【备战期中必刷真题】 新高考期中专题07 复数综合 高一下学期期中考试真题必刷强化训练（新高考通用）

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【备战期中必刷真题】
新高考期中专题07 复数综合
高一下学期期中考试真题必刷强化训练（新高考通用）

一、单选题
1．（2022春·福建厦门·高一厦门市第三中学校考期中）复数的共轭复数是（    ）
A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
【答案】C
【分析】根据复数的除法求解，再分析共轭复数即可
【详解】，其共轭复数为
故选：C
2．（2022春·河北邯郸·高一校联考期中）已知复数，则的虚部为（    ）
A．2 B．2 C． D．-2
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到其共轭复数，从而判断可得；
【详解】解：因为，所以，则的虚部为；
故选：A
3．（2022春·福建泉州·高一校考期中）已知复数满足则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据式子进行变形,求出即可.
【详解】解：由，得,
故选：C．
4．（2022春·福建泉州·高一福建省泉州市培元中学校考期中）已知复数（是虚数单位），则等于（    ）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【分析】求出的共轭复数，再根据复数代数形式的乘法计算可得；
【详解】解：∵，
∴，
则，
故选：D．
5．（2022春·福建三明·高一校联考期中）已知复数满足则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据共轭复数的定义得到，再根据复数模的计算公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以；
故选：B
6．（2022春·河北石家庄·高一河北师范大学附属中学校考期中）复数则在复平面内，z对应的点的坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法求得z再根据复数的几何意义判断即可
【详解】，故z对应的点的坐标是
故选：A
7．（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期中）已知，“实系数一元二次方程的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足且”的（    ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
【答案】D
【分析】分别求出实系数一元二次方程的两根都是虚数，存在复数z同时满足且的等价条件，分析二者的关系即可得出结论.
【详解】∵实系数一元二次方程的两根都是虚数，
∴，∴；
设，
由可得，表示以为圆心，以2为半径的圆；
由可得是以为圆心，以1为半径的圆.
由题意可知复平面上的圆和圆有公共交点.
所以，即，
所以，实数，
因为不能推出，也不能推出，
所以“实系数一元二次方程的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足且”的既不是充分条件也不是必要条件.
故选：D.
8．（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期中）已知复数满足：（为虚数单位），且在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的虚部为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用复数相等的条件求出z，再求的虚部.
【详解】设（），则，可得，
∵，，解得、，∴，∴.
故选：C.
9．（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）复数满足，则的范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，由得，后可得答案.
【详解】设，则.
则.
则.
故选：C

二、多选题
10．（2022春·福建泉州·高一校联考期中）已知不相等的复数，则下列说法正确的是（    ）
A．若是实数，则与不一定相等
B．若，则
C．若，则在复平面内对应的点关于实轴对称
D．若，则
【答案】AC
【分析】通过举例可判断A,B,D；由共轭复数的的概念判断C.
【详解】取，，此时是实数，但共轭复数不相等，故A正确；
取，，满足，但，故B错误；
若，则的实部相等，虚部互为相反数，则在复平面内对应的点关于实轴对称，故C正确；
取，，此时，，
满足，但与不能比较大小，故D错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查复数的运算与复数模的求法，考查运算求解能力，是基础题.
11．（2022春·河北邯郸·高一校联考期中）已知复数z满足（为虚数单位），复数z的共轭复数为，则（    ）
A． B．复数z对应复平面上的点在第一象限
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据复数代数形式的运算法则化简计算即可判断A、D，根据复数模的计算公式及复数的几何意义判断B、C；
【详解】解：，所以，故A正确；复数对应复平面上对应的点为位于第一象限，故B正确；，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD.
12．（2022春·河北沧州·高一沧县中学校考期中）在复平面内，下列说法正确的是（    ）
A．若复数（为虚数单位），则
B．若复数满足，则
C．若复数，则为纯虚数的充要条件是
D．若复数满足，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以1为半径的圆
【答案】AD
【分析】A：根据复数的运算法则计算即可；B：设，根据求出a、b的值即可判断；C：根据纯虚数的概念即可判断；D：设，求出z对应的点(a,b)的轨迹方程即可判断．
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，设，则，
；当时，R，故B错误；
对于C，，则z为纯虚数的充要条件是且，故C错误；
对于D，设，则，
则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确．
故选：AD．
13．（2022春·福建三明·高一校联考期中）下列有关复数的叙述正确的是（    ）
A．若，则 B．若，则的虚部为
C．若，则不可能为纯虚数 ． D．若，则  ．
【答案】ACD
【分析】根据复数的运算、复数的概念、复数模的几何意义判断各选项．
【详解】，所以，A正确；
，虚部是，B错误；
，若，则是实数，若，则是虚数，不是纯虚数，C正确；
，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确．
故选：ACD．
14．（2022春·福建泉州·高一泉州五中校考期中）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（    ）
A．点在复平面上的坐标为 B．
C．的最大值为 D．的最小值为1
【答案】ABC
【分析】复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，可得．复数满足，可得对应的点的轨迹为：以为圆心，1为半径的圆．因此的最大值为；的最小值为．
【详解】复数在复平面内对应的点为，则，．
复数满足，则对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆．
∴的最大值为；
的最小值为．
综上可得：ABC正确，D不正确．
故选：ABC．
15．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）下列说法中正确的有（    ）
A．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第四象限；
B．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第三象限；
C．在中，若，则为等腰或直角三角形；
D．在中，若，则为等腰三角形.
【答案】ABD
【分析】结合复数的四则运算以及复数在复平面内所对应点的特征即可判断AB选项，结合正弦定理即可判断C选项，根据平面向量数量积的定义以及诱导公式即可判断D选项.
【详解】因为，所以，所以，其所对应的点的坐标是，在第四象限，故A正确；
，所对应的点的坐标是，在第三象限，故B正确；
因为，结合正弦定理可得，因此为等腰三角形，故C错误；
因为，所以，即，即，
所以，又因为，所以，所以为等腰三角形，故D正确，
故选：ABD.
16．（2022春·山东枣庄·高一统考期中）设为复数，则下列命题正确的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则或
【答案】AD
【分析】通过反例可说明BC错误；设，，根据模长运算和复数乘法运算可分析得到AD正确.
【详解】对于A，设，，则，
，即，，A正确；
对于B，令，，则，此时，B错误；
对于C，令，，则，此时，C错误；
对于D，设，，则，
，即，则；
若，则成立，此时；
若，，由知：；由知：；此时；
同理可知：当，时，；
若，，由得：，，此时；
综上所述：若，则或，D正确.
故选：AD.
17．（2022春·湖北·高一校联考期中）理查德·费曼称欧拉恒等式为“数学最美妙的公式”，数学家们评价它是“上帝创造的公式，我们只能看它而不能理解它”.欧拉恒等式是：，其中自然对数的底数､圆周率､虚数单位､与自然数1和0完美的结合在一起.它是由欧拉公式：，令得到的，设复数，则以下说法正确的是（    ）
A．复数的虚部为 B．复数的共轭复数为
C． D．在复平面内与复数对应的点在第四象限
【答案】BC
【分析】由，逐项判断.
【详解】；
选项A，复数的虚部，选项A错误；
选项B，复数的共扼复数为，选项B正确；
选项C，，选项C正确；
选项D，在复平面内与对应的点在第三象限，选项D错误.
故选：BC
18．（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期中）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（    ）
A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
B．若点Z的坐标为（－1，l），则z＋1是纯虚数
C．若，则z的虚部为－2i
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为
【答案】BD
【分析】对于A，举例判断即可，对于B，直接求解即可，对于C，由已知直接判断，对于D，根据复数的几何意义求解即可
【详解】对于A，若，则，所以A错误，
对于B，由于点Z的坐标为（－1，l），所以，所以是纯虚数，所以B正确，
对于C，由于，所以z的虚部为－2，所以C错误，
对于D，设，则，因为，所以，所以点Z的集合所构成的图形的面积为，所以D正确，
故选：BD
19．（2022春·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校联考期中）设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（    ）
A．若为纯虚数，则实数a的值为2
B．若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C．实数是（为的共轭复数）的充要条件
D．若，则实数a的值为2
【答案】ACD
【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误
【详解】
∴选项A：为纯虚数，有可得，故正确
选项B：在复平面内对应的点在第三象限，有解得，故错误
选项C：时，；时，即，它们互为充要条件，故正确
选项D：时，有，即，故正确
故选：ACD
【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围
20．（2022春·湖北恩施·高一校联考期中）已知i为虚数单位,下列命题中正确的是
A．若x,,则的充要条件是
B．是纯虚数
C．若,则
D．当时,复数是纯虚数
【答案】BD
【解析】选项A：取,满足方程，所以错误；选项B：,恒成立，所以正确；选项C：取,,，所以错误；选项D：代入
，验证结果是纯虚数，所以正确.
【详解】取,,则,
但不满足,故A错误；
,恒成立,所以是纯虚数,
故B正确；
取,,则,但不成立,故C错误;
时，复数是纯虚数,
故D正确.
故选:BD.
【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.
21．（2022春·湖南邵阳·高一统考期中）已知a，，，，则下列说法正确的是（    ）
A．z的虚部是 B．
C． D．z对应的点在第二象限
【答案】BC
【分析】根据复数相等的定义，结合复数虚部定义、复数模的定义、共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征逐一判断即可.
【详解】由复数相等可得解得所以，
对于A，的虚部是2，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，对应的点在虚轴上，故D错误.
故选：BC
22．（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）下列四个命题中，真命题为（    ）
A．若复数满足，则 B．若复数满足，则
C．若复数满足，则 D．若复数，满足，则
【答案】AB
【分析】根据复数实部和虚部特点，利用特值法依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，若复数，设，其中，则，则选项A正确；
对选项B，若设，其中，且，则，则选项B正确；
对选项C，若，设，则，但，则选项C错误；
对选项D，若复数，满足，设，，则，
而，则选项D错误.
故选：AB.

三、填空题
23．（2022春·福建泉州·高一泉州五中校考期中）若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则____________．
【答案】1
【分析】依题意知，解之即可．
【详解】因为复数为纯虚数，则，解得．
故答案为：1．
24．（2022春·河北沧州·高一沧县中学校考期中）设复数为纯虚数，则复数的模为___________.
【答案】
【分析】根据纯虚数的概念列方程组求m值，进而写出，即可求模.
【详解】由题设，，解得，
所以，故的模为.
故答案为：
25．（2022春·河北邯郸·高一校联考期中）已知复数，则___________.
【答案】10
【分析】根据复数的代数形式的运算法则求出，再由共轭复数的概念得到，即可解出.
【详解】因为，所以，因此.
故答案为：10.
26．（2022春·山东青岛·高一山东省青岛第十九中学校考期中）若复数满足，则=_________
【答案】
【分析】利用复数的乘方运算和除法运算求出，再求出作答.
【详解】依题意，，
所以.
故答案为：
27．（2022春·山东·高一山东省实验中学校考期中）计算__.
【答案】
【分析】由复数的除法和乘法化简，，再求即可.
【详解】，

故答案为：
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于中档题.
28．（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期中）已知是虚数单位，则________.
【答案】
【分析】利用复数的除法及虚数单位的性质可求得代数式的值.
【详解】，
故答案为：
29．（2022春·湖南·高一校联考期中）已知复数z满足，那么的取值范围为_________.
【答案】
【分析】先得出复数对应的点的轨迹为复平面内连接点(0,1)和(0,−1)的线段，根据的几何意义，利用数形结合思想可得出的范围.
【详解】设，由可得
即，表示点到点，的距离之和为2.
又点，之间的距离为2，所以表示z对应的点的轨迹是以，为端点的线段
表示z对应的点与 的距离，
如图在z取时有最小值3，z取或时有最大值，
故取值范围为.
故答案为：

30．（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）已知复数满足，求的最小值______．
【答案】10
【分析】根据给定条件，可得，，再计算复数的模并结合几何意义计算作答.
【详解】复数，由，即，
于是得，整理得，，即，
表示点与点、距离的和，
显然点P在x轴上，而线段AB与x轴相交，因此，，
当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时取“=”，
所以的最小值是10.
故答案为：10
31．（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为______.
【答案】
【解析】首先设 (，且)，代入方程，化简为，再分和两种情况求验证是否成立.
【详解】设，(，且)
则原方程变为.
所以，①且，②；
（1）若，则解得，当时①无实数解，舍去；
从而，此时或3，故满足条件；
（2）若，由②知，或，显然不满足，故，代入①得，，
所以.
综上满足条件的所以复数的和为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数.

四、解答题
32．（2022春·河北沧州·高一沧县中学校考期中）已知复数是实数.
(1)求复数；
(2)若复数是关于的方程的根，求实数和的值.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）根据复数的除法运算，化简，即可求解；
（2）利用复数相等的条件，列出方程，即可求解.
(1)
因为，可得

又为实数，可得，
解得，
所以.
(2)
因为是关于的方程的根，
所以，即，
可得，
解得.
33．（2022春·河北邯郸·高一校联考期中）若复数，当实数m为何值时.
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点在第四象限.
【答案】(1)2或
(2)3
(3)

【分析】（1）利用虚部为得到方程计算可得；
（2）利用实部为且虚部不为，得到方程（不等式）组，解得即可；
（3）利用实部大于且虚部小于，得到不等式组，解得即可；
(1)
解：复数的实部为，虚部为；
当是实数时，，解得或，所求的m值为2或；
(2)
解：当是纯虚数时，，解得，∴所以m值为3；
(3)
解：当对应的点在第四象限时，，解得，∴实数的取值范围是.
34．（2022春·福建三明·高一校联考期中）已知复数为虚数单位．
(1)若是关于的实系数方程的一个复数根，求，的值；
(2)若为实数，求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由实系数方程的复数根成对出现，它们互为共轭复数，结合韦达定理求解；
（2）由复数的除法法则化简，然后由复数的分类求解．
(1)
依题意知:是方程的另一个复数根，
所以，
(2)
因为
又为实数，所以．
35．（2022春·福建泉州·高一福建省泉州市培元中学校考期中）已知复数已在复平面内对应的点在第一象限，是虚数单位.
(1)求实数的取值范围
(2)当时，求复数的三角表示
(3)若复平面内，向量对应（2）中的复数，把绕点顺时针方向旋转得到，求向量对应的复数（结果用代数形式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据题意得，再求解集即可；（2）根据题意得，再分别求出，，即可求解；（3）设，根据题意得，再分析求解即可.
【详解】（1）因为复数已在复平面内对应的点在第一象限，
所以，解得，所以实数的取值范围为：
（2）当时，，所以，，
所以，所以
（3）根据题意得，设其旋转后对应向量，
所以，解得或，
又因为绕点顺时针方向旋转得到，所以对应的点在第四象限，
所以，所以.
36．（2022春·山东菏泽·高一统考期中）已知复数满足，为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)设z，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
【答案】(1)或；
(2)1.

【分析】（1）由复数模的意义、纯虚数的意义列式计算作答.
（2）利用（1）的结论，求出点A，B，C的坐标，求出三角形面积作答.
(1)
设（a，），则，
依题意，且，而，解得a=1，b=-1或a=-1，b=1，
所以或.
(2)
当时，，，则，，，
，点B到边AC距离为1，则，
当时，，，则，，，
，点B到边AC距离为1，，
所以△ABC的面积是1.
37．（2022春·山东临沂·高一统考期中）已知复数，i为虚数单位.
(1)求和；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）利用复数的运算法则求出，由此能求出和．
（2）由复数是关于的方程的一个根，得到，整理得，由此能求出实数，．
(1)
解：
所以，
(2)
解：因为复数是关于的方程的一个根，
所以，，即，
所以，，即.
所以，
38．（2022春·山东青岛·高一青岛大学附属中学校考期中）已知复数，其中i为虚数单位．
(1)若z是纯虚数，求实数m的值；
(2)若，是关于x的实系数方程的一个复数根，求实数a，b的值．
【答案】(1)1
(2)

【分析】（1）根据题意列方程组，即可求出m；
（2）判断出和是方程的根，以根与系数的关系即可求解.
(1)
因为复数是纯虚数，
所以，解得：m=1.
(2)
当时，.
因为是关于x的实系数方程的一个复数根，所以的共轭复数也是实系数方程的根，
所以，解得：.
39．（2022春·山东济宁·高一统考期中）已知向量，在复平面坐标系中，i为虚数单位，复数对应的点为．
（1）求﹔
（2）为曲线为的共轭复数)上的动点，求与之间的最小距离；
（3）若，求在上的投影向量．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据数量积公式，化简计算，可得m，根据复数的除法运算，可得，代入求模公式，即可得答案.
（2）由（1）可得，代入可得曲线可得，根据其几何意义，可得曲线是复平面内以圆心，半径为的圆，根据点与圆的位置关系，即可得答案.
（3）当，可得，坐标，代入求夹角公式，可得，的夹角，又可得与方向相同的单位向量，即可得答案.
【详解】（1）
所以．
所以．
所以
（2）由（1）可得，，
曲线，即，
因此曲线是复平面内以圆心，半径为的圆，
故与之间的距离为
所以与之间的最小距离为．
（3）因为，
所以
此时与的夹角余弦为
与方向相同的单位向量为
所以在上的投影向量
40．（2022春·山东滨州·高一统考期中）已知复数使得，，其中是虚数单位.
（1）求复数的共轭复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)根据、，结合复数的加法、除法运算即可求出，进而由共轭复数的概念求得；(2) 复数在复平面上对应的点在第四象限，即对应复数的实部、虚部都小于0，解不等式即可求得的范围
【详解】（1）设，则
∵
∴
又，
∴
综上，有
∴
（2）∵为实数，且
∴由题意得，解得
故，实数的取值范围是
【点睛】本题考查了复数，利用复数的四则运算及共轭复数的概念求复数，另外依据复数所处的象限求参数范围
41．（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期中）已知复数满足.
(1)求；
(2)若复数，求在复平面内对应点的集合构成的图形的面积.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用复数的乘法与除法可求得，进而可得出；
（2）设，利用复数的模长公式可得出，确定复数在复平面内的对应点的轨迹，即可得解.
(1)
解：，，
因此，.
(2)
解：设，则，，
所以，，
由可得，
所以，在复平面内对应点的形成以点为圆心，半径为的圆及其内部，
因此，在复平面内对应点的集合构成的图形的面积为.
42．（2022春·湖北·高一校联考期中）已知，为虚数单位，复数.
(1)若，求m的值
(2)若复数z对应的点在第二象限，求m的取值范围.
【答案】(1)或
(2)（1，2）

【分析】（1）根据为实数列方程，化简求得的值.
（2）根据对应点在第二象限列不等式组，从而求得的取值范围.
(1)
由知：，
即，
解得或.
(2)
由题意知：，
即，
解得：，故m的取值范围是（1，2）.
43．（2022春·湖南衡阳·高一统考期中）已知复数．
(1)求||的最小值；
(2)若复数为纯虚数，复数满足，，求．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由复数模的公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）根据复数的分类，列出方程组求得，设，结合题意，得到，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】（1）解：由复数，
可得，
故当时，的最小值为．
（2）解：因复数是纯虚数，所以，解得，故
设，则，
由题意得，解之得或，所以或，
所以.
44．（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位.
（1）求复数z和；
（2）若在第四象限，求m的范围.
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z，再求其模；
（2）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可：
【详解】（1）设，则，
由为实数，得，则，
由为实数，得，则，
∴，则；
（2）
由在第四象限，得，解得或，
故m的取值范围为．
【点睛】思路点睛：本题考查复数的有关概念及加减乘除等基本运算等有关知识的综合运用，考查利用复数在复平面上对应点所在象限求参数范围，求解时先设，然后依据题设建立方程求出，属于基础题.
45．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市回民中学校考期中）已知复数．
（1）求实数的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意，先计算出，再由即可求出结果；
（2）先由（1）知，再由复数的几何意义即可求出结果.
【详解】（1）因为，，
所以，
因为，所以，
解得或，
因为，所以．
（2）由（1）知，
因为，所以在复平面内对应点的轨迹为以（0,1）为圆心，以2为半径的圆．
故在复平面内表示对应的点到坐标原点的距离，
所以的取值范围即：以（0,1）为圆心，以2为半径的圆上的点到坐标原点的距离，
所以，即．
故的取值范围为．
【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，熟记概念和几何意义即可求解，属于基础题型.