中考数学一轮复习培优训练：《反比例函数》 (含答案)

这是一份中考数学一轮复习培优训练：《反比例函数》 (含答案)，共41页。试卷主要包含了上一点，分别经过C、D两点，经过点D，与BC边相交于点E等内容，欢迎下载使用。

中考数学一轮复习培优训练：
《反比例函数》
1．（2019•滦南县二模）已知：一次函数y＝mx+10（m＜0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点（A在B的右侧）．
（1）当A（8，2）时，求这个一次函数和反比例函数的解析式，以及B点的坐标；
（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当m＝﹣2时，设A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若，求△ABC的面积．












2．（2019秋•市中区期末）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，且CM＝1，过点N作ND⊥x轴于点D，且DN＝1．已知点P是x轴（除原点O外）上一点．
（1）直接写出M、N的坐标及k的值；
（2）将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由；
（3）当点P滑动时，是否存在反比例函数图象（第一象限的一支）上的点S，使得以P、S、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点S的坐标；若不存在，请说明理由．


3．（2019•永春县校级自主招生）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于A、B两点，A点的坐标为（m，4），B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C．若OC＝CA，
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是直角三角形，求出所有可能的E点坐标．


4．（2019•滨州模拟）已知点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8＝0的解，tan∠BAO＝．
（1）求点A的坐标；
（2）点E在y轴负半轴上，直线EC⊥AB，交线段AB于点C，交x轴于点D，S△DOE＝16．若反比例函数y＝的图象经过点C，求k的值；
（3）在（2）条件下，点M是DO中点，点N，P，Q在直线BD或y轴上，是否存在点P，使四边形MNPQ是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．




5．（2019春•南召县期中）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A坐标为（3，1），点B的坐标为（﹣2，m）
（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；
（3）观察图象直接写出ax+b＞时x的取值范围是　 　；
（4）直接写出：P为x轴上一动点，当三角形OAP为等腰三角形时点P的坐标　 　．

6．（2019春•常熟市期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝﹣在第二象限内的图象相交于点A，与x轴的负半轴交于点B，与y轴的负半轴交于点C．

（1）求∠BCO的度数；
（2）若y轴上一点M的纵坐标是4，且AM＝BM，求点A的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P在y轴上，点Q是平面直角坐标系中的一点，当以点A、M、P、Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标．
7．（2019•无锡模拟）已知：如图1，在平面直角坐标系中点A（2，0）．B（0，1），以AB为顶点在第一象限内作正方形ABCD．反比例函数y1＝（x＞0）、y2＝（x＞0）分别经过C、D两点．
（1）求点C的坐标并直接写出k1、k2的值；
（2）如图2，过C、D两点分别作x、y轴的平行线得矩形CEDF，现将点D沿y2＝（x＞0）的图象向右运动，矩形CEDF随之平移；
①试求当点E落在y1＝（x＞0）的图象上时点D的坐标；
②设平移后点D的横坐标为a，矩形的边CE与y1＝（x＞0），y2＝（x＞0）的图象均无公共点，请直接写出a的取值范围．

8．（2019•高新区校级三模）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，AD＝2AB，直线AB的解析式为y＝﹣2x+4，双曲线y＝（x＞0）经过点D，与BC边相交于点E．
（1）填空：k＝　 　；
（2）连接AE、DE，试求△ADE的面积；
（3）在x轴上有两点P、Q，其中点P可以使PC+PD的值最小，而点Q可以使|QC﹣QD|的值最大，请直接写出P、Q两点的坐标以及线段PQ的长．


















9．（2019春•宜宾期末）如图1，直线l1：y＝kx+b与双曲线y＝（x＞0）交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点E，已知点A（1，3）、点C（4，0）．
（1）求直线l1和双曲线的解析式；
（2）将△OCE沿直线l1翻折，点O落在第一象限内的点H处，直接写出点H的坐标；
（3）如图2，过点E作直线l2交x轴的负半轴于点F，连接AF交y轴于点G，且△AEG的面积与△OFG的面积相等．
①求直线l2的解析式；
②在直线l2上是否存在点P，使得S△PBC＝S△OBC？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
．
10．（2019•广东二模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（b为常数）与反比例函数y＝（x＞0）交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C，且OB＝AB．

（1）如图①，若点A的坐标为（6，0）时，求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）如图①，若∠OBA＝90°，求点A的坐标；
（3）在（2）的条件下中，如图②，△PA1A是等腰直角三角形，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，斜边A1A都在x轴上，求点A1的坐标．
11．（2019•历下区二模）如图，已知点D在反比例函数y＝的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，2），过点A的直线y＝kx+b与y轴于点C，且BD＝2OC，tan∠OAC＝．
（1）求反比例函数y＝的解析式；
（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；
（3）点E为x轴上点A左侧的一点，且AE＝BD，连接BE交直线CA于点M，求tan∠BMC的值．


12．（2019•雨花区校级三模）如图，∠APB与y轴正半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，已知O为坐标原点，P（﹣1，﹣1），且∠PAO+∠PBO＝45°．
（1）求∠APB的度数；
（2）判断OA•OB是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由；
（3）射线PA、PB分别与反比例函数的图象交于M（x1，y1）、N（x2，y2）两点，设A（0，m），令T＝（x1﹣x2）（y1﹣y2﹣1），当m≤4时，求T的取值范围．

13．（2019春•锡山区校级期末）（1）如图，已知点A、B在双曲线y＝（x＞0）上，AC⊥x轴与C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，点B的横坐标为b．A与B的坐标分别为　 　、　 　．（用b与k表示），由此可以猜想DP与BP的数量关系是　 　．
（2）四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝与y＝（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P，P是AC的中点，点B的横坐标为4．
①当m＝4，n＝20时，判断四边形ABCD的形状并说明理由．
②四边形ABCD能否成为正方形？若能，直接写出此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．















14．（2019春•鼓楼区期末）如图①，在平面直角坐标系中，A（1，a）是函数y＝的图象上一点，B（0，b）是y轴上一动点，四边形ABPQ是正方形（点A、B、P、Q按顺时针方向排列）．
（1）求a的值；
（2）如图②，当b＝0时，求点P的坐标；
（3）若点P也在函数y＝的图象上，求b的值；
（4）设正方形ABPQ的中心为M，点N是函数y＝的图象上一点，判断以点P、Q、M、N为顶点的四边形能否是正方形？如果能，请直接写出b的值；如果不能，请说明理由．













15．（2019春•乳山市期末）如图，边长为3正方形OACD的顶点O与原点重合，点D，A在x轴，y轴上．反比例函数y＝（x≠0）的图象交AC，CD于点B，E，连按OB，OE，BE，S△OBE＝4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点B作y轴的平行线m，点P在直线m上运动，点Q在x轴上运动；
①若△CPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求△CPQ的面积；
②将“①”中的“以P为直角顶点的”去掉，将问题改为“若△CPQ是等腰直角三角形”，△CPQ的面积除了“①”中求得的结果外，还可以是　 　．（直接写答案，不用写步骤）


参考答案
1．解：（1）把A（8，2）代入y＝，得k＝8×2＝16．
∴反比例函数的解析式为y＝，
把A（8，2）代入y＝mx+10，得到m＝﹣1，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+10，
解方程组，得或，
∴点B的坐标为（2，8）；

（2）①若∠BAP＝90°，
过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，
对于y＝﹣x+10，
当y＝0时，﹣x+10＝0，解得x＝10，
∴点E（10，0），OE＝10．
∵A（8，2），∴OH＝8，AH＝2，
∴HE＝10﹣8＝2，
∵AH⊥OE，
∴∠AHM＝∠AHE＝90°，
又∵∠BAP＝90°，
∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，
∴∠MAH＝∠AEM，
∴△AHM∽△EHA，
∴＝，
∴＝，
∴MH＝2，
∴M（6，0），
可设直线AP的解析式为y＝k′x+b，
则有，
解得，
∴直线AP的解析式为y＝x﹣6，
解方程组，得或，
∴点P的坐标为（﹣2，﹣8）．
②若∠ABP＝90°，
同理可得：点P的坐标为（﹣8，﹣2），
综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣2，﹣8）、（﹣8，﹣2）；

（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，
则有BS∥CT，
∴△CTD∽△BSD，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝，
∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），
∴C（﹣a，2a﹣10），CT＝a，BS＝b，
∴＝，即b＝a．
∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数y＝的图象上，
∴a（﹣2a+10）＝b（﹣2b+10），
∴a（﹣2a+10）＝a（﹣2×a+10）．
∵a≠0，
∴﹣2a+10＝（﹣2×a+10），
解得：a＝3．
∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．
设直线BC的解析式为y＝px+q，
则有，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝2x+2．
当x＝0时，y＝2，则点D（0，2），OD＝2，
∴S△COB＝S△ODC+S△ODB
＝OD•CT+OD•BS
＝×2×3+×2×2＝5．
∵OA＝OC，
∴S△AOB＝S△COB，
∴S△ABC＝2S△COB＝10．


2．解：（1）由题意M（1，4），n（4，1），
∵点M在y＝上，
∴k＝4；
（2）当点P滑动时，点Q能在反比例函数的图象上；
如图1，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，
过Q作QH⊥x轴于H，

易得：△COP≌△PHQ，
∴CO＝PH，OP＝QH，
由（2）知：反比例函数的解析式：y＝；
当x＝1时，y＝4，
∴M（1，4），
∴OC＝PH＝4
设P（x，0），
∴Q（x+4，x），
当点Q落在反比例函数的图象上时，
x（x+4）＝4，
x2+4x+4＝8，
x＝﹣2±2，
当x＝﹣2+2时，x+4＝2+2，如图1，Q（2+2，﹣2+2）；
当x＝﹣2﹣2时，x+4＝2﹣2，如图2，Q（2﹣2，﹣2﹣2）；

如图3，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，设P（x，0）
过P作GH∥y轴，过C作CG⊥GH，过Q作QH⊥GH，

易得：△CPG≌△PQH，
∴PG＝QH＝4，CG＝PH＝x，
∴Q（x﹣4，﹣x），
同理得：﹣x（x﹣4）＝4，
解得：x1＝x2＝2，
∴Q（﹣2，﹣2），
综上所述，点Q的坐标为（2+2，﹣2+2）或（2﹣2，﹣2﹣2）或（﹣2，﹣2）．


（3）当MN为平行四边形的对角线时，根据MN的中点的纵坐标为，可得点S的纵坐标为5，即S（，5）；
当MN为平行四边形的边时，易知点S的纵坐标为3，即S（，3）；
综上所述，满足条件的点S的坐标为（，5）或（，3）．
3．解：（1）∵点B（3，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数y＝图象上，
∴A（，4），
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+6；

（2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，
∵B（3，2），
∴直线OB的解析式为y＝x，
∴G（，1），
A（，4），
∴AG＝4﹣1＝3，
∴S△AOB＝S△AOG+S△ABG＝×3×3＝．

（3）如图2中，①当∠AOE1＝90°时，∵直线AC的解析式为y＝x，
∴直线OE1的小时为y＝﹣x，
当y＝2时，x＝﹣，
∴E1（﹣，2）．
②当∠OAE2＝90°时，可得直线AE2的解析式为y＝﹣x+，
当y＝2时，x＝，
∴E2（，2）．
③当∠OEA＝90°时，易知AC＝OC＝CE＝，
∵C（，2），
∴可得E3（，2），E4（，2），
综上所述，满足条件的点E坐标为（﹣，2）或（，2）或（，2）或（，2）．


4．解：（1）∵线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8＝0的解，
∴OB＝4，
在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝，
∴OA＝8，
∴A（﹣8，0）．

（2）∵EC⊥AB，
∴∠ACD＝∠AOB＝∠DOE＝90°，
∴∠OAB+∠ADC＝90°，∠DEO+∠ODE＝90°，
∵∠ADC＝∠ODE，
∴∠OAB＝∠DEO，
∴△AOB∽△EOD，
∴＝，
∴OE：OD＝OA：OB＝2，设OD＝m，则OE＝2m，
∵•m•2m＝16，
∴m＝4或﹣4（舍弃），
∴D（﹣4，0），E（0，﹣8），
∴直线DE的解析式为y＝﹣2x﹣8，
∵A（﹣8，0），B（0，4），
∴直线AB的解析式为y＝x+4，
由，解得，
∴C（﹣，），
∵若反比例函数y＝的图象经过点C，
∴k＝﹣．

（3）如图1中，当四边形MNPQ是矩形时，∵OD＝OB＝4，
∴∠OBD＝∠ODB＝45°，
∴∠PNB＝∠ONM＝45°，
∴OM＝DM＝ON＝2，
∴BN＝2，PB＝PN＝，
∴P（﹣1，3）．

如图2中，当四边形MNPQ是矩形时（点N与原点重合），易证△DMQ是等腰直角三角形，OP＝MQ＝DM＝2，P（0，2）；

如图3中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交BD于R，易知R（﹣1，3），可得P（0，6）

如图4中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交y轴于R，易知PR＝MR，可得P（2，6）．

综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣1，3）或（0，2）或（0，6）或（2，6）；
5．解：（1）∵点A坐标为（3，1）
把点A的坐标代入y＝中得：k＝3
∴反比例函数的解析式是：y＝
把点B的坐标为（﹣2，m）代入y＝中，得：﹣2m＝3，m＝﹣
∴B（﹣2，﹣）
把A、B两点的坐标代入y＝ax+b中得：，解得：
∴一次函数的解析式为：y＝x﹣；
（2）如图1，当y＝0时， x﹣＝0，x＝1，

∴C（1，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝；
（3）由图象得：ax+b＞时x的取值范围是：x＞3或﹣2＜x＜0；
故答案为：x＞3或﹣2＜x＜0；
（4）当△AOP是等腰三角形时，存在以下三种情况：
①当OA＝OP时，如图2，

∵A（3，1），
∴OA＝，
∴P1（﹣，0）或P2（，0）；
②当OA＝AP时，如图3，

∴P（6，0）；
③当OP＝AP时，如图4，过A作AE⊥x轴于E，

设OP＝x，则AP＝x，PE＝3﹣x，
∴AP2＝AE2+PE2，
∴12+（3﹣x）2＝x2，
x＝，
∴P（，0）；
综上，P的坐标为（，0）或（﹣，0）或（6，0）或（，0）．
故答案为：（，0）或（﹣，0）或（6，0）或（，0）．
6．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+b的图象交x轴于B，交y轴于C，则B（b，0），C（0，b），
∴OB＝OC＝﹣b，
∵∠BOC＝90°
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°．

（2）如图1中，作MN⊥AB于N．

∵M（0，4），MN⊥AC，直线AC的解析式为y＝﹣x+b，
∴直线MN的解析式为y＝x+4，
由，解得，
∴N（，），
∵MA＝MB，MN⊥AB，
∴NA＝BN，设A（m，n），
则有，解得，
∴A（﹣4，b+4），
∵点A在y＝﹣上，
∴﹣4（b+4）＝﹣4，
∴b＝﹣3，
∴A（﹣4，1）．

（3）如图2中，

由（2）可知A（﹣4，1），M（0，4），
∴AM＝＝5，
当菱形以AM为边时，AQ＝AQ′＝5，AQ∥OM，可得Q（﹣4，﹣4），Q′（﹣4，6），
当A，Q关于y轴对称时，也满足条件，此时Q（4，1）
当AM为菱形的对角线时，设P″（0，b），
则有（4﹣b）2＝42+（b﹣1）2，
∴b＝﹣．
∴AQ″＝MP″＝，
∴Q″（﹣4，），
综上所述，满足条件的点Q坐标为（﹣4，﹣4）或（﹣4，6）或（﹣4，）或（4，1）．
7．解：（1）如图1中，作DM⊥x轴于M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠AOB＝∠AMD＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OAB+∠DAM＝90°，
∴∠ABO＝∠DAM，
∴△OAB≌△MDA（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（3，2），
∵点D在y＝上，
∴k2＝6，
同法可得C（1，3），
∵点C在y＝上，
∴k1＝3．

（2）①设平移后点D坐标为（m，），则E（m﹣2，），
由题意：（m﹣2）•＝3，
解得m＝4，
∴D（4，）．

②设平移后点D坐标为（m，），则C（m﹣2， +1），
当点C在y＝上时，（m﹣2）（+1）＝6，
解得m＝1+或1﹣（舍弃），
观察图象可知：矩形的边CE与y1＝（x＞0），y2＝（x＞0）的图象均无公共点，
则a的取值范围为：4＜a＜1+．
8．解：（1）如图所示：过点D作DH⊥x轴于点H，
∵直线AB的解析式为y＝﹣2x+4，
∴当x＝0时，y＝4，则OB＝4，B点坐标为：（0，4）；
当y＝0时，x＝2，则OA＝2，A点坐标为：（2，0）；
∵∠OAB+∠DAH＝90°，∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠BAO＝∠ADH，
又∵∠BOA＝∠AHD，
∴△AOB∽△DHA，
∴＝＝＝，
∴＝＝，
解得：DH＝4，AH＝8，
∴D（10，4），
则k＝10×4＝40，
故答案为：40；

（2）由（1）得：AO＝2，OB＝4，则AB＝2，
∵AD＝2AB，
∴AD＝4，
∴S矩形BACD＝S△AED＝×2×4＝20；

（3）如图所示：过点C作CN⊥y轴于点N，作D点关于x轴对称点D′，连接CD′，交x轴于点P，连接DP，
∵∠NBC+∠NCB＝90°，
∠NBC+∠OBA＝90°，
∴∠NCB＝∠OBA，
又∵∠CNB＝∠BOA＝90°，
∴△CNB∽△BOA，
∴＝＝2，
∴CN＝8，BN＝4，
∴C点坐标为：（8，8），
∵D（10，4），
∴D′（10，﹣4），
设直线CD′的解析式为：y＝ax+d
则，
解得：，
故抛物线解析式为：y＝﹣6x+56，
当y＝0则x＝，
故P点坐标为：（，0），
延长CD交x轴于Q，此时|QC﹣QD|的值最大，
∵CD∥AB，D（10，4），AB的解析式为y＝﹣2x+4，
∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+24，
∴Q（12，0），
∴PQ＝12﹣＝．

9．解：（1）将A（1，3）、点C（4，0）代入y＝kx+b得，解得：
∴直线l1的解析式为：y＝﹣x+4；
将A（1，3）代入y＝（x＞0）中，得m＝3，
∴双曲线的解析式为：y＝（x＞0）．
（2）如图1中，

在y＝﹣x+4中，令x＝0，得：y＝4
∴E（0，4）
∴△COE是等腰直角三角形，
由翻折得：△CEH≌△CEO
∴∠COE＝∠CHE＝∠OCH＝90°，OC＝OE
∴OCHE是正方形．
∴H（4，4）．
（3）如图2，连接AO，

①∵A（1，3）、O（0，0）．设直线AO解析式为y＝k1x，3＝k1，
∴直线AO解析式为y＝3x，
∵S△AEG＝S△OFG
∴S△EFA＝S△EFO
∴EF∥AO
∴直线l2的解析式为：y＝3x+4；
②存在，点P坐标为：P（﹣1，1）或P（1，7）．
∵S△PBC＝S△OBC，
∴点P在经过点O或H平行于直线l1：y＝﹣x+4的直线上，
易得：y＝﹣x或y＝﹣x+8
分别解方程组或得：或
∴点P的坐标为P（﹣1，1）或P（1，7）．
10．解：（1）如图①，过B作BC⊥x轴于C，

∵OB＝AB，BC⊥x轴，
∴OC＝AC＝OA，
∵点A的坐标为（6，0），
∴OA＝6，
∴OC＝AC＝3，
∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴y＝＝4，
∴B（3，4），
∵点A（6，0），点B（3，4）在y＝kx+b的图象上，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+8；
（2）如图①，∵∠OBA＝90°，OB＝AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴BC＝OC＝OA，
设点B（a，a）（a＞0），
∵顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴a＝，解得：a＝（负值舍），
∴OC＝2，
∴OA＝2OC＝4，
∴A（4，0）；
（3）如图②，过P作PD⊥x轴于点D，

∵△PA1A是等腰直角三角形，
∴PD＝AD，
设AD＝m（m＞0），则点P的坐标为（4+m，m），
∴m（4+m）＝12，
解得：x1＝2﹣2，m2＝﹣2﹣2（负值舍去），
∴A1A＝2m＝4﹣4，
∴OA1＝OA+AA1＝4，
∴点A1的坐标是（4，0）．
11．解：（1）∵A（﹣，0），B（0，2），
∴OA＝，OB＝2，
∵tan∠OAC＝＝，
∴OC＝1，BC＝3，
∵BD＝2OC，
∴BD＝2，
∵BD⊥BC，
∴D（2，2），
把D（2，2）代入y＝中，得到m＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝．

（2）如图，设CD交x轴于K．
∵OK∥BD，
∴＝，
∴＝，
∴OK＝，
∵OC＝1，OA＝，
∴OC2＝OA•OK，
∴＝，
∵∠AOC＝∠COK，
∴△AOC∽△COK，
∴∠OAC＝∠OCK，
∵∠OAC+∠OCA＝90°，
∴∠OCA+∠OCK＝90°，
∴∠ACK＝90°，
∴AC⊥CD．

（3）如图，作BH⊥CM于H．
∵A（﹣，0），C（0，﹣1），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，
∵AE＝BD＝2，
∴OA＝2+＝，
∴E（﹣，0），∵B（0，2），
∴直线BE的解析式为y＝x+2，
由解得，
∴M（﹣，），
∴CM＝，BM＝，
∵S△BCM＝×3×＝××BH，
∴BH＝，
∴MH＝＝，
∴tan∠BMC＝＝＝2．

12．解：（1）如图1中，连接PO，延长PO到K．

∵∠AOK＝∠OPA+∠OAP，∠KOB＝∠OPB+∠OBP，
∴∠POPA+∠OAP+∠OPB+∠OBP＝90°，
∵∠PAO+∠PBO＝45°，
∴∠OPA+∠OPB＝45°，
∴∠APB＝45°．

（2）结论：OA•OB＝2，
理由：∵P（﹣1，﹣1），
∴KO平分∠AOB，OP＝，
∴∠AOK＝∠BOK＝45°，
∵∠AOK＝∠OPA+∠OAP＝45°，∠OPA+∠OPB＝45°，
∴∠OAP+∠OPB，
∵∠AOP＝∠BOP＝135°，
∴△POA∽△BOP，
∴＝，
∴OA•OB＝OP2＝2．

（3）∵A（0，m），
∴OA＝m，
∵OB•OA＝2，
∴OB＝，
∴B（，0），
∴直线PA的解析式为y＝（m+1）x+m，直线PB的解析式为y＝x﹣，
由，相切y得到：（m+1）x2+mx﹣1＝0，
∵x1•（﹣1）＝﹣，
∴x1＝，y1＝m+1，
同法可得x2＝，y2＝，
∴T＝（x1﹣x2）（y1﹣y2﹣1）＝（﹣）（m+1﹣﹣1）＝﹣，
∵0＜m≤4，
∴T＜0，
∵T（m+2）＝﹣（m2+2m+2），
∴m2+（2+T）m+2+2T＝0，
∵△≥0，
∴4+4T+T2﹣4（2+2T）≥0，
∴T2﹣4T﹣4≥0，
解得T≤2﹣2或T≥2+2，
∵T＜0，
∴T≤2﹣2．
13．解：（1）∵AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于点D，
∴AC⊥BD，
由题意B（m，），A（m，），
∴PD＝m，BD＝m，
∴BD＝2PD，
∴DP＝BP，
故答案为：A（m，），B（m，），DP＝BP．

（2）①当x＝4时，y＝＝1，
∴点B的坐标为（4，1）；
当x＝4时，y＝＝5，
∴D（4，5），
∵点P为线段AC的中点，设A（a，），则C（5a，），
∴PA＝PC，
∴（a+5a）÷2＝4，
∴a＝，
∴A（，3），C（，3），
∴点P的坐标为（4，3），
∴PA＝4﹣＝，PC＝﹣4＝，
∴PA＝PC．
∵PB＝PD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形．

②四边形ABCD能成为正方形．
当四边形ABCD为正方形时，设PA＝PB＝PC＝PD＝t（t≠0）．
当x＝4时，y＝＝，
∴点B的坐标为（4，），
∴点A的坐标为（4﹣t， +t）．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴（4﹣t）（+t）＝m，化简得：t＝4﹣，
∴点D的纵坐标为+2t＝+2（4﹣）＝8﹣，
∴点D的坐标为（4，8﹣），
∴4×（8﹣）＝n，整理，得：m+n＝32．
即四边形ABCD能成为正方形，此时m+n＝32．

14．解：（1）∵A（1，a）是函数y＝的图象上一点，
∴a＝．

（2）如图②中，作PE⊥x轴于E，AF⊥x轴于F．

∵四边形ABPQ是正方形，
∴AB＝AP，∠ABP＝∠PEC＝O＝∠AFO＝90°，
∴∠PBE+∠ABF＝90°，∠ABF+∠BAF＝90°，
∴∠PBE＝∠BAF，
∴△PBE≌△BAF（AAS），
∴PE＝BF＝1，OE＝AF＝，
∴P（﹣，1）．

（3）如图③中，作AF⊥OB于F，PE⊥OB于E．

同法可证：△PBE≌△BAF，
∴BE＝AF＝1，PE＝BF＝b﹣，
∴P（b﹣，b+1），
∵点P在y＝上，
∴（b﹣）•（b+1）＝，
解得b＝2或﹣，

（4）如图④中，当点N在反比例函数图形上时，

由题意易知P（b﹣，b+1），M（﹣， +），N（b﹣， +），
∵点N在反比例函数图形上，
∴（b﹣）（+）＝，
解得b＝﹣或．
15．解：（1）∵四边形OACD是正方形，边长为3，
∴点B的纵坐标为3，点E的横坐标为3，
∵反比例函数y＝（x≠0）的图象交AC，CD于点B，E，
∴可以假设B（，3），E（3，），
∵S△OBE＝4，
∴9﹣﹣﹣（3﹣）2＝4，
解得k＝3或﹣3（舍弃），
∴反比例函数的解析式为y＝．

（2）①如图1中，设直线m交OD于M．

由（1）可知B（1，3），AB＝1，BC＝2，
当PC＝PQ，∠CPQ＝90°时，
∵∠CBP＝∠PMQ＝∠CPQ＝90°，
∴∠CPB+∠BCP＝90°，∠CPB+∠PQM＝90°，
∴∠PCB＝∠MPQ，∵PC＝PQ，
∴△CBP≌△PMQ（AAS），
∴BC＝PM＝2，PB＝MQ＝1，
∴PC＝PQ＝＝，
∴S△PCQ＝．
如图2中，当PQ＝PC，∠CPQ＝90°，

同法可得△CBP≌△PMQ（AAS），
∴PM＝BC＝2，OM＝PB＝5，
∴PC＝PQ＝＝，
∴S△PCQ＝．

②当点Q是等腰三角形的直角顶点时，同法可得CQ＝PQ＝，此时S△PCQ＝5．

或CQ′＝PQ′＝＝，可得S△P′CQ′＝17，
不存在点C为等腰三角形的直角顶点，
综上所述，△CPQ的面积除了“①”中求得的结果外，还可以是5或17．
故答案为5或17．