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

(2)间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假．

[提醒]　写一个命题的其他三种命题时，需注意：

(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．

考点二　充分条件与必要条件的判定　[综合性]

[例1]　(1)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)[2020·北京卷]已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

反思感悟

充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．

(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．

【对点训练】

1．[2023·合肥市质量检测]“x>0”是“>－2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

考点三　充分、必要条件的应用　[应用性]

[例2]　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围．

一题多变

1．(变条件)例2条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由．

2．(变条件)若例2变成设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

反思感悟

1．根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键

(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系．

(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．

2．解题时要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

【对点训练】

设p：ln (2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

微专题❷  等价转化思想在充要条件中的应用

等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．

[例]　设p：|4x－3|≤1；q：a≤x≤a＋1，若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)

A．

B．

C．(－∞，0]

D．(－∞，0)

解析：设A＝{x||4x－3|≤1}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，则A＝，又¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即AB，

∴或

故所求实数a的取值范围是.

答案：A

名师点评

本例将“¬p是¬q的必要而不充分条件”转化为“p是q的充分而不必要条件”；将p、q之间的条件关系转化为相应集合之间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用．

[变式训练1]　王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)

A．充分条件

B．必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[变式训练2]　命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　)

A．a≥4    B．a>4

C．a≥1    D．a>1

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

积累必备知识

一、

1．判断真假　判断为真　判断为假

2．(1)若q，则p　若¬p，则¬q　若¬q，则¬p　(2)相同　没有关系

3．充分　必要　充分不必要　真子集

必要不充分　真子集　充要　A＝B

既不充分也不必要　包含

三、

1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√

2．解析：命题的否命题是将原命题的条件、结论都否定，故题中命题的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．

答案：A

3．解析：若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.

答案：B

4．解析：依题意可知选项中的x的取值范围－<x<3，但－<x<3⇒选项中的x的取值范围，所以选项中的x的取值范围要比－<x<3的范围大，故“－<x<3”的一个必要不充分条件是－1<x<6.

答案：B

5．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0.

6．解析：(1)因为p是q的充分不必要条件，所以{x|x>a}{x|x≥2}，则实数a的取值范围是a≥2.

(2)因为p是q的必要不充分条件，所以{x|x≥2}{x|x>a}，则实数a的取值范围是a<2.

答案：(1)a≥2　(2)a<2

7．解析：若a·c＝b·c，则(a－b)·c＝0，推不出a＝b；若a＝b，则a·c＝b·c必成立，故“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．

答案：B

提升关键能力

考点一

1．解析：“正数a的平方不等于0”即“若a是一个正数，则它的平方不等于0”，其否命题为“若a不是正数，则它的平方等于0”．故选B.

答案：B

2．解析：根据四种命题的构成可知，选项A，B，C均不正确．故选D.

答案：D

3．解析：A是假命题，当m＝0时，mx2＋2x－1＝0不是一元二次方程；B是假命题，当a＝－2时，抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴无交点；C是真命题，即若A⊆B，B⊆A则A＝B；D是假命题，空集是任何非空集合的真子集．

答案：C

考点二

例1　解析：(1)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l＝A，l＝B，m＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内．

(2)若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，则当k＝2n(n∈Z)，α＝2nπ＋β，有sin α＝sin (2nπ＋β)＝sin β；当k＝2n＋1(n∈Z)，α＝(2n＋1)π－β，有sin α＝sin [(2n＋1)π－β]＝sin β.若sin α＝sin β，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z)．

答案：(1)B　(2)C

对点训练

1．解析：由>－2，得>0，解得x>0或x<－，所以“x>0”是“>－2”的充分不必要条件．

答案：A

2．解析：因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以¬p：x＋y＝－2，¬q：x＝－1且y＝－1，因为¬q⇒¬p，但¬p¬q，所以¬q是¬p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．

答案：A

考点三

例2　解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}．

∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.

∴解得m≤3.

又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.

综上，m的取值范围是[0，3].

一题多变

1．解析：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．

若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴∴

这样的m不存在．

2．解析：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．

∵¬p是¬q的必要不充分条件，

p是q的充分不必要条件．

∴p⇒q且qp，即PS.

∴或

∴m≥9，又因为S为非空集合，

所以1－m≤1＋m，解得m≥0，

综上，实数m的取值范围是[9，＋∞)．

对点训练

解析：p对应的集合A＝{x|y＝ln (2x－1)≤0}＝，q对应的集合B＝{x|(x－a)[x－(a＋1)]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}．

由q是p的必要而不充分条件，知AB.

所以a≤且a＋1≥1，因此0≤a≤.

答案：

微专题❷　等价转化思想在充要条件中的应用

变式训练1

解析：“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要而不充分条件．

答案：B

变式训练2

解析：要使“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a>4是命题为真的充分不必要条件．

答案：B