中考数学三轮冲刺考前过关练习专题11 四边形（教师版）

专题11 四边形

一．选择题

1．（2020•滨海新区一模）如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长等于　　

A．6 B．8 C． D．

【解析】四边形是矩形，

，，，

，

，

是等边三角形，

，

，

故选：．

2．（2020•盐田区二模）如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，．给出结论：①；②；③；④若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，有最小值．其中结论正确的是　　

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

【解析】如图，延长交的延长线于点，

∵点是的中点，

，

，

，，

，

，

又，

，

绕点顺时针旋转得到，

，，

，故①正确；

，

，，

，

，

，

，故②正确；

如图，连接，过点作于点，过点作于，交于，连接，

，，，

四边形是矩形，

，，

，

点在上运动，

当时，有最小值，

，，

的最小值，故④正确；

，，，

，

，

，

是梯形的中位线，

，

，，

，

，，

，，

，

又，，

，

，

，

，

，

，故③错误；

故选：．

3．（2020•宁波模拟）如图，在矩形中，，分别是，的中点，，则的长为　　

A．6 B．5 C．4 D．3

【解析】如图，连接，

∵四边形是矩形，，

，分别是，的中点，，故选：．

4．（2020•周村区一模）如图，有两张矩形纸片和，，．把纸片交叉叠放在纸片上，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合．当两张纸片交叉所成的角最小时，等于　　

A． B． C． D．

【解析】如图，∵四边形和四边形是矩形，

，，

，且，，

，

，且四边形是平行四边形，

四边形是菱形，，

，

当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小，

设，则，

，，，

，故选：．

5．（2020•高唐县一模）如图，的周长为32，对角线、相交于点，点是的中点，，则的周长为　　

A．14 B．15 C．18 D．21

【解析】四边形是平行四边形，，，，

的周长为32，，

∵点是的中点，，是的中位线，

，，

的周长；

故选：．

6．（2020•扬中市模拟）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，．，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点，之间的距离最短为　　

A． B． C．4 D．3

【解析】连接、．

∵四边形，四边形是菱形，，，，

，分别是对角线，的中点，，，

，

设，则，，，

，

时，有最小值，最小值为，故选：．

7．（2020•龙华区二模）如图，已知四边形是边长为4的正方形，为上一点，且，为射线上一动点，过点作于点，交直线于点．则下列结论中：①；②若，则；③当时，；④的最小值为．其中正确的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解析】连接，过作于，

则，

，

，

，

，

，

，

，

，故①正确；

，

，

，，

，

，

，

；故②正确；

连接，

，

点，，，四点共圆，

，

，

，

同理当运动到点右侧时，此时，且四点共圆，，故此时．因此或7，故③错误；

取 的中点，连接，，

，

，

点在以为圆心，为直径的圆上，

当最小时，的值最小，

，

的最小值，

，，

的最小值为，故④错误，

故选：．

8．（2020•庆云县一模）如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点．下列结论：

①平分；②；③是的中点；④；

⑤，其中正确的有　　

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

【解析】，，

，，

将绕点逆时针旋转，

，，，，，

，，

又，

四边形是矩形，

，，，

，，

，

，，，

平分，故①正确；

，，

，

，

，，

，

，故②正确；

如图，连接，

，

，

，

，，

，

，，

，，

，

，

点是的中点，故③正确，

如图，过点作于，

，

，

，

，

，，

，

，，

，

，

，

，故④正确；

，，

，

，

，故⑤不合题意，

故选：．

二．填空题

9．（2020•顺平县一模）如图，中，，．于点，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，到点停止，设点的运动时间为．

（1）__________；

（2）若是等腰三角形，则的值为__________．

【解析】（1），，，，

，

，，故答案为：4；

（2）当点在边上时，

是等腰三角形，，，，

∵四边形是平行四边形，，，

，；

当点在上时，

是等腰三角形，，

，，

，，，，解得，；

由上可得，的值是2或，故答案为：2或．

10．（2020•成都模拟）如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，点在的延长线上且，连接，过点作交延长线于点，连接并延长交的延长线于点，则__________．

【解析】作于，于，

∵四边形为矩形，

，，

，，

∵点为的中点，

，，，，

，

，

在中，，

，，

，又，

，

，即，

解得，，

，

，

、、、四点共圆，

，又，

，

，

故答案为：．

11．（2020•海门市一模）如图，正方形的边长为6，点在延长线上，，作交延长线于点，则的长为__________．

【解析】如图，在上截取，连接．

，，

，．

，

即．

又，

．

，

．

，

设，

，，

，，

，

，

，

解得，，

，

故答案为：10．

12．（2020•顺德区三模）如图，分别以的边、为一边向外做正方形和正方形，连结、交于点，连结和．在不添加任何辅助线和字母的前提下，写出四个不同类型的结论__________．

【解析】，，，平分，（答案不唯一）

理由如下：如图，连接，

正方形和正方形，

，，，

，

，

，，

，

点，点，点，点四点共圆，

，，

，，

，

平分．

13．（2020•道里区二模）在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为__________．

【解析】过点作于，

，，

，，

在中，，

，

的面积，

故答案为：．

14．（2020•亭湖区二模）如图，在四边形中，，，，，是上一点，且，，则__________．

【解析】过作交的延长线于，延长到使，

，，

，

，

四边形是矩形，

，

四边形是正方形，

，

在和中，，

，

，，

，

，

，

在和中，，

，

，

设，

，，

在中，，

即，

解得

即，

故答案为：10．

15．（2020•娄星区一模）如图，正方形的对角线相交于点，过点任意作一条直线，分别交、于点、，若正方形的对角线长为，则图中阴影部分的面积是__________．

【解析】∵四边形是正方形，对角线，

正方形的边长为1，

∵依据已知和正方形的性质及全等三角形的判定可知，

则得图中阴影部分的面积为正方形面积的，

因为正方形的边长为1，

则其面积为1，

于是这个图中阴影部分的面积为．

故答案为：．

16．（2020•新北区一模）已知在菱形中，，，，，，则菱形的边长__________．

【解析】连接，过作交的延长线于，

，

，

四边形是平行四边形，

，

四边形是菱形，

，

，

，

，

过作交的延长线于，

，

，

，

，

，

，

在菱形中，，

是等边三角形，

，

故答案为：．

17．（2020•温州模拟）如图，四边形，均为菱形，，连结，，，，若，菱形的周长为12，则菱形的周长为__________．

【解析】四边形，均为菱形，，

，

，

，，

，

，，

连接交于，交于，延长交于，

，，

，，

四边形是矩形，

，，

，

，，，

，，

，，

∵菱形的周长为12，，

，，

过作于，，，，

，

设，，

，

，，．

菱形的周长为，故答案为：．

三．解答题

18．（2020•宁乡市一模）如图，点在的内部，，．

（1）求证；

（2）若的面积为，求四边形的面积．

【解析】（1）∵四边形是平行四边形，

，，

，

，

，

，

同理得，

在和中，

，

；

（2）点在内部，

，

由（1）知：，

，

，

的面积为，

四边形的面积为．

19．（2020•上虞区模拟）如图，矩形的四个顶点在正的边上，已知正的边长为2，记矩形的面积为，边长为．求：

（1）关于的函数表达式和自变量的取值范围；

（2）当时，的值．

【解析】（1）在矩形中，，则，

是等边三角形，

，

正的边长为2，

，

在中，，

，

，

即关于的函数表达式为，

自变量的取值范围为；

（2）当时，，

解得．

20．（2020•建瓯市模拟）如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点．

（1）求；

（2）判断是否平分，并说明理由；

（3）连接，不添加辅助线，试证明，直接写出一种经过两次变换的方法使得与重合．

【解析】（1），

，

在中，

，

，

；

（2）平分，理由如下：

在中，，，

，

，

，

，

平分；

（3），，

，，

在中，，

，

，

，

，

，

在中，，

，

，

，

，，

在和中，，

，

变换的方法为：①将绕点顺时针旋转和重合，再沿折叠；

②将以过点垂直于的直线折叠，再绕点逆时针旋转．

21．（2020•李沧区一模）如图，是的边的中点，，，与相交于点，连接，．

（1）求证：；

（2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由．

【解析】（1）证明：，，

四边形是平行四边形，

，

是的边的中点，

，

；

（2）解：当满足是直角三角形，时，四边形是菱形；理由如下：

由（1）得：，，

四边形是平行四边形，

，是的边的中点，

，

四边形是菱形．

22．（2020•秦淮区一模）如图，在中，是的中点．作，且使，连接，与交于点．

（1）求证；

（2）连接、，要使四边形是菱形，的边或角需要满足什么条件？证明你的结论．

【解析】（1）证明：是的中点，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

；

（2）解：当（或时，四边形是菱形；理由如下：

如图2所示：

是的中点，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

由（1）得，四边形是平行四边形，

，

当时，，

，即，

四边形是菱形．

23．（2020•斗门区二模）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求菱形的周长和对角线的长．

【解析】（1）证明：四边形是矩形，

，，，

，．

是的垂直平分线

，

在和中，，

，

．

，

四边形是平行四边形．

，

四边形是菱形．

（2）解：设，则．

在中，由勾股定理得：，

解得：．即，

菱形的周长为．

在中，由勾股定理得：，

．

在中，由勾股定理得：，

由（1）得：，

．

24．（2020•资兴市二模）如图①所示，已知正方形和正方形，、、在同一直线上，点在上，连接，．

（1）证明：；

（2）发现：当正方形绕点旋转，如图②所示，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）探究：如图③所示，若四边形与四边形都为矩形，且，时，判断与的数量关系和位置关系是否与（2）的结论相同，并说明理由．

【解析】（1）证明：四边形和四边形是正方形，

，，，

，

；

（2），．

如图1中，四边形和四边形是正方形，

，，，

，

在和中，

，

，

；，

延长交于，交于．

，

，

，

，

，

．

（3）数量关系不成立，，位置关系成立．

如图2中，延长交于，交于．

∵四边形与四边形都为矩形，

，

，

，，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

．

25．（2020•宛城区一模）如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、．

（1）猜想：的值是__________，直线与直线相交所成的锐角度数是__________；

（2）探究：直线与垂直时，求线段的长；

（3）拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围．

【解析】（1），都是等腰直角三角形，

，，

，

，

，

则可以看成是绕点旋转后放大倍得到的，故直线与直线相交所成的锐角的度数是；

故答案为：，．

（2）是腰长为4 的等腰直角三角形，四边形的边长为2的正方形，

，，，

，，

，

，

，

，当时，，，三点在一直线上时，

在中，，

，

如图1，当点在线段上时，，

．

如图2，当点在线段的延长线上时，

，．

综合以上可得，当时，线段的长为或；

（3）延长到，使得，连接，，

则为等腰直角三角形，

，

为的中点，为的中点，

为的中位线，

，

在中，，

，

．