第三章函数的概念与性质【过题型】-2022-2023学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

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第三章 函数的概念与性质
考点1 函数的定义域
1．函数 y=1-x2+1x3 的定义域是（    ）
A．-∞,1 B．-1,0⋃0,1 C．-1,0⋃0,1 D．0,1
【答案】C
【解析】
由题， 函数定义域满足1-x2≥0x3≠0，解得x∈-1,0⋃0,1.
故选：C
2．函数fx=2x+13x-2+(x-1)0的定义域为（    ）
A．23,+∞ B．23,1∪1,+∞
C．23,1∪1,+∞ D．-23,+∞
【答案】B
【解析】
由已知得3x-2>0x-1≠0，解得x>23且x≠1，
所以函数fx=2x+13x-2+(x-1)0的定义域为23,1∪1,+∞，
故选：B.
3．已知函数fx2+1的定义域为1,2，则函数gx=fxlgx-2的定义域为（    ）
A．2,5 B．2,3∪3,5 C．2,5 D．2,3∪3,5
【答案】B
【解析】
因为1≤x≤2,∴1≤x2≤4,∴2≤x2+1≤5，所以f(x)的定义域为[2,5]，
由题得x-2>0x-2≠12≤x≤5，所以2 所以函数的定义域为2,3∪3,5.
故选：B
4．函数y=4-x22x2-3x-2的定义域为______．
【答案】-2,-12∪-12,2
【解析】
由题意得4-x2≥02x2-3x-2≠0，解得-2≤x<-12或-12 所以函数的定义域是-2,-12∪-12,2．
故答案为：-2,-12∪-12,2.
5．若函数fx+3的定义域为-5,-2，则Fx=fx+1+fx-1的定义域为______．
【答案】-1,0
【解析】
∵fx+3的定义域为-5,-2，
∴-2 ∴-1 故答案为：(-1,0)．
考点2 函数的解析式
1．已知函数fx+2=x2+6x+8，则函数fx的解析式为（    ）
A．fx=x2+2x B．fx=x2+6x+8
C．fx=x2+4x D．fx=x2+8x+6
【答案】A
【解析】
方法一（配凑法）∵fx+2=x2+6x+8=x+22+2x+2，
∴f(x)=x2+2x.
方法二（换元法）令t=x+2，则x=t-2，∴ft=t-22+6t-2+8=t2+2t，
∴f(x)=x2+2x.
故选：A
2．若函数fx满足fx+2f1x=2x+1，则f2=（    ）
A．-13 B．23 C．83 D．12
【答案】A
【解析】
因为函数fx满足fx+2f1x=2x+1 ---①
所以f1x+2fx=2x+1 ---②
联立①②，得fx+2f1x=2x+1f1x+2fx=2x+1，解得fx=43x-2x3+13，
∴f2=46-43+13=-13
故选：A
3．已知f1x=11+x，则函数fx的解析式是（    ）
A．fx=x1+xx≠-1 B．fx=x1+x（x≠-1且x≠0）
C．fx=x1+x D．fx=1+x
【答案】B
【解析】
由题知x≠0且x≠-1，令t=1x，则x=1t（t≠0且t≠-1），
∴ft=11+1t=tt+1（t≠-1且t≠0），
∴fx=xx+1（x≠-1且x≠0）．
故选：B．
4．若3fx+2f1x=4x，则fx=______．
【答案】12x5-85x
【解析】
由3fx+2f1x=4x①，
将x用1x代替得3f1x+2fx=4x②，
由①②得fx=12x5-85x.
故答案为：12x5-85x.
5．若fx-1=x-2x≥1，则fx=______．
【答案】x2+2x-1x≥0
【解析】
设t=x-1≥0⇒x=t+12，则ft=t+12-2=t2+2t-1，
所以fx=x2+2x-1x≥0.
故答案为：x2+2x-1x≥0.
考点3 相等函数
1．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ）
A．f(x)=x2-xx，gx=x-1
B．f(x)=x2，g(x)=x2
C． fx=x2-2，gt＝t2－2
D．fx=x+1⋅x-1，g(x)=x2-1
【答案】C
【解析】
由题意得：
对于选项A：f(x)=x2-xx的定义域为x|x≠0，g(x)=x-1的定义域为R，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；
对于选项B：f(x)=x2的定义域为R，g(x)=x2的定义域为x|x≥0，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；
对于选项C：fx=x2-2的定义域为R，gt=t2-2的定义域为R，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：fx=x+1⋅x-1的定义域为x|x≥1，g(x)=x2-1的定义域为{x|x≤-1或x≥1}，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.
故选：C
2．下列各组中的两个函数为相等函数的是（    ）
A．f(x)=x+1⋅x-1,g(x)=(x+1)(x-1)
B．f(x)=(2x-5)2,g(x)=2x-5
C．f(x)=1-xx2+1,g(x)=1+xx2+1
D．f(x)=(x)4x,g(t)=tt2
【答案】D
【解析】
A中，f(x)=x+1⋅x-1的定义域是xx≥1，g(x)=(x+1)(x-1)的定义域为xx≥1或x≤-1，它们的定义域不相同，不是相等函数；
B中，f(x)=(2x-5)2的定义域为xx≥52，g(x)=2x-5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数；
C中，f(x)=1-xx2+1与g(x)=1+xx2+1的对应关系不同，不是相等函数；
D中，f(x)=(x)4x=x(x>0)与g(t)=tt2=t(t>0)定义域与对应关系都相同，因此它们是相等函数．
故选：D.
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ）
A．y=x-1和y=x2-1x+1 B．y=x0和y=1
C．f(x)=x2和g(x)=(x+1)2 D．f(x)=(x)2x和g(x)=x(x)2
【答案】D
【解析】
对于A，函数y=x-1定义域是R，函数y=x2-1x+1定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞)，A不是；
对于B，y=x0定义域是(-∞,0)⋃(0,+∞)，函数y=1定义域是R，B不是；
对于C，fx=x2和gx=(x+1)2对应法则不同，C不是；
对于D，f(x)=(x)2x 和g(x)=x(x)2定义域都是(0,+∞)，并且对应法则相同，D是.
故选：D
4．下列各组函数是同一个函数的是______（填序号）.
①fx=-2x3与gx=x-2x；
②fx=x0与gx=1x0；
③fx=x2-2x+1与gt=t-1.
【答案】②
【解析】
fx=-x-2x，gx=x-2x，对应关系不同，故fx与gx不是同一个函数；
fx=x0=1（x≠0），gx=1x0=1（x≠0），对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；
fx=x2-2x+1=x-1，gt=t-1，对应关系不同，故fx与gt不是同一个函数.
故答案为：②
5．下列各组函数中，表示同一函数的是___________.
①f(x)=1,g(x)=xx；
②f(x)=x-1⋅x+1,g(x)=x2-1；
③f(x)=x,g(x)=x2；
④y=|x|,y=(x)2；
⑤f(x)=x,g(x)=x (x⩾0)-x(x<0).
【答案】⑤
【解析】
对于选项①，∵y=1的定义域为R，g(x)=xx的定义域为(﹣∞，0)∪(0，+∞)，定义域不同，不是同一函数；
对于选项②，f(x)=x-1⋅x+1的定义域为[1，+∞)，g(x)=x2-1的定义域为(﹣∞，﹣1]∪[1，+∞).∴两个函数不是同一个函数；
对于选项③，表达式不一样，不是同一函数；
对于选项④，∵y=|x|的定义域为R，y=(x)2的定义域为[0，+∞).∴两个函数不是同一个函数
对于选项⑤，两个函数的解析式一致，定义域是同一个集合，∴是同一个函数
故答案为：⑤.
考点4 分段函数
1．设函数fx=2x,x≥0,1,x<0,则满足fa A．-∞,0 B．0,+∞ C．0,1 D．1,+∞
【答案】B
【解析】
①当a<0时，2a<0，此时fa=f2a=1，不合题意；
②当a≥0时，2a≥0，fa0．
综上，实数a的取值范围是0,+∞．
故选：B．
2．设fx=2x-1,x≤12x2-3x+1,x>1 ，则ff32的值为（    ）
A．0 B．12 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
因为fx=2x-1,x≤12x2-3x+1,x>1，所以f32=2×322-3×32+1=1，所以ff32=f1=21-1=1
故选：C
3．已知fx=12x+1,x≤0-x-12,x>0，则使fx≥-1成立的x的取值范围是_____．
【答案】-4,2
【解析】
∵fx≥-1，∴x≤012x+1≥-1或x>0-x-12≥-1，
∴-4≤x≤0或0 ∴使fx≥-1成立的x的取值范围是-4,2．
故答案为：-4,2
4．已知函数fx=2x2+1，x≤0fx-3,x>0，则f4=___________.
【答案】9
【解析】
根据题意，f4=f4-3=f1=f1-3=f-2=2×-22+1=9
故答案为：9
5．已知函数fx=-x2+2a-1x,x≤18-ax+4,x>1在R上单调递增，则实数a的取值范围是________.
【答案】2,5
【解析】
要使函数fx=-x2+2a-1x,x≤18-ax+4,x>1在R上单调递增，
只需-2a-1-2≥18-a>0-12+2a-1×1≤8-a×1+4，解得：2≤a≤5.
所以实数a的取值范围是2,5.
故答案为：2,5
考点5 确定函数的单调区间
1．定义在区间[-2,2]上的函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为（    ）

A．[-2,-1] B．[-1,1] C．[-2,0] D．[-1,2]
【答案】B
【解析】
由题图知：在[-1,1]上f(x)的单调递减，在(-2,-1),(1,2)上f(x)的单调递增，
所以f(x)的单调递减区间为[-1,1].
故选：B
2．函数fx=x+11-x的递减区间是（    ）
A．-1,0 B．-∞,-1和0,1
C．0,1 D．-∞,-1和0,+∞
【答案】B
【解析】
当x≥0时，fx=x+11-x=-x2+1，-x2+1≥0，解得：-1≤x≤1，又y=-x2+1为开口向下的抛物线，对称轴为x=0，此时在区间0,1单调递减，
当x<0时，fx=x+11+x=x+12， y=x+12为开口向上的抛物线，对称轴为x=-1，此时在-∞,-1单调递减，
综上所述：函数fx=x+11-x的递减区间是-∞,-1和0,1.
故选：B.
3．函数y=-x2+2x+1的单调递增区间是______．
【答案】1-2,1,[1+2,+∞)
【解析】
函数的图象如图所示：

由图象知：其单调递增区间是1-2,1,[1+2,+∞)，
故答案为：1-2,1,[1+2,+∞)
4．函数f(x)=x+1x的单调递减区间是_________．
【答案】-1,0和0,1
【解析】
函数f(x)=x+1x的定义域为x|x≠0，且f(-x)=-x+1x=-fx，
所以f(x)=x+1x是奇函数，
任取x1,x2∈0,+∞，且x1 则f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2-1x2=x1-x2⋅x1x2-1x1x2，
当00即f(x1)>f(x2)，
当x2>x1>1时，x1-x2<0，x1x2>1，所以f(x1)-f(x2)<0即f(x1) 所以f(x)=x+1x在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
因为f(x)=x+1x是奇函数，关于原点对称的区间单调性相同，
所以f(x)=x+1x在-1,0上单调递减，在-∞,-1上单调递增，
所以函数f(x)=x+1x的单调递减区间是-1,0和0,1.
故答案为：-1,0和0,1.
5．作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：
（1）y=x-1x-2；
（2）y=x2-4|x|；
（3）y=xx+2；
（4）y=|x(1-x)|；
（5）y=12-|x|.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析；（5）答案见解析.
【解析】
（1）y=x-1x-2=1+1x-2，图象如图所示：

函数在(-∞,2)和(2,+∞)为减函数，因为1x-2≠0，所以1+1x-2≠1，故值域为：(-∞,1)∪(1,+∞)；
（2）y=x2-4x=(x+2)2-4,x<0(x-2)2-4,x≥0，图象如图所示：

函数在(-∞,-2]和[0,2]为减函数，在[-2,0]和[2,+∞)为增函数，
当x=±2时，y取得最小值-4，故值域：[-4,+∞)；
（3）y=xx+2=x+2-2x+2=1+-2x+2，图象如图所示：

函数在(-∞,-2)和[0,+∞)为增函数，在(-2,0]为减函数，
值域为：[0,+∞).
（4）y=x(1-x)=x(x-1)，图象如图所示：

函数在(-∞,0]和12,1为减函数，在0,12和[1,+∞)为增函数，值域为：[0,+∞)；
（5）y=12-|x|，

函数在(-∞,-2)和(-2,0]为减函数，在[0,2)和(2,+∞)为增函数，值域为：(-∞,0)∪12,+∞.
考点6 奇偶性的判断
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ）
A．y=-x(x∈R) B．y=-x3-x(x∈R)
C．y=-x2x∈R D．y=-1x(x∈R且x≠0)
【答案】B
【解析】
对于A选项，f-x=--x=-x=fx，为偶函数，故错误；
对于B选项，f-x=--x3--x=x3+x=-fx，为奇函数，
且函数y=-x3、y=-x均为减函数，故y=-x3-x(x∈R)为减函数，故正确；
对于C选项，y=-x2x∈R为偶函数，故错误；
对于D选项，y=-1x(x∈R且x≠0)为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.
故选：B
2．下列命题正确的是（    ）
A．奇函数的图象关于原点对称，且f0=0
B．偶函数的图象关于y轴对称，且f0=0
C．存在既是奇函数又是偶函数的函数
D．奇､偶函数的定义域可以不关于原点对称
【答案】C
【解析】
奇函数的图象关于原点对称，但不一定在x=0时有意义，比如y=1x，A错误；
偶函数的图象关于y轴对称，但f0不一定等于0，如fx=x2+1，B错误；
函数y=0既是奇函数又是偶函数，C正确；
奇､偶数的定义域均是关于原点对称的区间，D错误.
故选：C.
3．函数fx=4-x2x+3-3的图象关于_________对称．
【答案】原点
【解析】
要使函数有意义，则4-x2≥0x+3-3≠0，得-2≤x≤2x≠0且x≠-6，
解得-2≤x<0或0 此时x+3=x+3，则函数fx=4-x2x+3-3=4-x2x+3-3=4-x2x，
∵f-x=-4-x2x=-fx，
∴函数fx是奇函数，图象关于原点对称
故答案为：原点
4．函数fx=x1-x,x<0x1+x,x>0为________．(填“奇函数”或“偶函数”)
【答案】奇函数
【解析】
当x<0时，f-x=-x1+x=-fx，当x>0时，f-x=-x1-x=-fx，故函数为奇函数.
5．判断下列函数的奇偶性．
(1)fx=x3-1x；
(2)fx=x-11+x1-x；
(3)fx=3-x2+x2-3；
(4)fx=-2x,x<-12,-1≤x≤12x,x>1．
【答案】(1)奇函数
(2)既不是奇函数也不是偶函数
(3)既是奇函数又是偶函数
(4)偶函数
【解析】
（1）fx的定义域是-∞,0⋃0,+∞，关于原点对称，
又f-x=-x3-1-x=-x3-1x=-fx，所以fx是奇函数．
（2）因为fx的定义域为-1,1，不关于原点对称，
所以fx既不是奇函数也不是偶函数．
（3）因为fx的定义域为-3,3，所以fx=0，
则fx既是奇函数又是偶函数．
（4）方法一（定义法）  因为函数fx的定义域为R，所以函数fx的定义域关于原点对称．
①当x＞1时，-x<-1，所以f-x=-2×-x=2x=fx；
②当-1≤x≤1时，fx=2；
③当x<-1时，-x>1，所以f-x=2×-x=-2x=fx．
综上，可知函数fx为偶函数．
方法二（图象法）  作出函数fx的图象，如图所示，易知函数fx为偶函数．

考点7 利用奇偶性求解析式
1．若函数fx是定义在R上的奇函数，且满足fx=f2-x，当0≤x≤1时，fx=x，则当2≤x≤3时，函数fx的解析式为（    ）
A．fx=x-1 B．fx=1-x C．fx=x-2 D．fx=2-x
【答案】D
【解析】
因为函数fx是奇函数，所以f2-x=-fx-2，
因为fx=f2-x，所以fx=-fx-2，
当2≤x≤3时，0≤x-2≤1；
因为当0≤x≤1时，fx=x，所以fx-2=x-2
所以fx=-fx-2=2-x.
故选：D.
2．设fx为奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2+x，则当x<0时，fx=（ 　  　）
A．x2+x B．-x2+x
C．x2-x D．-x2-x
【答案】B
【解析】
设x<0，则-x>0，所以f-x=x2-x，
又fx为奇函数，所以fx=-f-x=-x2-x=-x2+x，
所以当x<0时，fx=-x2+x.
故选：B.
3．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2(1-x)，则当x<0时f(x)=_______
【答案】-x2(1+x)
【解析】
设x<0，则-x>0，
因为函数fx为奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2(1-x)，
可得fx=-f-x=-[(-x)2(1+x)]=-x2(1+x)，
故当x<0时fx=-f-x=-x2(1+x).
故答案为：-x2(1+x).
4．若定义在R上的偶函数fx和奇函数gx满足fx+gx=ex，则gx的解析式为gx=___________.
【答案】ex-e-x2
【解析】
由题意得：f-x+g-x=e-x，即fx-gx=e-x①，fx+gx=ex②，②-①得：2gx=ex-e-x，解得：gx=ex-e-x2.
故答案为：ex-e-x2
5．已知fx是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，fx=x2-4x．
(1)求x<0时，fx的解析式；
(2)写出fx的单调递增区间．
【答案】(1)当x<0时，fx=-x2-4x
(2)-∞，-2，2，+∞
【解析】
(1)∵ fx是定义域为R的奇函数，∴fx=-f-x
∴ 当x<0时，fx=-f-x=-x2+4-x=-x2-4x．
(2)由（1）得fx=-x2-4x，x<0,x2-4x，x≥0,
当x<0时，fx=-x2-4x=-(x+2)2+4．
二次函数y=-x+22+4的图象为开口向下的抛物线，且它的对称轴为
x=-2，故fx在区间-∞，-2上单调递增，
当x≥0时，fx=x2-4x=x-22-4，
二次函数y=x-22-4的图象为开口向上的抛物线，且它的对称轴为x=2，
故fx在区间2，+∞上单调递增，
综上所述：fx的单调递增区间为-∞，-2，2，+∞．
考点8 单调性与奇偶性的综合运用
1．设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为偶函数，f（x+2）为奇函数，当x∈[1，2]，f（x）=ax²+b，若f（0）+f（3）=6，则f112=（    ）
A．-94 B．-32 C．-72 D．52
【答案】C
【解析】
根据函数的图像变换，由f（x+1）为偶函数，f（x+2）为奇函数，
则直线x=1，2,0分别为函数fx的对称轴与对称中心，
即函数fx的对称轴的方程为x=2n-1n∈Z与对称中心坐标为2n,0n∈Z，
易知f0=0，函数fx的周期T=4，
由f0+f3=6，则f3=6，即f1=-6，且f2=0，
可得方程：a+b=-64a+b=0，解得a=2b=-8，即当x∈[1，2]，fx=2x-8，
f112=f32+4=f32=2×322-8=-72.
故选：C.
2．已知定义在R上的函数fx在-1,+∞上单调递增，若f2=0，且函数fx-1为偶函数，则不等式xfx>0的解集为（    ）
A．2,+∞ B．-4,-1∪0,+∞
C．-4,+∞ D．-4,0∪2,+∞
【答案】D
【解析】
因为函数fx-1为偶函数，则f-x-1=fx-1，故函数fx的图象关于直线x=-1对称，
因为函数fx在-1,+∞上单调递增，故函数fx在-∞,-1上单调递减，
因为f2=0，则f-4=0，
所以，由fx<0可得-40可得x<-4或x>2，
解不等式xfx>0，可得x<0fx<0或x>0fx>0，解得-42，
故不等式xfx>0的解集为-4,0∪2,+∞.
故选：D.
3．已知函数y=fx+14为奇函数，y=fx+12为偶函数，当14≤x<12时，fx=x-142，则f138=______．
【答案】164
【解析】
由y=fx+14的图象关于原点对称，得y=fx的图象关于点14,0对称．
由y=fx+12的图象关于y轴对称，得y=fx的图象关于直线x=12对称，
∴T4=12-14，解得T=1，即fx的周期为1，
∴f138=f1+58=f58=f38=164．
故答案为：164
4．若定义在R上的奇函数fx在0,+∞上单调递增，且f1=0，则不等式fx-f-xx<0解集为___________.
【答案】-1,0⋃0,1
【解析】
因为函数fx为R上的奇函数，则fx-f-xx=2fxx<0，
因为f1=0，则f-1=-f1=0.
因为函数fx在0,+∞上为增函数，则该函数在-∞,0上也为增函数.
当x>0时，则fx<0=f1，可得0 当x<0时，则fx>0=f-1，可得-1 综上所述，不等式fx-f-xx<0的解集为-1,0⋃0,1.
故答案为：-1,0⋃0,1.
5．函数fx=ax+bx2+1是定义在区间-1,1上的增函数，且为奇函数.
(1)求不等式fx-1+fx<0的解集；
(2)若f12=25，求fx解析式.
【答案】(1)x0≤x<12
(2)fx=xx2+1
【解析】
(1)解：因为函数fx=ax+bx2+1是定义在区间-1,1上的增函数，且为奇函数，
由fx-1+fx<0可得fx<-fx-1=f1-x，
所以，x<1-x-1≤x≤1-1≤x-1≤1，解得0≤x<12，
故不等式fx-1+fx<0的解集为x0≤x<12.
(2)解：因为函数fx=ax+bx2+1是定义在-1,1上的奇函数，则f0=b=0，
且f12=12a122+1=25a=25，解得a=1，所以，fx=xx2+1.
下面先证明函数fx为-1,1上的奇函数：
任取x∈-1,1，则f-x=-x-x2+1=-xx2+1=-fx，
故函数fx为-1,1上的奇函数.
接下来证明出函数fx在-1,1上为增函数，
任取x1、x2∈-1,1且x1 即fx1 综上所述，fx=xx2+1.
考点9 幂函数
1．当x∈0,+∞时，幂函数y=m2-m-1x-5m-3为减函数，则实数m的值为（   ）
A．m=2 B．m=-1
C．m=-1或m=2 D．m≠1±52
【答案】A
【解析】
因为函数y=m2-m-1x-5m-3既是幂函数又是0,+∞的减函数，
所以m2-m-1=1-5m-3<0解得：m=2.
故选：A.
2．图中C1，C2，C3分别为幂函数y=xα1，y=xα2，y=xα3在第一象限内的图象，则α1，α2，α3依次可以是（    ）

A．12，3，-1 B．-1，3，12 C．12，-1，3 D．-1，12，3
【答案】D
【解析】
由题图知：α1<0，0<α2<1，α3>1，
所以α1，α2，α3依次可以是-1，12，3．
故选：D
3．已知幂函数fx=m2-4m+4xm-2在0,+∞上单调递减，若正数a，b满足2a+3b=m，求3a+2b的最小值______.
【答案】24
【解析】
由于fx是幂函数，所以m2-4m+4=1,m2-4m+3=0，解得m=1或m=3.
当m=1时，fx=x-1=1x，在0,+∞上递减，符合题意.
当m=3时，fx=x在0,+∞上递增，不符合题意.
所以m的值为1，则2a+3b=1，
依题意a,b为正数，
3a+2b=3a+2b2a+3b=6+6+9ba+4ab≥12+29ba⋅4ab=24，
当且仅当9ba=4ab,2a=3b=12时，等号成立.
所以3a+2b的最小值为24.
故答案为：24
4．若函数f(x)是幂函数，满足f(4)=8f(2)，则f(1)+f13=_________．
【答案】2827
【解析】
函数f(x)是幂函数，设f(x)=xα，
又f(4)=8f(2)，所以4α=8×2α，即22α=23+α，所以2α=3+α，得α=3
所以f(x)=x3，则f(1)+f13=13+133=2827.
故答案为：2827.
5．已知幂函数fx=m2-3m+3xm2+32m+12为奇函数.
(1)求函数fx的解析式；
(2)若fa+1 【答案】(1)fx=x3
(2)-∞,23
【解析】
（1）解：由题意，幂函数fx=m2-3m+3xm2+32m+12，
可得m2-3m+3=1，即m2-3m+2=0，解得m=1或m=2，
当m=1时，函数fx=x1+32+12=x3为奇函数，
当m=2时，fx=x22+3+12=x152为非奇非偶函数，
因为fx为奇函数，所以fx=x3.
（2）解：由（1）知fx=x3，可得fx在R上为增函数，
因为fa+1 所以a的取值范围为-∞,23.
考点10 分段函数模型
1．某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销．通过市场分析发现，生产此款手机全年需投入固定成本280万元，每生产x千部手机，需另投入成本Cx万元，且Cx=10x2+200x,0 (1)求出全年的利润Wx（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；
(2)当全年产量为多少千部时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？
【答案】(1)Wx=-10x2+600x-280,0 (2)当全年产量为100千部时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．
【解析】
（1）当0 Wx=800x-10x2+200x-280=-10x2+600x-280，
当x≥50时，
Wx=800x-801x+10000x-9450-280=-x+10000x+9170，
所以Wx=-10x2+600x-280,0 （2）若0 当x=30时，Wxmax =8720；
若x≥50，则Wx=-x+10000x+9170≤-2x⋅10000x+9170=8970，
当且仅当x=10000x，即x=100时，等号成立，此时Wxmax =8970．
因为8970>8720，所以当全年产量为100千部时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．
2．由历年市场行情知，从11月1日起的30天内，某商品每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是P=t+200 (1)设该商品的日销售额为y元，请写出y与t的函数关系式（商品的日销售额＝该商品每件的销售价格×日销售量）；
(2)求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大．
【答案】(1)y=-t2+20t+8000 (2)日销售额的最大值为900元，且11月10日销售额最大．
【解析】
（1）由题意知y=P⋅Q=t+2040-t0 即y=-t2+20t+8000 （2）当0 所以当t=10时，ymax=900；
当25≤t≤30，t∈N时，y=1800-45t，所以当t=25时，ymax=675．
因为900>675，所以日销售额的最大值为900元，且11月10日销售额最大．
3．几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元.假设该产品的月销售量t（件）与销售价格x（元/件）（x∈N*）之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，tx=-ax+52+10050；②当60≤x≤76时，tx=-100x+7600.记该店月利润为M（元），月利润=月销售总额-月总成本.
(1)求M关于销售价格x的函数关系式；
(2)求该打印店的最大月利润及此时产品的销售价格.
【答案】(1)Mx=-2x3+48x2+10680x-360000,34≤x≤60,x∈N*-100x2+11000x-278400,60≤x≤76,x∈N*
(2)44226元，51元/件
【解析】
（1）当x=60时，-a60+52+10050=-100×60+7600，解得a=2.
∴Mx=-2x2-20x+10000x-34-20000,34≤x≤60,x∈N*,-100x+7600x-34-20000,60≤x≤76,x∈N*
即Mx=-2x3+48x2+10680x-360000,34≤x≤60,x∈N*,-100x2+11000x-278400,60≤x≤76,x∈N*
（2）当34≤x≤60，x∈R时，设gx=-2x3+48x2+10680x-360000，
则g'x=-6x2-16x-1780.
令g'x=0，解得x1=8-2461（舍去），x2=8+2461∈50,51，
当34≤x≤50时，g'x>0，gx单调递增；
当51≤x≤60时，g'x<0，gx单调递减.
∵x∈N*，M50=44000，M51=44226，Mx的最大值为44226.
当60≤x≤76时，Mx=100-x2+110x-2784单调递减，故此时
Mx的最大值为M60=21600.综上所述，当x=51时，Mx有最大值44226.
∴该打印店的最大月利润为44226元，此时产品的销售价格为51元/件.
4．已知华为公司生产mate系列的某款手机的年固定成本为200万元，每生产1只还需另投入80元.设华为公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝2000-30x，040
(1)写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)W=-30x2+1920x-200,040
(2)当年产量为32万只时，利润最大，最大利润为30520万元
【解析】
(1)利用利润等于收入减去成本，可得
当0 当x＞40时，W＝xR（x）﹣（80x+200）＝-200000x-80x+36800,
∴W=-30x2+1920x-200,040.
(2)当0＜x≤40时，W＝﹣30（x-32）2+30520∴当x=32时，Wmax＝30520,
当x>40时，W=-802500x+x+36800 ≤-80×22500x·x+3680=28800,
当且仅当2500x=x，即x=50时，“=”成立，此时W取最大值28800,
∵30520>28800,   ∴当年产量为32万只时，利润最大，最大利润为30520万元.
5．某市地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利．已知地铁7号线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当10≤t≤20时，地铁为满载状态，载客量为500人；当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10-t)2成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记地铁的载客量为s(t)．
(1)求s(t)的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量；
(2)若该线路每分钟的净收益为Q=8s(t)-2656t-60(元).问：当列车发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
【答案】(1)st=500-2(10-t)2，2≤t<10500，10≤t≤20，450人
(2)间隔为4时，该线路每分钟的净收益最大为132元
【解析】
（1）当10≤t≤20时，st=500,
当2≤t<10时，st=500-k(10-t)2，
∵s2=372，
∴372=500-k×(10-2)2，解得k=2,
∴st=500-2(10-t)2，
∴st=500-2(10-t)2,2≤t<10500,10≤t≤20,
∴s5=500-2×52=450 (人).
（2）当10≤t≤20时，st=500,
∴Q=8×500-2656t-60=1344t-60≤134410-60=74.4,
可得Qmax=74.4．
当2≤t<10时，st=500-2(10-t)2,
∴Q=4000-16(10-t)2-2656t-60=-16t+16t+260，
∵函数y=t+16t在t∈2,4上为减函数，在t∈4,10上为增函数，
∴当t=4时，Qmax=132,
∴当列车发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为132元