第四章指数函数与对数函数【过题型】-2022-2023学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

第四章  指数函数与对数函数

考查题型1 指数对数的综合运算

1．（1）；

（2）.

2．化简与求值：

(1)

(2).

3．求下列各式的值：

(1).

(2)

4．化简求值：

(1)

(2)

5．计算：

(1)；

(2)；

(3)．

考查题型2 指数函数的图像与性质

1．若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则a的值为（    ）

A． B． C． D．或

2．设，，则是（    ）

A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减

C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减

3．函数的单调递增区间为______．

4．若实数，满足，则_____（填）

5．已知函数在上的值域为．

(1)求a，b的值；

(2)写出函数，的单调性（不需要证明），并解不等式．

考查题型3  对数函数的图像与性质

1．已知函数，若，则（    ）

A． B．

C． D．以上选项均有可能

2．如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（    ）

A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c

3．函数的单调递增区间是________．

4．不等式的解集为______.

5．已知函数，从以下两个函数①，②中选择一个作为函数的解析式，并解答下列问题.

(1)求函数的定义域;

(2)判断函数的单调性(说明理由).

考查题型4  比较大小

1．设，则大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

2．记，则（    ）

A． B．

C． D．

3．若，，，则，，的大小关系为________．

4．已知函数，则a，b，c三者的大小关系是___________．

5．分别比较下列各组数的大小：

(1)，，；

(2)，，；

(3)与．

考查题型5  指数函数、对数函数恒过定点

1．已知函数（且），则函数的图像恒过定点______．

2．指数函数恒过的定点为_______．

3．已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 _______________________．

4．已知函数的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，求的值.

5．已知函数（且）的图象恒过定点，求点的坐标．

考查题型6  指数函数复合型函数的综合运用

1．已知函数是定义在上的奇函数．

(1)求a的值；

(2)求函数的值域；

(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．

2．已知函数（为常数，，且）的图象经过点，．

(1)试确定函数的解析式；

(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．

3．已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点.

(1)求实数a，b的值；

(2)求函数在时的值域.

4．已知且，函数，

(1)求的单调区间和值域；

(2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围；

(3)若对于任意，任意，都有恒成立，求的取值范围．

5．已知函数（a为常数，且，）．请在下面三个函数：

①；②；③中，选择一个函数作为，使得具有奇偶性．

(1)请写出表达式，并求a的值；

(2)当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围．

考查题型7  对数函数复合型函数的综合运用

1．已知是定义在上的偶函数，且时，且单调递增.

(1)求函数的解析式；

(2)若，求实数的取值范围.

2．已知函数 （ 且 ）．

(1)当 时，解不等式 ；

(2)，，求实数的取值范围；

(3)在（2）的条件下，是否存在 ，使 在区间 上的值域是 ？若存在，求实数 的取值范围；若不存在，试说明理由．

3．已知函数，，且．

(1)证明：在定义域上是增函数；

(2)若，求的取值集合．

4．已知函数.

(1)若函数的定义域为，值域为，求的值；

(2)若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围.

5．已知函数．

(1)若函数的定义域为，求实数的值；

(2)若函数的定义域为，值域为，求实数的值；

(3)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．

考查题型8 零点区间或个数的判断

1．设在区间上是连续变化的单调函数，且，则方程在内（　　）

A．至少有一实根 B．至多有一实根

C．没有实根 D．必有唯一实根

2．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

3．函数的零点个数为________．

4．已知函数的图像是一条连续不断的曲线，有如下的对应值表：

则函数在上的零点个数至少____________个．

5．已知函数的零点在区间上，则整数k的值为_________.

考查题型9 根据零点求参数

1．已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．若函数有两个零点，则整数a的值共有（    ）

A．7个 B．8个 C．9个 D．17个

3．设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为______．

4．若函数至少有个零点，则实数的范围为___________

5．已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为________.

1．Logistic模型是常用的预测区域人口增长的模型之一，其形式为，其中是间隔年份t时的人口数量，K是有关人口极限规模的待定参数，r、C是有关人口增长率和初始人口数量的特定参数，已知某地区的人口数据如下表；

该地区某中学学生组成的建模小组对以上数据进行分析和计算，发现Logistic函数能比较好地描述2010年起该地区的人口数量（单位：万）与间隔年份t（单位：年）的关系.

(1)请估计该地区2030年的人口数量（结果保留3位小数）；

(2)请估计该地区2020年到2030年的年平均增长率a（结果保留3位小数）.

参考数据；，，.

2．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：

已知第10天该商品的日销售收入为121元．

(1)求k的值；

(2)给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；

(3)求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．

(2)选择②，，（，）

(3)121元

【解析】

（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元，

所以，解得；

（2）由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，

故只能选②:

代入数据可得：，解得，，

所以，（，）

（3）由（2）可得，，

所以，，

所以当，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当时，有最小值，且为121；

当，时，为单调递减函数，

所以当时，有最小值，且为124，

综上，当时，有最小值，且为121元，

所以该商品的日销售收入最小值为121元．

3．甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题：

(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；

(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；

(3)对两城市人口增长情况作出分析.

参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.

4．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼蓝（其覆盖面积为），这些凤眼蓝在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与）可供选择．

（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；

（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份．（参考数据：，）．

5．科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%．

（1）现有三个奖励函数模型：①，②，③，．试分析这三个函数模型是否符合公司要求？

（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？