统考版高中数学（文）复习12-3直接证明和间接证明学案

这是一份统考版高中数学（文）复习12-3直接证明和间接证明学案，共10页。学案主要包含了必记3个知识点，必明2个常用结论，必练2类基础题等内容，欢迎下载使用。

1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
2．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．
·考向预测·
考情分析：直接证明与间接证明是高中数学的重要推理方法，它们仍是高考的考点，题型将是选择或填空题．
学科素养：通过直接证明和间接证明的应用考查逻辑推理的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．直接证明
2.间接证明——反证法
要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去____________(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明非Q是________的，从而断定结论Q是________的，这种证明方法叫做反证法．
3．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取________(n0∈N*)时命题成立．
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当________时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对____________________都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．
二、必明2个常用结论
1．分析法与综合法的应用特点：对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用．
2．利用反证法证明的特点：要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
三、必练2类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )
(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( )
(二)教材改编
2．[选修1－2·P42练习T2改编]若P＝a+6+a+7，Q＝a+8+a+5(a≥0)，则P，Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＝Q
C.P＜Q D．不能确定
3．[选修1－2·P52T2改编]6－22与5-7的大小关系是________．
提 升 关键能力——考点突破 掌握类题通法
考点一 综合法的应用 [综合性]
[例1] 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ca≤13；
(2)a2b+b2c+c2a≥1.
听课笔记：
一题多变
(变问题)若例1条件不变，证明：a2＋b2＋c2≥13.
反思感悟 综合法证题的思路与方法
【对点训练】
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A sin B＋sin B sin C＋cs 2B＝1.
(1)求证：a，b，c成等差数列；
(2)若C＝2π3，求证：5a＝3b.
考点二 分析法的应用 [综合性]
[例2] 已知a＞0，证明：a2+1a2-2≥a＋1a－2.
听课笔记：
反思感悟 分析法的证题思路
分析法的证题思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等．通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．
【对点训练】
设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋1xy≤1x+1y＋xy.
考点三 反证法的应用 [综合性]
[例3] 已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：1a，1b，1c不可能成等差数列．
听课笔记：
反思感悟 反证法证明问题的一般步骤
(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；
(2)归谬——把“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．
应用反证法时，当原命题的结论的反面有多种情况时，要对结论的反面的每一种情况都进行讨论，从而达到否定结论的目的．
【对点训练】
设a＞0，b＞0，且a＋b＝1a+1b，证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．
第三节 直接证明和间接证明
积累必备知识
一、
1．原因 结果 结果 原因 已知 可知 必要 未知 需知 已知 充分
2．假设Q不成立 矛盾 错误 正确
3．(1)第一个值n0 (2)n＝k＋1 从n0开始的所有正整数n
三、
1．答案：(1)× (2)× (3)×
2．解析：假设P＞Q，只需P2＞Q2，即2a＋13＋2a+6a+7＞2a＋13＋2a+8a+5，只需a2＋13a＋42＞a2＋13a＋40.因为42＞40成立，所以P＞Q成立．
答案：A
3．解析：假设6－22＞5-7，由分析法可得，
要证6－22＞5-7，只需证6+7＞5＋22，
即证13＋242＞13＋410，即42＞210.
因为42＞40，所以6－22＞5-7成立．
答案：6－22＞5-7
提升关键能力
考点一
例1 证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.
当且仅当“a＝b＝c”时等号成立．
(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，
当且仅当“a2＝b2＝c2”时等号成立，
故a2b+b2c+c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即a2b+b2c+c2a≥a＋b＋c.所以a2b+b2c+c2a≥1.
一题多变
证明：因为a＋b＋c＝1，
所以1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.
因为2ab≤a2＋b2，2bc≤b2＋c2，
2ac≤a2＋c2，
当且仅当“a＝b＝c”时等号成立，
所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)，
所以1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)，
即a2＋b2＋c2≥13．
对点训练
证明：(1)由已知得
sin A sin B＋sin B sin C＝2sin2B，
因为sinB≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B，
由正弦定理，有a＋c＝2b，
即a，b，c成等差数列．
(2)由C＝2π3，c＝2b－a及余弦定理得
(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，
即有5ab－3b2＝0，所以ab＝35，即5a＝3b.
考点二
例2 证明：要证 a2+1a2-2≥a＋1a－2，
只需证 a2+1a2＋2≥a＋1a+2.
因为a＞0，故只需证(a2+1a2＋2)2≥(a＋1a+2)2，即a2＋1a2＋4a2+1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22(a＋1a)＋2，从而只需证2a2+1a2≥2(a＋1a)，即证4(a2＋1a2)≥2(a2＋2＋1a2)，即证a2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
对点训练
证明：由于x≥1，y≥1，
所以要证明x＋y＋1xy≤1x+1y＋xy，
只要证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，
只要证明(xy)2－1＋(x＋y)－xy(x＋y)≥0，
只要证明(xy－1)(xy＋1－x－y)≥0，
只要证明(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.
由于x≥1，y≥1，上式显然成立，所以原命题成立．
考点三
例3 证明：假设1a，1b，1c成等差数列，
则2b＝1a+1c，
所以2ac＝bc＋ab，①
又a，b，c成等差数列且公差d≠0，所以2b＝a＋c，②
所以把②代入①，得2ac＝b(a＋c)＝b·2b，所以b2＝ac，③
由②平方，得4b2＝(a＋c)2，④
把③代入④，得4ac＝(a＋c)2，
所以(a－c)2＝0，所以a＝c.
代入②，得b＝a，故a＝b＝c，
所以数列a，b，c的公差为0，
这与已知矛盾，所以1a，1b，1c不可能成等差数列．
对点训练
证明：由a＋b＝1a+1b＝a+bab，a＞0，b＞0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.
(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1；
同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾．
故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．
内容
综合法
分析法
定义
从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从____推导到____的思维方法
从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从____追溯到产生这一结果的____的思维方法
特点
从“____”看“____”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的____条件
从“____”看“____”，逐步靠拢“____”，其逐步推理，实际上是要寻找它的____条件