专题08 平行四边形模块中档大题过关20题-【基础过关】2023年中考数学总复习高频考点必刷题

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平行四边形模块中档题过关30题（解析版）

专题简介：本份资料包含平行四边形、矩形、菱形、正方形这四节的主流中档大题，所选题目源自近四年各名校试题中的有代表性的优质试题，把每一个模块中的高频考题按题型进行分类汇编，立意于让学生们用较短的时间刷考试最喜欢考的题、刷最有利于提分的好题，也适合于培训机构老师给学生进行专题复习时使用。
平行四边形
一：平行四边形、矩形、菱形的性质汇总
平行四边形 矩形 菱形
对角线垂直
邻边相等
对角线相等
角=90

二：平行四边形的判定：两个条件，五种判定方法

1．（长郡）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，．平分．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．

【解答】（1）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，∵CA平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝40°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．
2．（2021秋•长沙期中）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD
∴∠ABE＝∠CDF，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠BAE＝∠DCF，∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝70°，
∴∠BAD＝110°，∵AM平分∠BAD，AD∥BC，∴∠AMB＝∠DAM＝55°．
3．（2018•吉林模拟）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：AB＝CF；
（2）连接DE，若AD＝2AB，求证：DE⊥AF．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠ABE＝∠FCE，∵E为BC中点，
∴BE＝CE，在△ABE与△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB＝CF；
（2）∵AD＝2AB，AB＝FC＝CD，∴AD＝DF，∵△ABE≌△FCE，∴AE＝EF，∴DE⊥AF．
4.（明德）在平行四边形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，且DF=CF，连接AE，AF，并延长AF交BC的延长线于点P.
(1)求证：△ADF≌△PCF；
(2)若AE=2,AF=4,∠EAF=60∘，求PE的长。


【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠PCF，
在△ADF和△PCF中，，∴△ADF≌△PCF（ASA）；
（2）解：作EM⊥AP于M，如图所示：∵∠EAF＝60°，∴∠AEM＝90°﹣60°＝30°，
∴AM＝AE＝1，∴EM＝AM＝，由（1）得：△ADF≌△PCF，
∴PF＝AF＝4，∴AP＝8，∴PM＝AP﹣AM＝7，
∴PE＝＝＝2．
矩形
矩形的判定：三个条件或者“2＋1”模式
三个角是直角的四边形是矩形；
‚对角线相等的平行四边形是矩形；
ƒ有一个角是直角的平行四边形是矩形.

5．（2021秋•雨花区校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，△BOC≌△CEB．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若∠DAC＝30°，AB＝4，求矩形OBEC的周长．

【解答】（1）证明：∵△BOC≌△CEB，∴OB＝EC，OC＝EB，∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴平行四边形OBEC是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，AO＝OC，BO＝DO，∵AB＝4，∴AD＝4，∵∠DAC＝30°，∠DOA＝90°，∴DO＝AD＝2，由勾股定理得：AO＝＝＝2，
即BO＝DO＝2，CO＝AO＝2，∵四边形OBEC是矩形，∴BE＝CO＝2，EC＝BO＝2，
∴矩形OBEC的周长＝BE+EC+CO+BO＝2+2+2+2＝．
6．（2021秋•信宜市期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝10，EC＝4，求AC和EO的长度．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，
∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，∴AD＝AB＝BC＝10，∵EC＝4，∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝8，在Rt△AEC中，AC＝＝＝4，∵∠AEC＝90°，AO＝CO，∴OE＝AC＝2．
7．（2022•长沙模拟）如图，已知▱ABCD，EF为BC边上的垂直平分线，BC＝FC＝2AB，且∠ABD＝90°．
（1）求证：△ABD≌△CEF；
（2）连接AF，请判断四边形ABDF的形状，并说明理由．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，AB＝CD，∵EF为BC边上的垂直平分线，∴BC＝2EC＝2BE，∠FEC＝90°，∵BC＝FC＝2AB，∴EC＝AB＝CD，BC＝BF＝FC，
∴△BCF是等边三角形，∴AD＝FC，∴∠ABD＝∠FEC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CEF中，，∴Rt△ABD≌Rt△CEF（HL）；
（2）解：四边形ABDF是矩形，理由如下：

∵△BCF是等边三角形，∴BC＝FC＝2AB＝2CD，∴FD＝CD＝AB，∵AB∥CD，
∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠ABD＝90°，∴四边形ABDF是矩形．
8．（2021秋•开福区校级期末）如图，在矩形ABCD中，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与对角线AC相交于点E，连接BE，BC＝BE．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若当点E为AC的中点时，⊙O的半径为1，求矩形ABCD的面积．

【解答】证明：（1）连接OE，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵OA＝OE，BE＝BC，∴∠EAO＝∠AEO，∠CEB＝∠ACB
∴∠ACB+∠CAB＝∠AEO+∠CEB＝90°，∴∠OEB＝90°，∵OE为⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，点E为AC的中点，∴BE＝CE＝AE＝BC，∴∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠EBO＝30°，在Rt△BOE中，OE＝1，∴OB＝2OE＝2，BE＝OE＝，∴AB＝1+2＝3，BC＝BE＝，∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝3．
9.（青竹湖）如图，菱形对角线交于点，，，与交于点。
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求菱形的面积。


【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABD＝∠CBD，∴四边形AEBO是矩形；
（2）解：由（1）知四边形AEBO是矩形∴∠EBO＝90°∵∠EBA＝60°∴∠ABO＝30°
在Rt△ABO中，AB＝10，∠ABO＝30°∴AO＝5，BO＝5，∴BD＝10，
∴菱形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积＝2×△ABD的面积
＝2××10×5＝50．
10.（麓山国际）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求和的长．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
11.如图,AC=BC,D是AB的中点,CE∥AB,CE=AB.
(1)求证：四边形CDBE是矩形。
(2)若AC=5，CD=3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF长。


【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∴△ACB是等腰三角形，∵D是AB中点，∴DB＝AB，CD⊥DB，∵CE＝AB，∴DB＝CE，∵CE∥AB，∴四边形CDBE是平行四边形，又∵CD⊥DB，∴四边形CDBE是矩形；
（2） 解：在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，CB＝AC＝5，CD＝3，∴BD＝＝4，
∵DF⊥BC于F，∴DF•BC＝CD•BD，解得：DF＝．
菱形
菱形的判定：三个条件或者“2＋1”模式
四条边都相等；
‚对角线垂直的平行四边形是菱形；
ƒ邻边相等的平行四边形是菱形.
12．（2022春•长沙期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△OCD沿CD所在直线翻折，点O的对称点为点E．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠CBD＝30°，CD＝2，求四边形OCED的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝CO，由折叠可得，OD＝ED，OC＝EC，
∴OD＝ED＝OC＝EC，∴四边形OCED是菱形；
（2）解：∵∠BCD＝90°，∠CBD＝30°，CD＝2，∴BC＝CD＝2，
由（1）知四边形ODEC为菱形，连接OE．∴CE∥OD且CE＝OD．∴CE∥BO且CE＝BO．
∴四边形OBCE为平行四边形．∴OE＝BC＝2，
∴四边形OCED的面积＝CD•OE＝×2×2＝2．

13．（2022春•开福区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．
（1）求证：四边形DFCE是菱形；
（2）若∠A＝75°，AC＝8，求菱形DFCE的面积．

【解答】（1）证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵AC＝BC，∴DE＝DF，∴四边形DFCE是菱形；
（2）过E作EG⊥BC于G，∵AC＝BC，∠A＝75°，∴∠B＝∠A＝75°，∴∠C＝30°，∴EG＝CE＝AC＝2，∴菱形DFCE的面积＝2×4＝8．
14．（2021秋•临沂期中）如图，O为菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）连接OM，过点O作ON⊥CD于N，

∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，∴∠OMC＝∠ONC＝90°，∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACB＝∠ACD，∵OC＝OC，∴△OMC≌△ONC，∴ON＝OM，∴CD与⊙O相切；
（2）∵ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴∠ACB＝60°，AC＝1，设半径为r．则OC＝1﹣r，OM＝r，∵∠ACB＝60°，∠OMC＝90°，∴∠COM＝30°，MC＝，
∴，解得r＝＝2﹣3．
15．（2021秋•开福区校级月考）如图，O是矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠AOD＝120°，DE＝3，求菱形OCED的面积．

【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵O是矩形ABCD的对角线的交点，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OD＝OC，∴平行四边形OCED是菱形；
（2）解：由（1）得：OD＝OC，四边形OCED是菱形，∴OD＝DE＝3，∵∠AOD＝120°，
∴∠COD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝OD＝OC＝3，∴AC＝2OC＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝3，
∴S菱形OCED＝2S△OCD＝S△ADC＝AD×CD＝×3×3＝．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．
（1）证明：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．（计算结果保留根号）

【解答】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AB＝BD＝AD，∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：DF即为菱形ADCE的高，∵∠B＝60°，CD＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝∠BCD＝60°，CD＝BC＝6，∵CE∥AB，∴∠DCE＝∠BDC＝60°，又∵CD＝BC＝6，∴在Rt△CDF中，DF＝CDsin60°＝6×＝3．

17．（2021秋•雨花区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于O点，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）延长BC至点E，使DE∥AC，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．

【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD，
∴AB＝AD，又∵BA＝BC，∴AD∥BC，且AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AB＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DE∥AC，∴DE⊥BD，∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形，∴CE＝AD＝BC＝5，∴BE＝BC+CE＝10，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝6，∵BA＝BC＝5，
∴四边形ABED的周长＝AB+AD+BE+DE＝5+5+10+6＝26．
18．（2021秋•长沙期末）如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且使AE＝CF．
（1）求证：四边形EBFD是菱形；
（2）若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∵AE＝CF，
∴AO+AE＝CO+CF，即EO＝FO，∵BO＝DO，EO＝FO，∴四边形EBFD是菱形；
（2）解：∵四边形EBFD是菱形，BD＝10，EF＝24，∴菱形EBFD的面积＝BD•EF＝×10×24＝120．
19．（2022•长沙一模）如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，∠AFB＝90°，FG∥AB交BC于点G．
（1）证明：四边形EFGB是菱形；
（2）若AF＝5，BF＝12，BC＝19，求DF的长度．

【解答】（1）证明：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴EF∥BG，
∵FG∥AB，∴四边形BEFG是平行四边形，∵∠AFB＝90°，∴FE＝BE＝AB，∴四边形EFGB是菱形；
（2）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝×19＝，在△ABF中，∵∠AFB＝90°，∴EF＝AB＝×13＝，∴DF＝DE﹣EF＝﹣＝3．
20.（雅礼）如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点.
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求菱形的面积.

【解答】解：（1）四边形AEBO是矩形，理由如下：∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形．又∵菱形ABCD对角线交于点O∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．
∴四边形AEBO是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，∵四边形AEBO是矩形，
∴AB＝OE＝5，∴OB＝＝＝3，∴BD＝2OB＝6，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×6＝24．
21．（2022春•长沙期中）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）设AE与BF相交于点O，四边形ABEF的周长为24，BF＝6，求四边形ABEF的面积．

【解答】（1）证明：由作法得AF＝AB，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠FAE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE＝∠BEA，∴∠BEA＝∠BAE，∴BA＝BE，∴AF＝BE，∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵菱形ABEF的周长为24，∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝3，BE＝6，
在Rt△OBE中，OE＝＝3，∴AE＝2OE＝6，
∴四边形ABEF的面积＝•BF•AE＝×6×6＝18．
22.（广益）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．


【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，OB＝OD，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO．∵MN是BD的垂直平分线∴OD＝OB，
在△DMO和△BNO中，，∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM＝ON．∵OB＝OD，∴四边形BMDN是平行四边形．∵MN⊥BD，
∴四边形BMDN是菱形．
（2）解：设MD＝MB＝x，则AM＝8﹣x．
在Rt△AMB中，由勾股定理得：x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5．即MD＝5.
23.（师大）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．

【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，∴BD＝2OD＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，
∵OB＝OD，∴OE＝BD＝4．
24．（2022•长沙一模）如图，已知E、F是矩形ABCD对边AB、CD的中点，连接EF，点G是边AD上一动点，连接BG交EF于点H，连接AH，过点A作AP⊥BG交EF于点P．
（1）求证：AH＝HG；
（2）连接BP、PG，若BP⊥PG，求证：四边形AHPG为菱形；
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求△BPH的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AB＝CD，AB∥CD，
∵E、F是矩形ABCD对边AB、CD的中点，∴AE＝AB＝CD＝DF，∴四边形AEFD是矩形，
∴EF∥AD，又E是AB中点，∴H是BG的中点，∵∠BAD＝90°，∴AH＝BG＝HG；
（2）证明：设BG交AP于M，如图：

由（1）知AH＝HG，H为BG中点，∵BP⊥PG，∴PH＝BG＝HG，∴PH＝AH，
∴∠HAP＝∠HPA，∵∠GAP＝∠HPA，∴∠GAP＝∠HAP，
在△AMH和△AMG中，，∴△AMH≌△AMG（ASA），∴AH＝AG，∴PH＝AG，
∵PH∥AG，AH＝PH，∴四边形AHPG为菱形；
（3）解：设菱形AHPG边长为x，则AH＝PH＝PG＝AG＝x，∵EH是△ABG的中位线，
∴EH＝x，在Rt△AEH中，（x）2+（）2＝x2，解得x＝4，∴PH＝4，
∴△BPH的面积为×4×2＝4．
25．（2012•天水）如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP；
（3）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．

【解答】（1）证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，
，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE是菱形．
（2）证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP，∴△AOE∽△AEP，∴＝，
即AE2＝AO•AP，∵AO＝AC，∴AE2＝AC•AP，∴2AE2＝AC•AP．
（3）解：设AB＝xcm，BF＝ycm．∵由（1）四边形AFCE是菱形，∴AF＝AE＝10cm．
∵∠B＝90°，∴x2+y2＝100．∴（x+y）2﹣2xy＝100①．∵△ABF的面积为24cm2，
∴xy＝24．即xy＝48 ②．由①、②得（x+y）2＝196．∴x+y＝14或x+y＝﹣14（不合题意，舍去）．
∴△ABF的周长为：x+y+AF＝14+10＝24（cm）．

正方形
26．（2021秋•雨花区校级月考）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝8，DE＝2，求AG的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，∵DE＝CF，∴AE＝DF，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；
（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA＝∠FAD，∴∠GAE+∠AEG＝90°，∴∠AGE＝90°，
∵AB＝8，DE＝2，∴AE＝6，∴＝10，在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，
∴AG＝4.8．
27.（长沙中考）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG•BG=4，求BE的长．

【解答】（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF，∴∠FDC＝∠EBC，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠EBC，∴∠FDC＝∠EBD，∵∠DGE＝∠DGE，∴△BDG∽△DEG．

（2）解：∵△BCE≌△DCF，∴∠F＝∠BEC，∠EBC＝∠FDC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠EBC＝22.5°＝∠FDC，∴∠BEC＝67.5°＝∠DEG，∴∠DGE＝180°﹣22.5°﹣67.5°＝90°，即BG⊥DF，∵∠BDF＝45°+22.5°＝67.5°，∠F＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠BDF＝∠F，∴BD＝BF，∴DF＝2DG，∵△BDG∽△DEG，BG×EG＝4，∴＝，∴BG×EG＝DG×DG＝4，∴DG2＝4，∴DG＝2，
∴BE＝DF＝2DG＝4．
28.（雅礼）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE=∠CDF.
(1)求证：AE=CF；
(2)连接DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG=OD，连接EG、FG，判断四边形DEGF是怎样的四边形，并说明理由。

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，
在△DAE和△DCF中，，∴△DAE≌△DCF，∴AE＝CF；
（2）四边形DEGF是菱形，∵△DAE≌△DCF，∴DE＝DF，∵AE＝CF，∴BE＝BF，
∴DG是EF的垂直平分线，∴GE＝GF，∵OG＝OD，DG⊥EF，∴ED＝EG，∴DE＝EG＝GF＝FD，
∴四边形DEGF是菱形．
29.(广益)分别为正方形的边的中点，分别与相交于点
（1） 求证：；
（2） 若=2，求的值；
（3） 求的值。

【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，∴AB＝DA，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵E、F为边AB、BC的中点，∴BF＝AE，在△ADE与△BAF中，，∴△ADE≌△BAF（SAS）；
（2）解：∵AB＝BC＝AD＝2，∴BF＝AE＝＝1，∴，∵△ADE≌△BAF，
∴∠ADE＝∠BAF，∴∠ADE+∠DAM＝∠BAF+∠DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，
∴，1×2＝AM，∴；
（3）解：设AE＝x，则AD＝2x，则DE＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴△BNF∽△DNA，
得＝，∴，∵x，∴x，由（1）同理得：x，
∴MN＝x，∵AD＝2x，AM＝x，由勾股定理得：DM＝＝x，
∴tan∠MDN＝＝＝．
30．（2022•开福区校级一模）如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），将线段AM绕点A顺时针旋转90°得到AN，连接DN、MN、AC，MN与边AD交于点E，与AC相交于点O．
（1）求证：△ABM≌△ADN；
（2）当AM平分∠BAC时，求证：AM2＝AC•AE；
（3）当CM＝3BM时，求的值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠CAD＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠B＝90°，∴∠BAM+∠MAD＝90°，∵将线段AM绕点A顺时针旋转90°得到AN，
∴∠MAN＝90°，AM＝AN，∴∠MAD+∠DAN＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，
∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，∴△ABM≌△ADN（ASA）；
（2）证明：∵△ABM≌△ADN，∵AM＝AN，∵∠MAN＝90°，∴∠MNA＝45°，∴∠BCA＝∠MNA，
∵AM平分∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝22.5°，∵∠BAM＝∠DAN＝22.5°，∴∠CAM＝∠NAD，
∴△AMC∽△AEN，∴，∴AM•AN＝AC•AE，∴AM2＝AC•AE；
（3）解：∵CM＝3BM，∴设BM＝a，则CM＝3a，∴BC＝AB＝4a，∴AC＝4a，
∴AM＝＝a，∵将线段AM绕点A顺时针旋转90°得到AN，∴∠MAN＝90°，AM＝AN＝a，∴DN＝＝a，∴CN＝CD+DN＝5a，∵tan∠CNM＝，∴，
∴∴DE＝a，∴AE＝a，∵BC∥AD，∴△CMO∽△AEO，∴＝＝＝．