第五章三角函数【过题型】第01部分-2022-2023学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc115082515" 考点8 正弦函数与余弦函数的性质 PAGEREF _Tc115082515 \h 1
\l "_Tc115082516" 考点9 正弦函数的图像 PAGEREF _Tc115082516 \h 5
\l "_Tc115082517" 考点10 正切函数图像与性质 PAGEREF _Tc115082517 \h 8
\l "_Tc115082518" 考点11 给角求值 PAGEREF _Tc115082518 \h 10
\l "_Tc115082519" 考点12给值求值 PAGEREF _Tc115082519 \h 12
\l "_Tc115082520" 考点13给值求角 PAGEREF _Tc115082520 \h 14
\l "_Tc115082521" 考点14由函数图像求解析式 PAGEREF _Tc115082521 \h 16
\l "_Tc115082522" 考点15三角函数的综合运用 PAGEREF _Tc115082522 \h 20
考点8 正弦函数与余弦函数的性质
1．已知关于x的方程cs22021π2+x-sin2021π+x-2-a=0有实数解，则实数a的取值范围为______．
【答案】-94,0
【解析】
令fx=cs22021π2+x-sin2021π+x-2，则fx=sin2x+sinx-2，
所以fx=(sinx+12)2-94，又sinx∈-1，1，所以fx∈-94，0，
因为关于x的方程cs22021π2+x-sin2021π+x-2-a=0有实数解，
所以a=fx∈-94，0，
所以a的取值范围为-94，0，
故答案为：-94，0．
2．已知函数fx=2sinωx（ω>0）在区间-3π4,π3上单调递增，且函数gx=2sinωx+2在-2π,0上有且仅有一个零点，则实数ω的取值范围是_______.
【答案】14,23
【解析】
由题及-π2≤ωx≤π2得fx=2sinωx（ω>0）在-π2ω,π2ω单调递增，
又函数fx=2sinωx（ω>0）在区间-3π4,π3上单调递增，
所以，-3π4,π3⊆-π2ω，π2ω，得0<ω≤23 .
gx=2sinωx+2在-2π,0上有且仅有一个零点，可得14×2πω≤2π54×2πω>2π，
所以，14≤ω<54，
所以，14≤ω≤23.
故答案为：14，23.
3．已知函数fx=a-bsinxa,b∈R.
(1)若b>0，函数fx的最大值为0，最小值为-6，求a，b的值；
(2)当a=2时，函数gx=fx-sin2x的最大值为2，求b的值.
【答案】(1)a=-3b=3
(2)b=0
【解析】
（1）因为b>0，所以当sinx=-1时，fx最大，当sinx=1时，fx最小，
可得a+b=0a-b=-6，解得a=-3b=3.
（2）gx=fx-sin2x=2-bsinx-sin2x=-sinx+b22+b24+2.
令t=sinx，则t∈-1,1，y=b24+2-t+b22，t∈-1,1，
当-b2<-1，即b>2时，y=b24+2-t+b22在-1,1上单调递减，
ymax=b24+2--1+b22=2-1+b=2，得b=1（舍去）；
当-1≤-b2≤1，即-2≤b≤2时，ymax=2+b24=2，得b=0；
当-b2>1，即b<-2时，y=b24+2-t+b22在-1,1上单调递增，
ymax=b24+2-1+b222=2-1-b=2，得b=-1（舍去）.
综上可得，b=0.
4．已知函数fx=2sinx+π3，且函数y=gx的图象与函数y=fx的图象关于直线x=π4对称．
(1)求函数gx的解析式；
(2)若存在x∈0,π2，使等式gx2-mgx+2=0成立，求实数m的取值范围；
(3)若当x∈-π3,2π3时，不等式12fx-ag-x>a-2恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)gx=2sinx+π6；
(2)22,3；
(3)-2,23.
【解析】
（1）因函数y=gx的图象与函数y=fx的图象关于直线x=π4对称，则g(x)=f(π2-x)，
所以g(x)=2sin(π2-x+π3)=2sin[π-(x+π6)]=2sin(x+π6)．
（2）由（1）知，gx=2sinx+π6，当x∈0,π2时，x+π6∈π6,2π3，则1≤gx≤2，
令gx=t，则1≤t≤2．存在x∈0,π2，使gx2-mgx+2=0成立，
即存在t∈1,2，使t2-mt+2=0成立，则存在t∈1,2，m=t+2t成立，
而函数m=t+2t在t∈[1,2]上递减，在t∈[2,2]上递增，
当t=2时，mmin=22，当t=1或2时，mmax=3
所以实数m的取值范围为22,3．
（3）由（1）知，不等式12f(x)-ag(-x)>a-2⇔sin(x+π3)+2asin(x-π6)>a-2，
当x∈[-π3,2π3]时，0≤x+π3≤π，-π2≤x-π6≤π2，
若a=0，因0≤sin(x+π3)≤1，即sin(x+π3)>-2恒成立，则a=0，
若a>0，因sin(x-π6)在[-π3,2π3]上单调递增，则当x=-π3时，sin(x+π3)+2asin(x-π6)取得最小值，
原不等式恒成立可转化为sin(-π3+π3)+2asin(-π3-π6)>a-2恒成立，即-2a>a-2，因此0若a<0，当x=2π3时，sin(x+π3)+2asin(x-π6)取得最小值，
原不等式恒成立可转化为sin(2π3+π3)+2asin(2π3-π6)>a-2恒成立，即a>-2，因此-2所以a的取值范围是(-2,23)．
5．已知函数f(x)=sin(2x+φ)ω>0,φ<π2，______．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在-π2,π12上的值域．
请在①函数f(x)的图象关于直线对称，②函数y=fx-π12的图象关于原点对称，③函数f(x)在-5π6,-π3上单调递减，在-π3,π6上单调递增这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)f(x)=sin2x+π6
(2)-1,32
【解析】
（1）若选①，
函数f(x)的图象关于直线x=π6对称，
则2×π6+φ=π2+kπ，k∈Z，即φ=π6+kπ，k∈Z．
又因为φ<π2，所以φ=π6，所以f(x)=sin2x+π6．
若选②，
函数y=fx-π12=sin2x-π6+φ的图象关于原点对称，
则-π6+φ=kπ，k∈Z，即φ=π6+kπ，k∈Z，
又因为φ<π2，所以φ=π6，所以f(x)=sin2x+π6．
若选③，
函数f(x)在-5π6,-π3上单调递减，在-π3,π6上单调递增，
则函数f(x)在x=-π3处取得最小值，则f-π3=sin2×-π3+φ=-1，
则2×-π3+φ=-π2+2kπ，k∈Z，即φ=π6+2kπ，k∈Z．
又因为φ<π2，所以φ=π6，所以f(x)=sin2x+π6．
（2）由（1）可得函数f(x)=sin2x+π6，
因为x∈-π2,π12，所以2x+π6∈-5π6,π3，
所以当2x+π6=-π2时，f(x)min=sin-π2=-1；
当2x+π6=π3时，f(x)max=sinπ3=32．
所以函数f(x)在-π2,π12上的值域为-1,32．
考点9 正弦函数的图像
1．与图中曲线对应的函数可能是（ ）
A．y=sinxB．y=sinx
C．y=-sinxD．y=-sinx
【答案】D
【解析】
对于A选项，当00，A选项不满足条件；
对于B选项，当00，B选项不满足条件；
对于C选项，当π对于D选项，令fx=-sinx，该函数的定义域为R，
f-x=-sin-x=-sinx=fx，故函数y=-sinx为偶函数，
当0故选：D.
2．已知关于x的方程cs2x-sinx+2a=0在0，π2内有解，那么实数a的取值范围（ ）
A．a≤-58B．-12≤a≤0
C．-12＜a≤12D．-12＜a≤0
【答案】C
【解析】
方程cs2x-sinx+2a=0在0，π2内有解，即2a=-cs2x+sinx=sin2x+sinx-1在0，π2内有解，
令t=sinx，t∈0,1，则y=sin2x+sinx-1=t2+t-1=t+122-54∈-1,1，
所以-1<2a≤1，解得-12故选：C.
3．若函数fx=sinx+3sinx+bx∈0,2π恰有三个不同的零点，则b=_________.
【答案】-2
【解析】
由题意得，fx=sinx+3sinx+b=0在x∈0,2π上有3个不同的实数根，即y=-b和y=sinx+3sinx在x∈0,2π上有3个不同的交点，
令gx=sinx+3sinx，则gx=4sinx,x∈0,π-2sinx,x∈π,2π，画出函数gx的图象，结合图象可知-b=2，即b=-2.
故答案为：-2.
4．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，则fπ3=__________．
【答案】1
【解析】
由题意知：A=2,34T=11π12-π6=3π4，则T=2πω=π，解得ω=2，即f(x)=2sin(2x+φ)，又sinB+C=3sinAcsB，
又φ<π2，则φ=π6，即f(x)=2sin(2x+π6)，则fπ3=2sin(2×π3+π6)=1.
故答案为：1.
5．已知函数fx=1-2sinx.
(1)用“五点法”做出函数fx在x∈0,2π上的简图；
(2)若方程fx=a在x∈-2π3,5π6上有两个实根，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)-1,0⋃1+3,3
【解析】
(1)列表：
作图：
(2)若方程fx=a在x∈-2π3,5π6上有两个实根，
则y=sinx与y=1-a2在x∈-2π3,5π6上有两个不同的交点，
因为x∈-2π3,5π6，所以sinx∈-1,1
作出函数y=sinx在x∈-2π3,5π6的图象，如下图所示：
又sin-2π3=-32，sin-π2=-1，sin5π6=12，sinπ2=1，
由图象可得，-1<1-a2≤-32或12≤1-a2<1，
故a的取值范围是-1,0⋃1+3,3.
考点10 正切函数图像与性质
1．若函数fx=tanπ+ωxω>0的图象的相邻两支截直线y=1所得的线段长为π3，则fπ12=______．
【答案】1
【解析】
因为fx=tanπ+ωx=tanωxω>0，
且函数fx的图象的相邻两支截直线y=1所得的线段长为π3，
所以，函数fx的最小正周期T=π3=πω，所以ω=3，则fx=tan3x，
因此，fπ12=tanπ4=1.
故答案为：1.
2．若函数fx=tanx在区间-aπ3,aπ2上是增函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】0,1
【解析】
因为aπ2>-aπ3，所以a>0，
所以a>0-aπ3≥-π2aπ2≤π2，解得0故答案为：0,1
3．直线x=-3π8,x=π8都是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的对称轴，且函数f(x)在区间-3π8,π8上单调递增，则函数f(x)的解析式为f(x)=__________．
【答案】sin2x+π4
【解析】
由题意，x=-3π8,x=π8为fx的两条相邻的对称轴，且当x=-3π8时fx取得最小值，当x=π8时fx取得最大值.故周期T=2×π8--3π8=π，故2πω=π，解得ω=2.又当x=π8时fx取得最大值，故2×π8+φ=π2+2kπk∈Z，即φ=π4+2kπk∈Z，又0<φ<π，故φ=π4.所以fx=sin2x+π4
故答案为：sin2x+π4
4．设函数fx=tanx2-π3．
(1)求函数fx的定义域和单调区间;
(2)求不等式fx≤3的解集．
【答案】(1)定义域为xx≠2kπ+5π3,k∈Z；无单调递减区间；单调递增区间为-π3+2kπ,5π3+2kπk∈Z
(2)-π3+2kπ,4π3+2kπk∈Z
【解析】
（1）由题意得：x2-π3≠kπ+π2k∈Z，解得：x≠2kπ+5π3k∈Z，
∴fx的定义域为xx≠2kπ+5π3,k∈Z；
令-π2+kπ∴fx的单调递增区间为-π3+2kπ,5π3+2kπk∈Z，无单调递减区间.
（2）由fx≤3得：-π2+kπ则fx≤3的解集为-π3+2kπ,4π3+2kπk∈Z.
5．已知函数f(x)=-tan12x-π4
(1)求f(x)的定义域和最小正周期；
(2)求f(x)的单调区间．
【答案】(1)定义域为x∣x≠3π2+2kπ,k∈Z；最小正周期为2π
(2)单调递减区间为-π2+2kπ,3π2+2kπ(k∈Z)
【解析】
(1)要使函数fx有意义，只需12x-π4≠π2+kπ k∈Z，
解得x≠3π2+2kπ，k∈Z
所以函数fx的定义域为x∣x≠3π2+2kπ,k∈Z．
函数fx的最小正周期为T=π12=2π．
(2)由于正切函数y=tanx在区间-π2+kπ,π2+kπk∈Z上单调递增，
对于函数y=tan12x-π4令-π2+kπ<12x-π4<π2+kπ，k∈Z
解得-π2+2kπ即y=tan12x-π4在-π2+2kπ,3π2+2kπk∈Z上单调递增
而函数y=tan12x-π4与fx=-tan12x-π4单调性相反
故函数fx=-tan12x-π4单调递减区间为-π2+2kπ,3π2+2kπk∈Z
考点11 给角求值
1．计算：2⋅sin40°⋅sin80°cs40∘+cs60∘=（ ）
A．-22B．-12C．22D．12
【答案】C
【解析】
因为sin40°⋅sin80°cs40°+cs60°=sin（60°-20°）⋅sin（60°+20°）cs40°+12=（32cs20°）2-（12sin20°）232-2sin220°
=34cs220°-14sin220°2（34-sin220°）=34-sin220°2（34-sin220°）=12，所以原式=22
故选：C
2．sin110∘cs250∘cs225∘-sin2155∘的值为（ ）
A．-12B．12C．32D．-32
【答案】A
【解析】
原式=-sin70∘cs70∘cs225∘-sin225∘=-12sin140∘cs50∘=-12sin40∘sin40∘=-12.
故选：A
3．4sin10°+3tan10°=______.
【答案】1
【解析】
4sin10°+3tan10°=4sin10°cs10°cs10°+3sin10°cs10°=2sin20°+2sin60°sin10°cs10°
=2sin20°+2×-12cs60°+10°-cs60°-10°cs10°=2sin20°-cs70°+cs50°cs10°
=2cs70°-cs70°+cs50°cs10°=cs70°+cs50°cs10°=2cs60°cs10°cs10°=2cs60°=1
故答案为：1
4．tan30°+tan70°sin10°=___________.
【答案】33
【解析】
tan30°+tan70°sin10°=(sin30°cs30°+sin70°cs70°)sin10°
=(sin30°cs70°+cs30sin70°)sin10°cs30°cs70°
=sin100°sin10°32sin20°=2sin10°cs10°3sin20°=33.
故答案为：33.
5．cs80°-2cs250°+1cs35°cs65°+cs55°cs155°= ______.
【答案】-2
【解析】
原式=cs80°-2cs250°+1sin55°cs65°-cs55°sin65°=cs80°-cs100°sin55°-65°=2cs80°sin-10°=-2.
故答案为：-2．
考点12给值求值
1．已知sinα-sinβ=-23,csα-csβ=23，且α,β∈0,π2，则tanα-β的值为（ ）
A．-2145B．±2145C．52D．±52
【答案】A
【解析】
由sinα-sinβ=-23可得sin2α-2sinαsinβ+sin2β=49，
由csα-csβ=23可得cs2α-2csαcsβ+cs2β=49，
两式相加可得2-2csα-β=89，所以csα-β=59，
因为sinα-sinβ=-23<0，α,β∈0,π2，所以α-β∈-π2,0，
所以sinα-β=-2149，tanα-β=-2145
故选：A
2．已知cs52π-α=2cs2π+α，且tanα+β=13，则tanβ的值为（ ）
A．-7B．7C．1D．-1
【答案】D
【解析】
因为cs52π-α=2cs2π+α，所以sinα=2csα，
所以tanα=sinαcsα=2，又tanα+β=13，
所以tanβ=tanα+β-α=tanα+β-tanα1+tanα+βtanα=13-21+13×2=-1.
故选：D
3．已知 csπ6-a=23，则sinπ6+2a=________.
【答案】-19
【解析】
因为2π6-a+π6+2a=π2，所以sinπ6+2a=sinπ2-2π6-a=cs2π6-a=2cs2π6-a-1=2×49-1=-19.
故答案为：-19.
4．已知α，β均为锐角sinα=45，cs(α+β)=-1213，则sinβ＝______．
【答案】6365
【解析】
∵α，β都是锐角，
∴α+β∈(0,π)，
又sinα=45，cs(α+β)=-1213，
所以csα=35，sin(α+β)=513，
则sinβ=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)csα-cs(α+β)sinα
=513×35+1213×45
=6365．
故答案为：6365.
5．已知sinα=2sinβ,tanα=3tanβ，则cs2α=____.
【答案】-14或1
【解析】
∵sinα=2sinβ，∴sinβ=12sinα ①.
∵tanα=3tanβ，∴sinαcsα=3sinβcsβ，可得csβ=32csα②，或sinα=0③．
若②成立，则把①、②平方相加可得 1=14sin2α+94cs2α=14+2cs2α，
解得cs2α=38．可得：cs2α=2cs2α－1=-14，
若③成立，则有cs2α=1．可得cs2α=2cs2α－1=1，
综上可得，cs2α=-14，或cs2α=1．
故答案为：-14或1．
考点13给值求角
1．设α,β∈-π2,π2，且sinα=1010，sinβ=-55，则α-β=（ ）
A．π4B．-π4C．π3D．π4或-π4
【答案】A
【解析】
因为sinα>0，sinβ<0，所以0<α<π2，-π2<β<0.易知csα=31010，csβ=255，0<α-β<π，则csα-β=31010×255+1010×-55=22，故α-β=π4.
故选：A
2．若csα=17,sin(α+β)=5314,0<α<π2,0<β<π2，则角β的值为（ ）
A．π3B．5π12C．π6D．π4
【答案】A
【解析】
∵0<α<π2,0<β<π2，
∴0<α+β<π，
由csα=17，sinα+β=5314，得sinα=437，cs(α+β)=±1114，
若cs(α+β)=1114，
则sinβ=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)csα-cs(α+β)sinα
=5314×17-1114×437<0，
与sinβ>0矛盾，故舍去，
若cs(α+β)=-1114，
则csβ=cs[(α+β)-α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα
=-1114×17+5314×437=12，
又∵β∈(0,π2)，
∴β=π3.
故选：A.
3．已知α,β都是锐角，csα=17,cs(α+β)=-1114，则β=___________.
【答案】π3
【解析】
∵α、β为锐角，∴0<α+β<π
∵csα=17，cs(α+β)=-1114
∴sinα=1-cs2α=437，sin(α+β)=1-cs2α+β=5314
∴csβ=cs[(α+β)-α]
=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα=(-1114)×17+5314×437=12
由于β为锐角，∴β=π3
故答案为： π3
4．已知sinπ4-α=-55,sin3π4+β=1010，且α∈π4,3π4,β∈0,π4，求α-β的值为_____．
【答案】π4
【解析】
α∈π4,3π4,β∈0,π4，则α-β∈0,3π4，注意到
α-β=π-π4-α+3π4+β，于是
sin(α-β)=sinπ-π4-α+3π4+β=sinπ4-α+3π4+β，不妨记
x=π4-α ,y=3π4+β，于是sin(α-β)=sin(x+y)=sinxcsy+sinycsx，而x∈-π2,0,sinx=-55，于是csx=255（负值舍去），又y∈3π4,π,siny=1010，则csy=-31010（正值舍去），于是计算可得：
sin(α-β)=sin(x+y)=sinxcsy+sinycsx=22，而α-β∈0,3π4，于是
α-β=π4.
故答案为：π4.
5．若1+3tan80∘=1sinα，则α的一个可能角度值为__________.
【答案】50∘,130∘,410∘,490∘等答案较多
【解析】
1+3tan80∘=sin80∘+3cs80∘sin80∘=2sin(80∘+60∘)sin80∘=2sin140∘2sin40∘cs40∘
=2sin40∘2sin40∘cs40∘=1cs40∘=1sin50∘=1sinα
则sinα=sin50∘，故α=k⋅360+50∘,k∈Z，或α=k⋅360+130∘,k∈Z
故答案为：50∘,130∘,410∘,490∘等均符合题意.
考点14由函数图像求解析式
1．函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，则f(π2)的值为（ ）
A．-62B．-32C．-22D．-1
【答案】A
【解析】
由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ<π2)的部分图象知，
A=2，T4=2π4ω=7π12-π3，解得ω=2，
再由五点法作图可得2×π3+φ=π，解得φ=π3；
∴f(x)=2sin(2x+π3)，
∴fπ2=2sin2×π2+π3=-2sinπ3=-62．
故选：A．
2．如图表示电流强度I与时间t的关系I=Asinωx+φA>0,ω>0在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（ ）
A．ω=50π
B．φ=π6
C．t=0时，I=1503
D．t=1100时，I=300
【答案】C
【解析】
由图像可知，A=300，T=21150+1300=150，则ω=2πT=100π，
I=300sin100πt+φ代入-1300，0，得φ=π3，∴I=300sin100πt+π3
当t=0时，I=300sinπ3=1503，故C正确.
对于D，当t=1100时，I=300sinπ+π3=-1503≠300，I取得最大值300，故D错误.
故选:C.
3．已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示.将函数fx的图象向右平移3π16个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=gx的图象，则gx=（ ）
A．2sinx-π8B．2sinx+π8C．2sin4x-π8D．2sin4x+π8
【答案】A
【解析】
由图象可知：A=fxmax-fxmin2=2，最小正周期T=43π8-π8=π，∴ω=2πT=2，∴fx=2sin2x+φ，
∵fπ8=2sinπ4+φ=2，∴π4+φ=2kπ+π2k∈Z，解得：φ=2kπ+π4k∈Z，
又φ<π2，∴φ=π4，∴fx=2sin2x+π4；
将fx图象向右平移3π16个单位长度可得：fx-3π16=2sin2x-3π8+π4=2sin2x-π8；
将fx-3π16横坐标变为原来的2倍得：gx=2sinx-π8.
故选：A.
4．函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，0<φ<π）的部分图像如图所示，将f(x)的图像向右平移π3个单位长度得到函数g(x)的图像，则g(x)=__________．
【答案】sin2x-π3
【解析】
由题图可知：A=1，14T=7π12-π3=π4，又T=2πω，所以ω=2．
又2×π3+φ=π+2kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以令k=0，得φ=π3.
所以f(x)=sin2x+π3，所以gx=sin2x-π3+π3=sin2x-π3．
故答案为：sin2x-π3.
5．已知函数fx=Acsωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，则函数fx的解析式为______.
【答案】fx=2cs2x-π6
【解析】
根据函数fx=Acsωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象，
可得12⋅2πω=712π-π12，∴ω=2
由题得2×π12+φ=2kπ，k∈Z，求得φ=-π6.
所以fx=Acs2x-π6.
再根据图象经过点0,3，可得Acs-π6=3，
∴A=2，所以fx=2cs2x-π6.
故答案为：fx=2cs2x-π6.
考点15三角函数的综合运用
1．已知函数f(x)=sin(π6-2x)-12，g(x)=2cs(2x+π6)-2-m，
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)求函数g(x)的最大值、最小值及对应的x值的集合；
(3)若对任意x1∈[-π6,π3]，存在x2∈[-π6,π3]，使得f(x1)=g(x2)，求实数m的取值范围.
【答案】(1)kπ-π6,kπ+π3k∈Z.
(2)x=kπ-π12,k∈Z时， gxmax=-m；x=kπ+π12,k∈Z 时，gxmin=-m-4.
(3)m∈-12-3,-12
【解析】
（1）2kπ-π2≤π6-2x≤2kπ+π2,k∈Z，解不等式得：x∈kπ-π6,kπ+π3,k∈Z ，
所以函数的单调递减区间为kπ-π6,kπ+π3,k∈Z.
（2）2x+π6=2kπ，即x=kπ-π12,k∈Z时， gxmax=-m，
2x+π6=2kπ+π，即x=kπ+5π12,k∈Z 时，gxmin=-m-4；
（3）x1∈[-π6,π3]时，-π2≤π6-2x1≤π2，-32≤fx1≤12，
x2∈[-π6,π3]时，2x2+π6∈-π6,5π6 ，g(x2)∈-m-2-3,-m ，
要使得f(x1)=g(x2)，只需{-m≥12-m-2-3≤-32，∴m∈-12-3,-12 .
2．设函数f(x)=sinx+3csx(x∈R)．
(1)求函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期；
(2)求函数y=f(x)f(x-π3)在区间[0,π2]上的值域．
【答案】(1)函数y=[f(x+π4)]2的最小正周期为：π
(2)函数y=f(x)f(x-π3)在区间[0,π2]的值域为：0,3．
【解析】
（1）由辅助角公式得：f(x)=sinx+3csx=2sin(x+π3)，
则y=[f(x+π2)]2=[2sin(x+π2+π3)]2
=4cs2x+π3=22cs2x+π3-1+1=2cs2x+2π3+2，
所以该函数的最小正周期T=2π2=π；
∴ 函数y=[f(x+π4)]2的最小正周期为：π.
（2）由（1）可知，f(x)=2sin(x+π3)
∴y=f(x)f(x-π3)
=2sin(x+π3)⋅2sinx
=4sinx⋅(12sinx+32csx)
=2sin2x+23sinxcsx
=1-cs2x+3sin2x
=3sin2x-cs2x+1
=2sin(2x-π6)+1
由x∈[0,π2]可得2x-π6∈[-π6,5π6]，
∴ -12≤sin(2x-π6)≤1
∴ 0≤2sin(2x-π6)+1≤3即0≤y≤3
∴函数y=f(x)f(x-π3)在区间[0,π2]的值域为：0,3．
3．在①函数fx=sinωx+3csωx2-2ω>0；②函数fx=4csωxsinωx+π6-1ω>0；这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
已知______（只需填序号），函数fx的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)求函数y=fx的解析式；
(2)求函数y=fx的单调递减区间及其在x∈0,π2上的最值．
【答案】(1)f(x)=2sin2x+π6；
(2)kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z)，最小值为-1，最大值为2.
【解析】
（1）选条件①：
f(x)=(sinωx+3csωx)2-2
=sin2ωx+3cs2ωx+23sinωxcsωx-2
=2cs2ωx-1+3sin2ωx
=3sin2ωx+cs2ωx
=2sin2ωx+π6，
又由函数fx的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，ω>0，
可知函数最小正周期T=2π2ω=π，∴ω=1，∴f(x)=2sin2x+π6．
选条件②：
f(x)=4csωxsinωx+π6-1
=4csωxsinωxcsπ6+csωxsinπ6-1
=23sinωxcsωx+2cs2ωx-1
=3sin2ωx+cs2ωx
=2sin2ωx+π6，
又函数fx的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，ω>0，所以可得最小正周期T=2π2ω=π，∴ω=1，∴f(x)=2sin2x+π6；
（2）由（1）知f(x)=2sin2x+π6，由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+32π(k∈Z)，解得kπ+π6≤x≤kπ+23π(k∈Z)，
∴函数f(x)单调递减区间为kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z)．
由x∈0,π2⇒2x+π6∈π6,7π6，从而sin2x+π6∈-12,1,
故f(x)在区间0,π2上的最小值为-1，最大值为2．.
4．已知函数f(x)=2cs2ωx+23sinωxcsωx+a（ω>0，a∈R）.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f(x)解析式的两个合理条件作为已知，条件①：f(x)的最大值为1；条件②：f(x)的一条对称轴是直线x=-π12ω；条件③：f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为π2.求：
(1)求函数f(x)的解析式；并求f(x)的单调递增区间、对称中心坐标；
(2)若将函数f(x)图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向右平移π12单位，得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间[0,m]上的最小值为g(0)，求m的最大值.
【答案】(1)f(x)=2sin(2x+π6)-1；[-π3+kπ,π6+kπ]（k∈Z）；(-π12+kπ2,-1)（k∈Z）
(2)π3
【解析】
（1）fx=2cs2ωx+23sinωxcsωx+a
=cs2ωx+3sin2ωx+a+1=2sin2ωx+π6+a+1，
当选条件①时，a+3=1，解得a=-2；
当选条件②时，2ω⋅-π12ω+π6=0≠π2+kπ,k∈Z，
显然条件②不合理；
当选条件③时，T2=π2，即T=2π2ω=π，
解得ω=1；
综上所述，条件①③能确定函数fx解析式，
且f(x)=2sin2x+π6-1；
令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，
得-π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z
所以函数f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ]（k∈Z）；
令2x+π6=kπ，得x=-π12+kπ2，k∈Z，
所以函数f(x)的对称中心坐标为(-π12+kπ,-1)，k∈Z；
（2）将函数f(x)图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，
得到y=2sin(4x+π6)-1的图象，再向右平移π12单位，
得到函数y=2sin[4(x-π12)+π6]-1=2sin(4x-π6)-1的图象，
即gx=2sin4x-π6-1；
因为x∈0,m，所以4x-π6∈-π6,4m-π6，
因为gx在区间0,m上的最小值为g0，
所以4m-π6≤7π6m>0，解得0所以m的最大值为π3.
5．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.
条件①：c-a=π2；条件②：b=π3；条件③：c=7π12.
注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)=f(x)⋅cs2x+π3，若g(x)在区间[0,m]上单调递减，求m的最大值.
【答案】(1)条件选择见解析，f(x)=2sin2x+π3
(2)5π24
【解析】
（1）选条件①②：
因为c-a=π2，所以T2=π2，即T=π，则ω=2πT=2.
由图可知A=2，则f(x)=2sin(2x+φ).
因为b=π3，f(b)=2sin2π3+φ=0，所以2π3+φ=kπ,k∈Z，即φ=-2π3+kπ.
因为0<φ<π，所以φ=π3,k=1，
所以f(x)=2sin2x+π3.
选条件①③：
因为c-a=π2，所以T2=π2，即T=π，则ω=2πT=2.
由题意可知A=2，则f(x)=2sin(2x+φ).
因为c=7π12,f(c)=2sin7π6+φ=-2，
所以7π6+φ=3π2+2kπ,k∈Z，即φ=π3+2kπ.
因为0<φ<π，所以φ=π3,k=0.
所以f(x)=2sin2x+π3.
选条件②③：
因为b=π3,c=7π12，所以c-b=π4=T4，即T=π，则ω=2πT=2.
由题意可知A=2，则f(x)=2sin(2x+φ).
因为c=7π12，f(c)=2sin7π6+φ=-2，
所以7π6+φ=3π2+2kπ,k∈Z，即φ=π3+2kπ.
因为0<φ<π，所以φ=π3,k=0，
所以f(x)=2sin2x+π3.
（2）g(x)=2sin2x+π3⋅cs2x+π3=sin4x+2π3.
由π2+2kπ≤4x+2π3≤3π2+2kπ，
得-π24+kπ2≤x≤5π24+kπ2.
因为函数y=g(x)在区间[0,m]上单调递减，且0∈-π24,5π24，此时k=0.
所以m≤5π24，所以m的最大值是5π24.x
0
π2
π
3π2
2π
fx
1
-1
1
3
1