中考数学一轮复习培优训练：《相交线与平行线》 (含答案)

这是一份中考数学一轮复习培优训练：《相交线与平行线》 (含答案)，共24页。试卷主要包含了探究，综合与探究，课题学习，问题情境等内容，欢迎下载使用。

2020年中考数学一轮复习培优训练：
《相交线与平行线》

1．平面内有任意一点P和∠1，按要求解答下列问题：
（1）当点P在∠1外部时，如图①，过点P作PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A、B，量一量∠APB和∠1的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系　 　；
（2）当点P在∠1内部时，如图②，以点P为顶点作∠APB，使∠APB的两边分别和∠1的两边垂直，垂足分别为A、B，用数学式子写出∠APB和∠1的数量关系　 　；
（3）由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角　 　．
（4）在图②中，若∠1＝50°17'，求∠APB的度数．





2．探究：如图①，AB∥CD∥EF，试说明∠BCF＝∠B+∠F．下面给出了这道题的解题过程，请在下列解答中，填上适当的理由．
解：∵AB∥CD，（已知）
∴∠B＝∠1．（　 　）
同理可证，∠F＝∠2．
∵∠BCF＝∠1+∠2，
∴∠BCF＝∠B+∠F．（　 　）
应用：如图②，AB∥CD，点F在AB、CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，则∠DNG的大小为　 　度．
拓展：如图③，直线CD在直线AB、EF之间，且AB∥CD∥EF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH．若∠GQH＝70°，则∠AGQ+∠EHQ＝　 　度．



3．综合与探究
如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合）．BC，BD别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠ABN、∠CBD的度数；根据下列求解过程填空．
解：∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝　 　，
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝　 　，（　 　）
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝　 　．
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．


4．探究：
如图①，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、CB上，且DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝65°，求∠DEF的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）：

解：∵DE∥BC（　 　）
∴∠DEF＝　 　（　 　）
∵EF∥AB
∴　 　＝∠ABC（　 　）
∴∠DEF＝∠ABC（　 　）
∵∠ABC＝65°
∴∠DEF＝　 　
应用：
如图②，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC的延长线上，且DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝β，则∠DEF的大小为　 　（用含β的代数式表示）．
5．三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，当0°＜∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）．
（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为　 　；
②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为　 　；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE的角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．





6．【探究】如图①，∠AFH和∠CHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．
（1）若∠AFH＝60°，∠CHF＝50°，则∠EOF＝　 　度，∠FOH＝　 　度．
（2）若∠AFH+∠CHF＝100°，求∠FOH的度数．
【拓展】如图②，∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF＝α，直接写出∠FOH的度数．（用含a的代数式表示）









7．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．
求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程
解：过点A作ED∥BC，所以∠B＝∠EAB，∠C＝　 　．
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
所以∠B+∠BAC+∠C＝180°
解题反思：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：过点C作CF∥AB）
深化拓展：
（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°．点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．









8．如图1，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于点O，AE∥OF．
（1）若∠A＝30°时①求∠DOF的度数；②试说明OD平分∠AOG；
（2）如图2，设∠A的度数为α，当α为多少度时，射线OD是∠AOG的三等分线，并说明理由．






9．如图1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．

（1）若∠E＝50°，请直接写出∠F的度数；
（2）探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．



10．问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
结论应用
（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，则∠CFG等于　 　（用含α的式子表示）．




11．已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 　；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝　 　．

12．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝40°，则∠AED＝　 　°；
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度数．







13．如图，两条射线AM∥BN，线段CD的两个端点C、D分别在射线BN、AM上，且∠A＝∠BCD＝108°．E是线段AD上一点（不与点A、D重合），且BD平分∠EBC．
（1）求∠ABC的度数．
（2）请在图中找出与∠ABC相等的角，并说明理由．
（3）若平行移动CD，且AD＞CD，则∠ADB与∠AEB的度数之比是否随着CD位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．




14．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数．







15．已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE
（1）如图①，当∠A＝58°，∠B＝118°时，求∠C的度数；
（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．


参考答案
1．解：（1）如图1中，设PA交ON于F．
∵PA⊥OM，PB⊥ON，
∴∠PBF＝∠OAF＝90°，
∵∠PFB＝∠OFA，
∴∠APB＝∠1．
故答案为∠APB＝∠1．

（2）如图2中，∵∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠APB+∠1＝180°．
故答案为∠APB+∠1＝180°．

（3）由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补．

（4）∵∠APB+∠1＝180°，
∴∠APB＝180°﹣50°17′＝129°43′．

2．解：探究：：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1．（两直线平行内错角相等）
同理可证，∠F＝∠2．
∵∠BCF＝∠1+∠2，
∴∠BCF＝∠B+∠F．（等量代换）
故答案为：两直线平行，内错角相等，等量代换．

应用：由探究可知：∠MFN＝∠AMF+∠CNF，
∴∠CNF＝∠DNG＝115°﹣55°＝60°．
故答案为60．

拓展：如图③中，当的Q在直线GH的右侧时，∠AGQ+∠EHQ＝360°﹣70°＝290°，
当点Q′在直线GH的左侧时，∠AGQ′+∠EHQ′＝∠GQ′H＝70°．
故答案为70或290．

3．解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝120°
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝2∠PBD，（角平分线的定义），
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°．
故答案为120°，2∠PBD，角平分线的定义，60°．
（2）∠APB与∠ADB之间数量关系是：∠APB＝2∠ADB．不随点P运动变化．
理由是：∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN（两直线平行内错角相等），
∵BD平分∠PBN（已知），
∴∠PBN＝2∠DBN（角平分线的定义），
∴∠APB＝∠PBN═2∠DBN＝2∠ADB（等量代换），
即∠APB＝2∠ADB．
（3）结论：∠ABC＝30°．
理由：∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，
∴∠ABC+∠DBN＝60°，
∴∠ABC＝30°

4．解：探究：∵DE∥BC（已知）
∴∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等）
∵EF∥AB
∴∠CFE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）
∴∠DEF＝∠ABC（等量代换）
∵∠ABC＝65°
∴∠DEF＝65°
故答案为：已知；∠CFE；两直线平行，内错角相等；∠CFE；两直线平行，同位角相等；等量代换；65°．

应用：∵DE∥BC
∴∠ABC＝∠D＝β
∵EF∥AB
∴∠D+∠DEF＝180°
∴∠DEF＝180°﹣∠D＝180°﹣β，
故答案为：180°﹣β．

5．解：（1）①∵∠ACD＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠ACB＝90°+45°＝135°，
故答案为：135°；
②∠ACB＝140°，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°，
∴∠DCE＝∠DCA﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°；
故答案为：40°；
（2）∠ACB与∠DCE互补．理由：
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，
又∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°，
即∠ACB与∠DCE互补；
（3）存在一组边互相平行，
当∠ACE＝45°时，∠ACE＝∠E＝45°，此时AC∥BE；
当∠ACE＝30°时，∠ACB＝120°，此时∠A+∠ACB＝180°，故AD∥BC．
6．解：【探究】（1）∵∠AFH＝60°，OF平分∠AFH，
∴∠OFH＝30°，
又∵EG∥FH，
∴∠EOF＝∠OFH＝30°；
∵∠CHF＝50°，OH平分∠CHF，
∴∠FHO＝25°，
∴△FOH中，∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝125°；
故答案为：30，125；
（2）∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，
∴∠OFH＝∠AFH，∠OHF＝∠CHF．
∵∠AFH+∠CHF＝100°，
∴∠OFH+∠OHF＝（∠AFH+∠CHF）＝×100°＝50°．
∵EG∥FH，
∴∠EOF＝∠OFH，∠GOH＝∠OHF．
∴∠EOF+∠GOH＝∠OFH+∠OHF＝50°．
∵∠EOF+∠GOH+∠FOH＝180°，
∴∠FOH＝180°﹣（∠EOF+∠GOH ）＝180°﹣50°＝130°．
【拓展】∵∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，
∴∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI，
∴∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH
＝（∠CHI﹣∠AFH）
＝（180°﹣∠CHF﹣∠AFH）
＝（180°﹣α）
＝90°﹣α．

7．解：（1）∵ED∥BC，
∴∠C＝∠DAC，
故答案为：∠DAC；
（2）过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D＝∠FCD，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°，
（3）如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°．

8．解：（1）①∵AE∥OF
∴∠A＝∠BOF
∵OF平分∠COF
∴∠BOC＝60°，∠COF＝30°
∴∠DOF＝180﹣30°＝150°
②∵∠BOC＝60°
∴∠AOD＝60°
∵OF⊥OG
∴∠BOF+∠FOG＝90°
∴∠BOG＝60°
∵∠BOG+∠DOG+∠AOD＝180°
∴∠DOG＝60°＝∠AOD
∴OD平分∠AOG
（2）设∠AOD＝β
∵射线OD是∠AOG的三等分线
∴∠AOD＝2∠DOG，或∠DOG＝2∠AOD
若∠AOD＝2∠DOG
∴∠DOG＝β
∵∠BOC＝∠AOD，OF平分∠BOC
∴∠BOF＝β
∵OF⊥OG
∴∠BOG＝90﹣α
∵∠BOG+∠DOG+∠AOD＝180°
∴β+90﹣β+β＝180°
∴∠β＝90°
∴∠BOF＝45°
∵OF∥AE
∴∠A＝∠BOF＝45°
即α＝45°
若∠DOG＝2∠AOD＝2β
∵∠BOC＝∠AOD，OF平分∠BOC
∴∠BOF＝β
∵OF⊥OG
∴∠BOG＝90﹣α
∵∠BOG+∠DOG+∠AOD＝180°
∴2β+90﹣β+β＝180°
∴∠β＝36°
∴∠BOF＝18°
∴OF∥AE
∴∠A＝∠BOF＝18°
∴α＝18°
综上所述α为18°或45°
9．解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝110°，
∴∠DFN＝70°，
∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，
∴∠EFD＝∠MEF+70°
∴∠EFD＝∠BEF+50°＝100°；
故答案为：100°；

（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝110°，
∴∠DFN＝70°，
∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，
∴∠EFD＝∠MEF+70°，
∴∠EFD＝∠BEF+50°；

（3）如图2，过点F作FH∥EP，
由（2）知，∠EFD＝∠BEF+50°，
设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+50）°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+25）°，
∵FH∥EP，
∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，
∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝25°，
∴∠P＝25°．

10．解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD，
又∵∠2＝2∠1，
∴∠2＝2∠EGD，
又∵∠FGE＝60°，
∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，
∴∠1＝40°；

（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，
又∵∠FEG+∠EGF＝90°，
∴∠AEF+∠GFC＝90°；

（3）如图3，∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC＝180°，
又∵∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，
∴∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α．
故答案为：60°﹣α．
11．解：（1）如图1，∵AB∥CD，

∴∠END＝∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，
∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME，
故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME；

（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠CNP＝∠NGB，

∵∠NPM是△GPM的外角，
∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，
∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA，
∵AB∥CD，
∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP，
∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，
即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，
∴∠E+2∠NPM＝180°；

（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠AGE，
∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，①

∵∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，
∴∠ABM＝∠ABE＝∠CHB，∠CDN＝∠CDE＝∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F＝∠E，
即．
故答案为：．
12．解：（1）如图，延长DE交AB于H，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠AHE＝40°，
∵∠AED是△AEH的外角，
∴∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+40°＝70°，
故答案为：70；

（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG．
理由：∵AB∥CD，
∴∠EAF＝∠EHC，
∵∠EHC是△DEH的外角，
∴∠EHG＝∠AED+∠EDG，
∴∠EAF＝∠AED+∠EDG；

（3）∵∠EAI：∠BAI＝1：2，
∴设∠EAI＝α，则∠BAE＝3α，
∵∠AED＝22°，∠I＝20°，∠DKE＝∠AKI，
又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI＝180°，
∴∠EDK＝α﹣2°，
∵DI平分∠EDC，
∴∠CDE＝2∠EDK＝2α﹣4°，
∵AB∥CD，
∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG，
即3α＝22°+2α﹣4°，
解得α＝18°，
∴∠EDK＝16°，
∴在△DKE中，∠EKD＝180°﹣16°﹣22°＝142°．

13．解：
（1）∵AM∥BN，∴∠A+∠ABC＝180°．
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣108°＝72°．
（2）与∠ABC相等的角是∠ADC、∠DCN．
∵AM∥BN，
∴∠ADC＝∠DCN，∠ADC+∠BCD＝180°．
∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣108°＝72°．
∴∠DCN＝72°．
∴∠ADC＝∠DCN＝∠ABC．
（3）不发生变化．
∵AM∥BN，
∴∠AEB＝∠EBC，∠ADB＝∠DBC．
∵BD平分∠EBC，
∴∠DBC＝∠EBC，
∴∠ADB＝∠AEB，
∴∴＝．
14．解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°，
又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝（∠ABP+∠PBN）＝∠ABN＝60°．

（2）不变．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠ADB＝∠DBN＝∠PBN＝∠APB，即∠APB：∠ADB＝2：1．

（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
又∵∠ACB＝∠ABD，
∴∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝∠CBN﹣∠CBD＝∠DBN，
∴∠ABC＝∠CBP＝∠DBP＝∠DBN，
∴∠ABC＝∠ABN＝30°．

15．解：（1）在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．
∵CF∥AD∥BE，
∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°﹣∠B，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝180°﹣（∠B﹣∠A）＝120°．
（2）在图2中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．
∵QM∥AD，QM∥BE，
∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．
∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，
∴∠NAD＝∠CAD，∠EBQ＝∠CBE，
∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM＝（∠CBE﹣∠CAD）．
∵∠C＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝180°﹣2∠AQB，
∴2∠AQB+∠C＝180°．
（3）∵AC∥QB，
∴∠AQB＝∠CAP＝∠CAD，∠ACP＝∠PBQ＝∠CBE，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACP＝180°﹣∠CBE．
∵2∠AQB+∠ACB＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE．
又∵QP⊥PB，
∴∠CAP+∠ACP＝90°，即∠CAD+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝60°，∠CBE＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝120°，
∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2．