中考数学三轮冲刺考前提高练习专题07 平行四边形（教师版）

专题07 平行四边形

（限时45分钟）

一、选择题（本大题共5道小题）

1. 如图，▱ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是              (　　)

A.EH=HG        B.四边形EFGH是平行四边形

C.AC⊥BD        D.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍

【答案】B　

【解析】∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在▱ABCD中，AB=2，AD=4，

∴EH=AD=2，HG=CD=AB=1，

∴EH≠HG，故选项A错误;

∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，

∴EH=AD=BC=FG，EH∥AD∥BC∥FG，

∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确;

由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误;

∵点E，F分别为OA和OB的中点，

∴EF=AB，EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，

∴=2=，即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误.故选B.

2. 四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是              (　　)

A.AD∥BC        B.OA=OC，OB=OD

C.AD∥BC，AB=DC      D.AC⊥BD

【答案】B　

【解析】∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.故选B.

3. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是 (　　)

A.1          B.     

C.2          D.

【答案】B　

【解析】连接CE，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，OC=OA，AD=BC=8，DC=AB=6.

∵EF⊥AC，OA=OC，∴AE=CE，在Rt△DEC中，DE2+DC2=CE2，即DE2+36=(8-DE)2，解得DE=，故选B.

4. 如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为              (　　)

A.12          B.15     

C.18          D.21

【答案】C　

【解析】∵折叠后点D恰好落在DC的延长线上的点E处，∴AC⊥DE，EC=CD=AB=3，

∴ED=6.

∵∠B=60°，∴∠D=60°，∴AD=2CD=6，

∴AE=6，∴△ADE的周长=AE+AD+ED=18，故选C.

5. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.有下列结论:①∠CAD=30°，②S▱ABCD=AB·AC，③OB=AB，④OE=BC，其中正确的有              (　　)

A.1个    B.2个    C.3个    D.4个

【答案】C　

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°.

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°，

∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE.

∵AB=BC，

∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，

故①正确;

∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB·AC，

故②正确;

∵AB=BC，OB=BD，BD>BC，

∴AB≠OB，故③错误;

∵CE=BE，CO=OA，

∴OE=AB=BC，

故④正确.

二、填空题（本大题共5道小题）

6. 已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为2，则这个菱形的面积是　　　　. 

【答案】2

【解析】∵菱形两对角线互相垂直且平分，较长对角线的一半为，∴菱形较短对角线的一半为=1.根据菱形面积等于两对角线长乘积的一半得:×2×2=2 .

7. 在平行四边形ABCD中，∠A=30°，AD=4，BD=4，则平行四边形ABCD的面积等于　　　　. 

【答案】16或8　

【解析】过D作DE⊥AB于E，

在Rt△ADE中，∵∠A=30°，AD=4，

∴DE=AD=2，AE=AD=6.

在Rt△BDE中，∵BD=4，∴BE===2.

如图①，AB=8，∴平行四边形ABCD的面积=AB·DE=8×2=16;

如图②，AB=4，∴平行四边形ABCD的面积=AB·DE=4×2=8.

故答案为:16或8.

8. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为　　　　. 

【答案】16　

【解析】由O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，点E是AB的中点，可得OE=AD，BE=AB，BO=BD，可得△BEO的周长是△BAD周长的一半，而△BCD的周长与△BAD的周长相等，故△BCD的周长为16.

9. 如图，▱ABCD中，∠ADC=119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF=　　　　度. 

【答案】61　

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，DC∥AB，

∵∠ADC=119°，DF⊥BC，

∴∠ADF=90°，则∠EDH=29°，

∵BE⊥DC，∴∠DEH=90°，∴∠DHE=∠BHF=90°-29°=61°.故答案为:61.

10. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为　　　　. 

【答案】12　

【解析】设图①中小直角三角形的两直角边长分别为a，b(b>a)，则由图②，图③可列方程组解得所以菱形的面积S=×4×6=12.故答案为12.

三、解答题（本大题共3道小题）

11. 如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA(不包括端点)上运动，且满足AE=CG，AH=CF.

(1)求证:△AEH≌△CGF;

(2)试判断四边形EFGH的形状，并说明理由.

【答案】见解析

【解析】(1)由矩形的性质得∠A=∠C=90°，结合条件AE=CG，AH=CF，用SAS即可得证.

(2)由(1)中△AEH≌△CGF可得HE=FG，与(1)同理可证得△BEF≌△DGH，进而有EF=GH，证得四边形EFGH为平行四边形.

解:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A=∠C=90°，

又∵AE=CG，AH=CF，

∴△AEH≌△CGF(SAS).

(2)四边形EFGH是平行四边形.

理由:由(1)中△AEH≌△CGF得HE=FG.

∵在矩形ABCD中有∠B=∠D=90°，AB=CD，BC=AD，且有AE=CG，AH=CF，

∴HD=BF，BE=DG，

∴△BEF≌△DGH，

∴EF=GH，

∴四边形EFGH为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).

12. 如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM.

(1)如图①，点E在CD上，点G在BC的延长线上，判断DM，EM的数量关系与位置关系，请直接写出结论.

(2)如图②，点E在DC的延长线上，点G在BC上，(1)中结论是否仍然成立?请证明你的结论.

【答案】

解:(1)结论:DM⊥EM，DM=EM.

【解析】延长EM交AD于H.

∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，

∴∠ADE=∠DEF=90°，

AD=CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH=∠MFE，

∵AM=MF，∠AMH=∠FME，

∴△AMH≌△FME，

∴MH=ME，AH=EF=EC，∴DH=DE，

∵∠EDH=90°，

∴DM⊥EM，DM=ME.

(2)结论不变.DM⊥EM，DM=EM.

证明:延长EM交DA的延长线于H.

∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，

∴∠ADE=∠DEF=90°，

AD=CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH=∠MFE，

∵AM=MF，∠AMH=∠FME，

∴△AMH≌△FME，

∴MH=ME，AH=EF=EC，

∴DH=DE，

∵∠EDH=90°，

∴DM⊥EM，DM=ME.

13. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.

(1)求证:四边形BECD是平行四边形;

(2)若∠A=50°，则当∠BOD=　　　　°时，四边形BECD是矩形. 

【答案】

解:(1)证明:

∵平行四边形ABCD，

∴AE∥DC，

∴∠EBO=∠DCO，∠BEO=∠CDO，

∵点O是边BC的中点，∴BO=CO，

∴△EBO≌△DCO(AAS)，

∴EO=DO，

∴四边形BECD是平行四边形.

(2)100　

【解析】若四边形BECD为矩形，

则BC=DE，BD⊥AE，

又AD=BC，

∴AD=DE.

根据等腰三角形的性质，

可知∠ADB=∠EDB=40°，

故∠BOD=180°-∠ADE=100°.