中考数学一轮复习培优训练：《一次函数》 (含答案)

这是一份中考数学一轮复习培优训练：《一次函数》 (含答案)，共42页。试卷主要包含了【模型建立】，如图，与y轴交于点B等内容，欢迎下载使用。

2020年中考数学一轮复习培优训练：
《一次函数》

1．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．












2．如图，A（﹣2，2）、AB⊥x轴于点B，AD⊥y轴于点D，C（﹣2，1）为AB的中点，直线CD交x轴于点F．
（1）求直线CD的函数关系式；
（2）过点C作CE⊥DF且交x轴于点E，求证：∠ADC＝∠EDC；
（3）求点E坐标；
（4）点P是直线CE上的一个动点，求PB+PF的最小值．





3．如图，一次函数y＝x+2的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，直线y＝kx+b经过点B与点C（2，0）．
（1）点A的坐标为　 　；点B的坐标为　 　；
（2）求直线y＝kx+b的表达式；
（3）在x轴上有一动点M（t，0），过点M做x轴的垂线与直线y＝x+2交于点E，与直线y＝kx+b交于点F，若EF＝OB，求t的值．
（4）当点M（t，0）在x轴上移动时，是否存在t的值使得△CEF是直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，直接答不存在．

4．如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2
（1）求k的值；
（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．

5．【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．

6．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0）、B（0，6），过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分．
（1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的解析式；
（2）求直线l的解析式；
（3）若△CBE与△ABO相似，求点E的坐标．




7．如图，直线y＝kx+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0），点P是直线EF上的一个动点．
（1）求k的值；
（2）点P在第二象限内的直线EF上的运动过程中，写出△OPA的面积S与x的函整表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究，当点P在直线EF上运动到时，△OPA的面积可能是15吗，若能，请求出点P的坐标；若不能，说明理由．





8．如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线y＝kx+3与x轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B．
（1）求k的值及△AOB的面积；
（2）点C在x轴上，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标；
（3）点M（3，0）在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与△AOB的面积相等时，求点P的坐标．


9．【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；

【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝2x+3与x轴交于点A、与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．

10．在平面直角坐标系xoy中，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，tan∠OAB＝1，点A的坐标是（4，0）．
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图2，点P在第一象限内，连接OP，过点P作PC⊥OP交BA延长线于点C，且OP＝PC，过点C作CD⊥x轴于点D，连接PD，设点C的横坐标为t，△OPD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点B作BE⊥y轴，连接CE、PE，若∠PEB+∠POD＝45°，CE＝5AD时，求S的值．



11．在平面直角坐标系上，已知点A（8，4），AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C，直线y＝x交AB于D．
（1）直接写出B、C、D三点坐标；
（2）若E为OD延长线上一动点，记点E横坐标为a，△BCE的面积为S，求S与a的关系式；
（3）当S＝20时，过点E作EF⊥AB于F，G、H分别为AC、CB上动点，求FG+GH的最小值．


12．直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，C是OB的中点，D是线段AB上一点．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若四边形OEDC是菱形，如图1，求△AOE的面积；
（3）若四边形OEDC是平行四边形，如图2，设点D的横坐标为x，△AOE的面积为S，求S关于x的函数关系式．


13．【模型建立】
（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．
求证：△CDA≌△BEC．
【模型运用】
（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．
【模型迁移】
如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．

14．如图1，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，已知A（4，0）、C（0，3），将其绕点A顺时针旋转，得到矩形O'AB'C，旋转一周后停止．
（1）当边O'A所在直线将矩形分成面积比为5：1的两部分时，求O'A所在直线的函数关系式．
（2）在旋转过程中，若以C，O'，B'，A四点为顶点的四边形是平行四边形，求点O'的坐标．
（3）取C'B'中点M，连接CM，在旋转过程中，当CM取得最大值时，直接写出△ABM的面积．



15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b经过点A（4，0）、B（0，2），点P是x轴正半轴上的动点，过点P作PC⊥x轴，交直线AB于点C，以OA、AC为边构造平行四边形OACD．设点P的横坐标为m．
（1）若四边形OACD恰是菱形，请求出m的值；
（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在点Q，连结CQ，使得∠OQC+∠ODC＝180°？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
1．解：（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（﹣1，0），
过点C作CH⊥x轴于点H，

∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，
∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，∴△CHB≌△BOA（AAS），
∴BH＝OA＝2，CH＝OB，则点C（﹣3，1），
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+b得：，解得：，
故直线AC的表达式为：y＝x+2；
（2）同理可得直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣…①，则点E（0，﹣），
直线AD的表达式为：y＝﹣3x+2…②，
联立①②并解得：x＝1，即点D（1，﹣1），
点B、E、D的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣）、（1，﹣1），
故点E是BD的中点，即BE＝DE；
（3）将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣，
将点P坐标代入直线BC的表达式得：k＝，
直线AC的表达式为：y＝x+2，则点M（﹣6，0），
S△BMC＝MB×yC＝×5×1＝，
S△BPN＝S△BCM＝＝NB×k＝NB，
解得：NB＝，
故点N（﹣，0）或（，0）．
2．解：（1）∵四边形 ABOD 为正方形，A（﹣2，2）、
∴AB＝BO＝OD＝AD＝2，
∴D（0，2），
∵C 为 AB 的中点，
∴BC＝1，
∴C（﹣2，1），设直线 CD 解析式为 y＝kx+b（k≠0），
则有，
解得
∴直线 CD 的函数关系式为 y＝x+2；

（2）∵C 是 AB 的中点，
∴AC＝BC，
∵四边形 ABOD 是正方形，
∴∠A＝∠CBF＝90°，
在△ACD 和△BCF 中，
∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴CF＝CD，
∵CE⊥DF，
∴CE 垂直平分 DF，
∴DE＝FE，
∴∠EDC＝∠EFC，
∵AD∥BF，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠EDC；

（3）由（2）可 BF＝AD＝2，且 BC＝1，
∵∠CBF＝∠CBE＝∠FCE＝90°，
∴∠CFB+∠FCB＝∠FCB+∠ECB＝90°，
∴∠CFB＝∠BCE，
∴△BCF∽△BEC，＝，
∴＝，
∴BE＝
∴OE＝OB﹣BE＝2﹣＝
∴E 点坐标为（﹣，0）；

（4）如图，连接 BD 交直线 CE 于点 P．
由（2）可知点 D 与点 F 关于直线 CE 对称，
∴PD＝PF，
∴PB+PF＝PB+PD≥BD，
∴PB+PF的最小值为BD的长，
∵B（﹣2，0），D（0，2），
∴BD＝2，
∴PB+PF 的最小值为 2．

3．解：（1）∵一次函数y＝x+2的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，
∴令y＝0，则x＝﹣3；令x＝0，则y＝2，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，2），
故答案为：（﹣3，0），（0，2）
（2）∵直线y＝kx+b经过点B与点C（2，0）．
∴
解得：
∴直线y＝kx+b的表达式为y＝﹣x+2．
（3）∵ME⊥x轴，
∴点M、E、F的横坐标都是t，
∴点E（t， t+2），点F（t，﹣t+2）
∴EF＝|t|，
∵EF＝OB＝2，
∴2＝|t|
∴t＝±
（4）当点M在点C左边时，点E与点A重合时，
∴∠CEF＝90°，
∴△CEF是直角三角形，
∴t＝﹣3；
当点M在点C右边，且∠ECF＝90°时，

∵∠ECF＝90°，
∴∠ECM+∠FCM＝90°，且∠ECM+∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝∠FCM，且∠CMF＝∠CME＝90°，
∴△CME∽△FMC，
∴，
∴（t﹣2）2＝（t+2）（t﹣2）
∴t＝2（不合题意舍去），t＝12
综上所述：t＝﹣3或t＝12时，△CEF是直角三角形．
4．解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴OA＝1，∵AB＝2，
∴OB＝＝，
∴k＝．

（2）如图，

∵tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝60°，
∵PQ⊥AB，
∴∠APQ＝90°，
∴∠AQP＝30°，
∴AQ＝2AP＝2t，
当0＜t＜时，S＝•OQ•Py＝（1﹣2t）•t＝﹣t2+t．
当t＞时，S＝OQ•Py＝（2t﹣1）•t＝t2﹣t．

（3）∵OQ+AB＝（BQ﹣OP），
∴2t﹣1+2＝（﹣），
∴2t+1＝•，
∴4t2+4t+1＝7t2﹣7t+7，
∴3t2﹣11t+6＝0，
解得t＝3或（舍弃），
∴P（，），Q（5，0），
设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+．
5．解：（1）如图1所示：

∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC＝180°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BEC＝90°，
又∵∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△CDA和△BEC中，
，
∴△CDA≌△BEC（AAS）；
（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴
于点D，如图2所示：

∵CD⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°，
又∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
又∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝CB，
在△ABO和∠BCD中，
，
∴△ABO≌∠BCD（AAS），
∴AO＝BD，BO＝CD，
又∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），
∴AO＝2，BO＝3，
∴BD＝2，CD＝3，
∴点C的坐标为（﹣3，5），
设l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
点A、C两点在直线l2上，依题意得：
，
解得：，
∴直线l2的函数表达式为y＝﹣5x﹣10；
（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，
①若点P为直角时，如图3甲所示：

设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，
∵∠CPD＝90°，CP＝PD，
∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，
∴∠CPM+∠PDH＝90°，
又∵∠CPM+∠DPM＝90°，
∴∠PCM＝∠PDH，
在△MCP和△HPD中，
，
∴△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM＝PH，PM＝PD，
∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，
解得：m＝﹣，
即点D的坐标为（，﹣）；
②若点C为直角时，如图3乙所示：

设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，
CA＝CD，
同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM＝CH，MC＝HD，
∴点D的坐标为（4+n，﹣7），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，
解得：n＝0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（4，﹣7）；
③若点D为直角时，如图3丙所示：

设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4+k，
CD＝PD，
同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），
∴MD＝PQ，MC＝DQ，
∴点D的坐标为（，），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2×＝，
解得：k＝﹣，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（，﹣）；
综合所述，点D的坐标为（，﹣）或（4，﹣7）或（，﹣）．
6．解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，
∴，
解得，，
∴一次函数y＝kx+b的表达式为y＝x+6；
（2）如图1，直线l与y轴的交点为D，
∵BC⊥l，
∴∠BCD＝90°＝∠BOC，
∴∠OBC+∠OCB＝∠OCD+∠OCB，
∴∠OBC＝∠OCD，
∵∠BOC＝∠COD，
∴△OBC∽△OCD，
∴，
∵B（0，6），C（2，0），
∴OB＝6，OC＝2，
∴，
∴OD＝，
∴D（0，﹣），
∵C（2，0），
设直线l的函数解析式为y＝mx+n，
，得
∴直线l的解析式为y＝；
（3）∵△CBE与△ABO相似，
∴当△CBE1∽△OAB时，
则，
∵点A（﹣9，0）、B（0，6），点C（2，0），
∴OA＝9，OB＝6，OC＝2，
∵∠BOD＝90°，
∴BC＝，
∴，
解得，CE1＝，
设点的E1坐标为（a，），
则且a＞0，
解得，a＝6，
∴点E1坐标为（6，）；
当△CBE2∽△OBA时，
则，
∵点A（﹣9，0）、B（0，6），点C（2，0），
∴OA＝9，OB＝6，OC＝2，
∵∠BOD＝90°，
∴BC＝，
∴，
解得，CE2＝3，
设点的E2坐标为（c，），
则且c＞0，
解得，c＝11，
则点E2坐标为（11，3）；
由上可得，E点坐标为或（11，3）．


7．解：（1）点E的坐标为（﹣8，0），且在直线y＝kx+6上，则﹣8k+6＝0，
解得，；

（2）∵点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，
∴，
∴；

（3）当点P在x轴的上方时，由题意得，＝15，
整理，得，
解得，，
则．
此时点P的坐标是；
当点P在x轴的下方时，y＝﹣5，此时
综上所述，△OPA的面积是15时，点P的坐标为或．

8．解：（1）将点A（2，0）代入直线y＝kx+3，得
0＝2k+3，
解得k＝﹣，
∴y＝﹣x+3．
当x＝0时，y＝3．
∴B（0，3），OB＝3．
当y＝0时，﹣x+3＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0），OA＝2，
∴S△AOB＝OA•OB＝×2×3＝3．

（2）如图2，
①当AB＝BC时，点C与点A（2，0）关于y轴对称，故C（﹣2，0）符合题意；
②当AB＝AC时，由A（2，0），B（0，3）得到AB＝＝，由AC＝AC′＝得到C′（+2，0）、C″（2﹣，0）．
综上所述，符合条件的点C的坐标是（﹣2，0）或（+2，0）或（2﹣，0）；

（3）∵M（3，0），
∴OM＝3，
∴AM＝3﹣2＝1．
由（1）知，S△AOB＝3，
∴S△PBM＝S△AOB＝3；
①当点P在x轴下方时，S△PBM＝S△PAM+S△ABM＝+•AM•|yP|＝+×1×|yP|＝3，
∴|yP|＝3，
∵点P在x轴下方，
∴yP＝﹣3．
当y＝﹣3时，代入y＝﹣x+3得，﹣3＝﹣x+3，
解得x＝4．
∴P（4，﹣3）；
②当点P在x轴上方时，S△PBM＝S△APM﹣S△ABM＝•AM•|yP|﹣＝×1×|yP|﹣＝3，
∴|yP|＝9，
∵点P在x轴上方，
∴yP＝3．
当y＝9时，代入y＝﹣x+3得，9＝﹣x+3，
解得x＝﹣4．
∴P（﹣4，9）．



9．解：（1）如图1所示：
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC＝180°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BEC＝90°，
又∵∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△CDA和△BEC中，，
∴△CDA≌△BEC（AAS）；
（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴
于点D，如图2所示：

∵CD⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°，
又∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
又∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝CB，
在△ABO和∠BCD中，，
∴△ABO≌∠BCD（AAS），
∴AO＝BD，BO＝CD，
又∵直线l1：y＝2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A、B两点的坐标分别为（﹣，0），（0，3），
∴AO＝，BO＝3，
∴BD＝，CD＝3，
∴点C的坐标为（﹣3，），
设l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
点A、C两点在直线l2上，依题意得：，
解得：，
∴直线l2的函数表达式为y＝﹣3x﹣；
（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，
①若点P为直角时，如图3甲所示：

设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，
∵∠CPD＝90°，CP＝PD，
∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，
∴∠CPM+∠PDH＝90°，
又∵∠CPM+∠DPM＝90°，
∴∠PCM＝∠PDH，
在△MCP和△HPD中，
，
∴△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM＝PH，PM＝PD，
∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，
解得：m＝﹣，
即点D的坐标为（，﹣）；
②若点C为直角时，如图3乙所示：

设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，
CA＝CD，
同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM＝CH，MC＝HD，
∴点D的坐标为（4+n，﹣7），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，
解得：n＝0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（4，﹣7）；
③若点D为直角时，如图3丙所示：

设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4+k，
CD＝PD，
同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），
∴MD＝PQ，MC＝DQ，
∴点D的坐标为（，），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2×＝﹣，
解得：k＝﹣，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（，﹣）；
综合所述，点D的坐标为（，﹣）或（4，﹣7）或（，﹣）．
10．解：（1）∵点A的坐标是（4，0），
∴OA＝4，
∵tan∠OAB＝1，
∴∠OAB＝45°，
∴OB＝OA＝1，
∴B（0，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；
（2）过P作PH⊥OB于H，延长CD交HP于G，
∵CD⊥x轴，HP∥x轴，
∴CD⊥HP，
∴∠G＝90°，
∴四边形HODG是矩形，OH＝DG，
∴∠HPO+∠CPG＝90°，∠HPO+∠HOP＝90°，
∴∠HOP＝∠CPG，OP＝PC，
∴△HOP≌△GPC（AAS），
∴HP＝CG，OH＝PG＝DG，
∵点C的横坐标为t，
∴CD＝t﹣4，
设DG＝m，则CG＝HG﹣PG＝t﹣m，
∴m﹣t﹣4＝t﹣m，
∴m＝2，
∴PN＝2，
∵S＝OD•PN＝t；
（3）延长EB，OP交于K，过P作PH⊥OB于H，
由（2）知，OH＝BH＝2，PH∥BK，
∴OP＝PK，
连接OC，CK，
∵OP＝PC，
∴∠POC＝∠PCO＝∠OKC＝45°，∴PC＝PK，OC＝CK，
延长EP交CK于T，
∵∠PEB+∠POD＝45°，∠DOC+∠POD＝45°，
∴∠DOC＝∠PEB，
∵∠OCK＝∠ODC＝90°，
∴∠DOC＝∠DCK，∠CQK＝∠ODC＝90°，OC＝CK，
∴△KCQ≌△COD（AAS），
∴QK＝CD＝AD，∠DCK＝∠PEB，
∴∠PTK＝90°，
∴CT＝TK，
∴EC＝EK，
∵∠CAD＝45°，
∴AD＝DC＝4﹣t，
∵CE＝5AD＝5（t﹣4），EQ＝EK﹣QK＝4（t﹣4），
由勾股定理得，CQ＝3（t﹣4），
∵CQ＝QD+CD＝t，
∴3（t﹣4）＝t，
解得：t＝6，
∴S＝6．


11．解：（1）∵AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C，
∴∠ABO＝∠ACO＝∠COB＝90°，
∴四边形ABOC是矩形，
∵A（8，4），
∴AB＝OC＝8，AC＝OB＝4，
∴B（0，4），C（8，0），
∵直线y＝x交AB于D，
∴∠BOD＝45°，
∴OB＝DB＝4，
∴D（4，4）．

（2）由题意E（a，a），
∴S＝S△OBE+S△OEC﹣S△OBC＝×4×a+×8×a﹣×4×8＝6a﹣16．

（3）当S＝20时，20＝6a﹣16，
解得a＝6，
∴E（6，6），
∵EF⊥AB于F，
∴F（6，4），
如图二中，作点F关于直线AC的对称点F′，作F′H⊥BC于H，交AC于G．此时FG+GH的值最小．

∵∠ABC＝∠F′BH，∠BAC＝∠F′HB，
∴△ABC∽△HBF′，
∴＝，
∵AC＝4，BC＝＝4，BF′＝AB+AF′＝8+2＝10，
∴＝，
∴F′H＝2，
∴FG+GH的最小值＝F′H＝2．
12．解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x＝4
∴点A（4，0），点B（0，4）
（2）如图，过点D作DH⊥BC于点H，

∵OA＝4，OB＝4
∴tan∠ABO＝
∴∠ABO＝60°
∵C是OB的中点，
∴BC＝OC＝2，
∵四边形OEDC是菱形，
∴OC＝OD＝DE＝2
∴CD＝BC，∠CBD＝60°
∴△BCD是等边三角形
∴BD＝2，
∵DH⊥BC，∠ABO＝60°
∴BH＝1，HD＝BH＝
∴当x＝时，y＝3
∴D（，3）
∴S△AOE＝×4×（3﹣2）＝2
（3）由点D是线段AB上一点，设点D（x，﹣x+4）
∵四边形OEDC是平行四边形
∴OC＝DE＝2，
∴点E（x，﹣x+2）
当﹣x+2＞0，即0＜x＜2时，
S＝×（﹣x+2）＝﹣2x+4
当﹣x+2＜0，即2＜x≤4
∴S＝×4×（x﹣2）＝2x﹣4
13．证明：【模型建立】
（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，且CA＝BC，∠D＝∠E＝90°
∴△CDA≌△BEC（AAS）
【模型运用】
（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E

∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B，
∴A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
由（1）得△BOA≌△AED，
∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，
∴OE＝7，
∴D（﹣7，3）
设l2的解析式为y＝kx+b，
得
解得
∴直线l2的函数表达式为：
【模型迁移】
（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BE⊥OC，

∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，
∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，
∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（4，0）
若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，

∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，
∴∠APE＝∠PBC，
∵∠AOE＝∠BCO＝30°，
∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，PA＝PB
∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（﹣4，0）
综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）
14．解：（1）∵矩形OABC中，A（4，0），C（0，3）
∴∠OAB＝∠B＝90°，BC＝OA＝4，AB＝OC＝3
∵O'A所在直线将矩形分成面积比为5：1的两部分
∴小的部分面积为矩形面积的
①如图1，当直线O'A交OC边于点D，则S△AOD＝S矩形OABC
∴OA•OD＝OA•OC
∴OD＝OC＝1
∴D（0，1）
设直线O'A关系式为：y＝kx+b
∴ 解得：
∴直线O'A关系式为：y＝﹣x+1
②如图2，当直线O'A交BC边于点E，则S△ABE＝S矩形OABC
∴AB•BE＝AB•BC
∴BE＝BC＝
∴CE＝BC＝
∴E（，3）
设直线O'A关系式为：y＝kx+b
∴ 解得：
∴直线O'A关系式为：y＝﹣x+9
综上所述，O'A所在直线的函数关系式为y＝﹣x+1或y＝﹣x+9．

（2）①若四边形AO'CB'为平行四边形，则O'与O重合，还没开始旋转，不符合题意．
②若四边形CO'B'A为平行四边形，如图3，
过点O'作O'F⊥x轴于点F，交BC于点G，O'A交BC于E
∴四边形OFGC是矩形
∴OF＝CG，FG＝OC＝3
∵CO'∥AB'，且CO'＝AB'
∴CO'＝AB＝3，∠CO'E＝∠O'AB'＝∠ABE＝90°
在△CO'E与△ABE中，

∴△CO'E≌△ABE（AAS）
∴CE＝AE，O'E＝BE
设CE＝a，则O'E＝BE＝4﹣a
∵Rt△CO'E中，CO'2+O'E2＝CE2
∴32+（4﹣a）2＝a2
解得：a＝
∴CE＝，O'E＝
∴sin∠O'CE＝，cos∠O'CE＝
∵Rt△CO'G中，sin∠O'CE＝，cos∠O'CE＝
∴O'G＝CO'＝，OF＝CG＝CO'＝
∴O'F＝O'G+FG＝+3＝
∴O'（，）
③若四边形CAO'B'为平行四边形，如图4，
过点O'作O'F⊥x轴于点F，CB'交x轴于点H
∵CB'∥AO'，且CB'＝AO'
∴CB'＝AO'＝BC＝4，∠CB'A＝∠O'AB'＝∠B＝90°，∠AHB'＝∠O'AF
在Rt△ABC与Rt△AB'C中

∴Rt△ABC与Rt△AB'C（HL）
∴∠ACB＝∠ACB'
∵BC∥OA
∴∠ACB＝∠OAC
∴∠ACB'＝∠OAC
∴CH＝AH
设OH＝h，则CH＝AH＝4﹣h
∵Rt△COH中，CO2+OH2＝CH2
∴32+h2＝（4﹣h）2
解得：a＝
∴OH＝，CH＝，
∴sin∠CHO＝，cos∠CHO＝
∵∠O'AF＝∠AHB'＝∠CHO
∴sin∠O'AF＝，cos∠O'AF＝
∴O'F＝AO'＝，AF＝AO'＝
∴OF＝OA+AF＝4+
∴O'（，﹣）
综上所述，点O'的坐标为（，）或（，﹣）．

（3）如图5，∵∠B'＝90°，AB'＝3，B'M＝C'B'＝2
∴AM＝
∴点M在以A为圆心、为半径长的圆上运动
∴当点M运动到线段CA延长线上时，CM最长，如图6
过M作MN⊥AB于BA延长线上的点N
∴MN∥BC
∴△AMN∽△ACB
∴
∵AC＝
∴MN＝
∴S△ABM＝AB•MN＝






15．解：（1）∵A（4，0）、B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∴AP＝4﹣m，
∵PC∥OB，
∴△OAB∽△PAC，
∴，即，
∴PC＝2﹣，
∴AC＝，
∵四边形OACD恰是菱形，
∴OA＝AC，即|4﹣m|＝4，
解得，m＝；

（2）存在，设点Q的坐标为（0，n），
当m＝时，如图1所示

∵四边形OACD恰是菱形，
∴∠ODC＝∠CAO，
∵∠CDO+∠OQC＝180°，∠OQC+∠BQC＝180°，
∴∠BQC＝∠BAO，
∵∠QBC＝∠ABO，
∴△BQC∽△BAO，
∴，
∵AC＝AO＝4，AB＝，
∴BC＝AB﹣AC＝2﹣4，
∴BQ＝＝10﹣4，
∴2﹣n＝10﹣4，
∴n＝4﹣8，
∴Q（0，4﹣8）．
当m＝时，如图2所示，

∵四边形OACD恰是菱形，
∴∠ODC＝∠CAO，
∵∠CDO+∠OQC＝180°，∠OAC+∠OAB＝180°，
∴∠OQC＝∠BAO，
∵∠AOB＝∠POQ＝90°，
∴△PQO∽△BAO，
∴，即，
解得，n＝或，
此时，Q（0，）或（0，）．
综上，Q点的坐标为（0，4﹣8）或（0，）或（0，）．