高考数学统考一轮复习第1章集合常用逻辑用语不等式第2节命题及其关系充分条件与必要条件学案

　命题及其关系、充分条件与必要条件

[考试要求]　1.理解命题的概念.

2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.

3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

提醒：在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0,2,4.

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且BA，

A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且AB，

弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．

1．等价转化法判断充分条件、必要条件

p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．

2．充分、必要条件与集合的子集之间的关系

设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．

(3)若A＝B，则p是q的充要条件．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

　(1)“x2＋2x－3<0”是命题． (　　)

(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”． (　　)

(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (　　)

(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、教材习题衍生

1．下列命题是真命题的是(　　)

A．矩形的对角线相等

B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

C．若整数a是素数，则a是奇数

D．命题“若x2＞0, 则x＞1”的逆否命题

A　[令a＝c＝0，b＝d＝－1，则ac＜bd，故B错误；当a＝2时，a是素数但不是奇数，故C错误；取x＝－1，则x2＞0，但x＜1，故D错误．]

2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是(　　)

A．“若x＜y，则x2＜y2” B．“若x＞y，则x2＞y2”

C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”

C　[根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C．]

3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

B　[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B．]

4．命题“若α＝，则sin α＝”的逆命题为________命题，否命题为________命题．(填“真”或“假”)

假　假　[若α＝，则sin α＝的逆命题为“若sin α＝，则α＝”是假命题；否命题为“若α≠，则sin α≠”是假命题．]

考点一　命题及其关系                        

1．命题“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x＝y＝0”的逆否命题是(　　)

A．若x≠y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2＝0

B．若x＝y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0

C．若x≠0且y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0

D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0

D　[x2＋y2＝0的否定为x2＋y2≠0，x＝y＝0的否定为x≠0或y≠0，因此逆否命题为“若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0，”故选D．]

2．给出命题：若a＞－3，则a＞6.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　　)

A．3    B．2    C．1    D．0

B　[原命题是假命题，则其逆否命题也是假命题．其逆命题“若a＞6，则a＞－3”是真命题，则其否命题为真命题，因此真命题的个数为2，故选B．]

3．下列命题为假命题的是(　　)

A．命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题

B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的否命题

C．命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题

D．命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题

D　[对于A，逆命题“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题．

对于B，逆命题“若x＞|y|，则x＞y”为真命题，从而否命题也为真命题．

对于C，由Δ＝4－4m≥0知，原命题正确，从而逆否命题正确．

对于D，由A∩B＝B知，B⊆A，则原命题错误，从而逆否命题错误，故选D．]

点评：在判断一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假时，只需判断原命题和它的逆命题的真假即可．

考点二　充分、必要条件的判定                

[典例1]　(1)设p：x<3，q：－1<x<3，则q是p成立的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

(2)(2019·浙江高考)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

(3)设a，b∈R，则“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

(1)B　(2)A　(3)B　[(1)p：x<3，q：－1<x<3，可得q⇒p，而p推不出q.

则q是p成立的充分不必要条件．故选B．

(2)由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5＞4，不满足a＋b≤4，必要性不成立．故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，选A．

(3)(等价转化法)问题转化为判断“a＋b＝3”是“a＝1且b＝2”的什么条件．由a＋b＝3a＝1且b＝2，反之，a＝1且b＝2⇒a＋b＝3，因此“a＋b＝3”是“a＝1且b＝2”的必要不充分条件，从而“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的必要不充分条件，故选B．]

点评：判断充要条件时，要双向推导，说明推不出时，可恰当取特殊值作反例．

1．已知a，b都是实数，那么“3a＞3b”是“a3＞b3”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

C　[3a＞3b⇒a＞b⇒a3＞b3，反之a3＞b3⇒a＞b⇒3a＞3b，因此3a＞3b是a3＞b3的充要条件，故选C．]

2．设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

A　[由＜得0＜x＜1，由x3＜1得x＜1，

因为0＜x＜1⇒x＜1，但x＜10＜x＜1，

所以“＜”是“x3＜1”的充分不必要条件，故选A．]

考点三　充分条件、必要条件的探求与应用    

　充分条件、必要条件的探求

[典例2－1]　不等式x(x－2)＜0成立的一个必要不充分条件是(　　)

A．x∈(0,2)   B．x∈[－1，＋∞)

C．x∈(0,1)   D．x∈(1,3)

B　[解不等式x(x－2)＜0得0＜x＜2，因此x∈(0,2)是不等式x(x－2)＜0成立的充要条件，则所求必要不充分条件应包含集合{x|0＜x＜2}，故选B．]

　利用充分、必要条件求参数的取值范围

[典例2－2]　已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．

[0,3]　[由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

又S为非空集合，

则

∴0≤m≤3.

即所求m的取值范围是[0,3]．]

1．命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)

A．a≥9   B．a≤9

C．a≥10   D．a≤10

C　[由题意知，a≥x2对x∈[1,3]恒成立，则a≥9.

因此a≥10是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件，故选C．]

2．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是(　　)

A．a＋b＞0   B．a－b＞0

C．ab＞1   D．＞1

A　[a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，但a＋b＞0a＞0，b＞0.

因此a＋b＞0是a＞0，b＞0的一个必要不充分条件，故选A．]

3．设p：1＜x＜2；q：(x－a)(x－1)≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．

[2，＋∞)　[由题意知{x|1＜x＜2}{x|(x－a)(x－1)≤0}，则a＞1，即{x|1＜x＜2}{x|1≤x≤a}，从而a≥2.]