中考数学三轮冲刺考前过关练习专题10 三角形（教师版）

专题10 三角形

一．选择题

1．（2020•鹿城区校级二模）如图，在中，，点在边上，过点作交于点，连结，，若，则线段的长为　　

A． B． C． D．

【解析】，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

故选：．

2．（2020•郑州二模）将一副直角三角板和如图放置（其中，，使点落在边上，且，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解析】，，

，，

，

，

．

，

故选：．

3．（2020•昆山市二模）如图，直线直线，中，，顶点在上，顶点在上，且平分，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解析】，，

，

，

∵直线直线，

，

平分，

，

∵直线直线，

，

故选：．

4．（2020•碑林区校级模拟）如图，中，是边上的中点，平分，于点，若，．则的长为　　

A．10 B．11 C．12 D．13

【解析】延长交于，如图所示：

于点，

，

平分，

，

在和中，

，

．

，，

是边上的中点，

为的中位线，

，

．

故选：．

5．（2020•襄州区模拟）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？丈尺）　　

A．3 B．5 C．4.2 D．4

【解析】如图所示：

由题意得：，

设折断处离地面的高度是尺，

由勾股定理得：，

解得：，

即：折断后的竹子高度为4.2尺．

故选：．

6．（2020•朝阳区模拟）如图，在中，，，点是的中点，交于点．若，则的面积为　　

A． B． C． D．

【解析】在中，，，

，

∵点是的中点，，

，，

，

过作于，

是等腰直角三角形，

，

，

，

，

，

，

的面积，

故选：．

7．（2020•哈尔滨模拟）如图，是的角平分线，，是的中点，交于点，且，若，则的长为　　

A．10 B．9 C．8 D．6

【解析】如图作于，于，在上截取，

平分，

，

，

设，

，

，

，，

，，

在和中，

，

，

，，

，

，

，

，设，

则有，

，

，

故选：．

8．（2020•岳麓区校级二模）中，，点为外一点，且，为的平分线，当，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是　　

A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

【解析】，，

，且，

，

，

点，点，点，点四点共圆，

，故①符合题意，

，，

为的平分线，

，

，

，故②不合题意，

如图，延长至，使，在上截取，连接，

，，，

，，

，

，

，

，

，故③符合题意，

，，

，

，，，

，

，

，

，

，

，故④符合题意，

故选：．

9．（2020•河北模拟）如图，中，，，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接交于点，则以下结论：

①； ②；

③； ④与的面积比是：

其中正确结论是　　

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【解析】如图，设．

在中，，，，

，，

平分，，，

，，

是钝角，，

，故①错误，

，

，

显然，故②错误，

，，垂直平分线段，故③正确，

，故④正确，故选：．

二．填空题

10．（2020•义乌市模拟）如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作等腰直角三角形，其中，连结，则长为__________．

【解析】，，

，

，

，

，

，

又，，

，

，

故答案为：．

11．（2020•顺义区二模）如图，中，，在外取点，，使，，且，连结．若，，则__________．

【解析】，

，

，

，即，

，，

，

故答案为：5．

12．（2020•滨海新区一模）如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上，为的中点，则的长等于__________．

【解析】延长、交于点，

，，

由勾股定理可知：，

平分，

，

，

．

是等腰三角形，

，，

，

，

是的中点，

，

，

故答案为：．

13．（2020•天河区一模）如图，在正方形中，对角线，交于点，点，分别在，上，且，交于点，连接．得到下列四个结论：①；②；③；④四边形是菱形，其中正确的结论是__________．（填写所有正确结论的序号）

【解析】四边形是正方形，

，

由，可得：，

故①正确；

，

，，

又，

，

，

故②错误；

，

，

，

，，

．

，

，

，

，

，

，

四边形是菱形，故④正确；

∵四边形是菱形，

，

，

为等腰直角三角形，

，

，

为等腰直角三角形，

，

③正确．

综上，正确的有①③④．

故答案为：①③④．

14．（2020•武汉模拟）已知中，，，过其中一个顶点的直线把分成两个等腰三角形，则的值为__________．

【解析】①如图1，

当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则，，

设，

则，，

，

，

，

解得，

则的值为；

②如图2，

，，

设，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

解得，

则的值为．

③如图3，

当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有，，

设，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

解得，

则的值为．

④如图4，

当，时，也符合，

，，

，，

则，

解得．

则的值为或或或．

故答案为：或或或．

15．（2020•乐平市一模）如图，是边长为8的等边三角形，点从点出发，沿向终点运动．作，、的中点分别是、．点全程运动过程中，扫过的面积为__________．

【解析】如图，当与重合时，、都在点上，

当与重合时，与重合，

所以点全程运动过程中，扫过的图形是，

，，

，

扫过的面积为；

故答案为：．

16．（2020•广饶县一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边与轴负半轴的夹角为，若的面积是50，则点的坐标为__________．

【解析】如图，分别过、作轴，轴，垂足分别为、，过作于．

由，可得，

，，

的面积是50，

，，

，

，

，

设，则，，，

，

，

，

，，

，

故答案为：，．

17．（2020•河南模拟）如图，在中，，，，是边上的中点，是边上任意一点，且，若点关于直线的对称点恰好落在的中位线上，则　　．

【解析】在中，，，，则由勾股定理知．

取、的中点、，连接、、．

如图1中，当点落在上时，设，

由题意可知：，，，，

在中，，

，

解得．

如图2中，当点落在上时，设，

在中，，，

，

，，

，

，

△，

，

，

．

如图3中，当点落在直线上时，易证四边形是正方形，可得．

，

此时点在中位线的延长线上，不符合题意．

综上所述，满足条件的线段的长为或．

故答案为：或．

18．（2020•新疆模拟）如图，在中，，，点为中点，点在边上，连接，过点作交于点．连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是__________（填写所有正确结论的序号）．

【解析】，，点为中点，

，，，，

，

，

，且，，

，

，

，且，

，故①正确；

，

，

，

，故②错误；

，

，

，故③正确；

，且，

当时，的最大值，

，故④正确，

故答案为：①③④

三．解答题

19．（2020•沈河区二模）如图，在中，，，点是内部一点，连接，作，，垂足分别为点，．

（1）求证：；

（2）若，，则的周长是__________．

【解析】（1）证明：，，

，

．

，

．

在和中，

，

；

（2）解：，，，

，．

由勾股定理得：，

的周长为：，

故答案为：30．

20．（2020•宁波模拟）如图，中，，在上，又在的中垂线上，点在的延长线上，点在上，．

（1）求证：．

（2）若平分，求的度数．

【解析】（1）点在的中垂线上，

，

，且，，

；

（2），

，

平分，

，

，

，

，，

，

，

，

，

．

21．（2020•滨湖区一模）如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作，，垂足分别为、．

（1）求证：；

（2）若，，求的周长．

【解析】（1）证明：连接、．

平分，，，

．

在的中垂线上，

．

在与中，

，，

．

．

（2）解：由（1）知，

又，

．

．

又，

的周长．

答：的周长为16．

22．（2020•安徽一模）如图，是的切线，，是的半径，且，连接交于点，点恰为的中点，连接并延长，交于点．

（1）求的度数；

（2）求的值．

【解析】（1），

，．

又，

，

，，

，

．

是的切线，

，

，

，

，

．

（2）设，则．

在中，，则，

，

．

23．（2020•宁波模拟）定义：如果一个三角形一边上的中线与这条边上的高线之比为，那么称这个三角形为“神奇三角形”．

（1）已知：中，．

①当时，求证：是“神奇三角形”；

②当时，且是“神奇三角形”，求的值；

（2）如图，在中，，是边上的中线，若，求证：是“神奇三角形”．

【解析】（1）①证明：如图，作边上的中线，

设，则，

，

，

，

是“神奇三角形”；

②当边上的中线与边上的高的比为时，

设，，

，

，

，

，不合题意，舍去；

同理，当边上的中线与边上的高的比为时，也不符合题意，舍去；

当边上的中线与边上的高的比为时，

当时，如图，作边上的中线，作边上的高线，

设，，则，

，

，

，

，

当时，如图，作边上的中线，作边上的高线，

同理可得，．

综合可得的值为或．

（2）证明：如图，作于点，于点，交于，连接，

，

是的中点，

是边上的中线，

点是的重心，

，

是的垂直平分线，

，

，

，

即，

，

，

是“神奇三角形”．

24．（2020•余杭区一模）如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接过点作，交于点．

（1）若，，求度数；

（2）若点是的中点，连接，求证：．

【解析】（1）由题意可得，

，

，

，

，

，

；

（2），点 是 的中点，

，，

，

，

，

，

．

25．（2020•包河区一模）已知：如图1，中，，，为中线，点为边上一点，，于点，于点．

（1）的长为__________；

（2）求的值；

（3）如图2，连接，求证：．

【解析】（1）如图1，作于点，

，，

，

，，

，

；

故答案为：．

（2），

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

．

（3）如图2，过点作交延长线于点，

，，

又，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

26．（2020•沙坪坝区校级一模）在中，且，．

（1）如图1，若为等边三角形，，求的长；

（2）如图2，作，求证：；

（3）如图3，作，当点与点重合时，连接，请直接写出与之间的数量关系．

【解析】（1）为等边三角形，

，

，

，

，

过点作于点，

为等腰直角三角形，

在等边中，，

．

（2）证明：过点作于点，设，

，

，

，

，

，

，

平分，

，，

在和中，

，

，

，

，

，，

，

又，

，

，

为等腰直角三角形，

．

．

（3）与之间的数量关系为．

过点作于点，过点作于点，

设，由（2）可知，，，

，，

，

，，，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

．

，

，

，

，

，

，

．

．

即与之间的数量关系为．

27．（2020•皇姑区二模）已知是等边三角形，点为平面内一点，连接、，．

（1）如图①，当点在下方时，连接，延长到点，使，连接．

①求证：；

②如图②，过点作于点，直接写出线段、、间的数量关系；

（2）若，，直接写出点到直线的距离．

【解析】证明：（1）①是等边三角形，

，，

，，

，

，

，

又，，

；

②，

，，

，

，

是等边三角形，

，

，，

，，

，

，

；

（2）如图②，若点在下方时，

，

点到直线的距离点到直线的距离，

设，则，

，

，

，（舍去），

，

如图3，若点在上方时，过点作交延长线于，过点作于，过点作，交的延长线于，

，，

，，，，，

，，

，，，

，，

又，

，

，

，

，

综上所述：点到直线的距离为或．