专题07 解直角三角形及其应用模块中档大题过关20题-【基础过关】2023年中考数学总复习高频考点必刷题

专题07 解直角三角形的应用模块中档大题过关20题（解析版）

专题简介：本份资料包含解直角三角形的应用这一模块在初三各次期中、期末考试中常考的主流中档大题，具体包含的题型有解直角三角形的应用之用算术方法解直角三角形、解直角三角形的应用之用方程方法解直角三角形、解直角三角形的应用之含非特殊角的直角三角形这三类题型，适合培训机构辅导老师给学生做专题复习时使用或者学生考前刷题使用。

题型一：解直角三角形的应用之用算术方法解直角三角形

1．（2022·黑龙江大庆）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度（结果精确到，参考数据：）

【详解】解：如图，∵，∴，

在中，∵，∴米，在中，∵，

∴（米），∴（米） ，

答：这条江的宽度AB约为732米．

2．（2022·江苏宿迁）如图，某学习小组在教学楼的顶部观测信号塔底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．

【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，

∴四边形ABDE是矩形，∴DE＝AB＝20m， 在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，

∵tan∠DAE＝，∴m，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，

∴△ACE是等腰直角三角形，∴ m，∴CD＝CE＋DE＝（20＋20）m，

∴信号塔的高度为（20＋20）m．

3．（2022·四川凉山）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．

【详解】解：如图，过点作于点，

由题意得：米，，，，

在中，米，米，

在中，米，米，

则（米），答：压折前该输电铁塔的高度为米．

4．（2022·重庆）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．

(1)求步道的长度（精确到个位）；

(2)点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）

【详解】（1）解：过作的垂线，垂足为，

∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，∴四边形ACHE是矩形，∴米，根据题意得：∠D=45°，

∴△DEH为等腰直角三角形，∴DH=EH=200米，∴（米）；

（2）解： 根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°，在中，∴米，

∴经过点到达点，总路程为AB+BD=500米，∴（米），

∴（米），

∴经过点到达点，总路程为，∴经过点到达点较近．

5．（2021·广西钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）

（1）求点B距水平面AE的高度BH；

（2）求广告牌CD的高度．

（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732）

【详解】解：（1）过B作BG⊥DE于G，在Rt△ABF中，i=tan∠BAH=，

∴∠BAH=30°∴BH=AB=5（米）.答：点B距水平面AE的高度BH为5米.

（2）由（1）得：BH=5，AH=5，∴BG=AH+AE=5+15.在Rt△BGC中，∠CBG=45°，

∴CG=BG=5+15.在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15.

∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7（米）.答：宣传牌CD高约2.7米.

6．（2020·广西）如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．

（1）渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号)？

（2）渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？

【详解】解：（1）过点作的垂线交于点，

∵垂线段最短，上的点距离点最近，即为所求，由题意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，

∴，∴渔船航行时，距离小岛最近．

（2）在中，，∠DBC=60°，

∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，∴，.

答：从处沿南偏东出发，最短行程.

7.（长郡）如图,已知斜坡AB长为80米,坡角(即∠BAC)为30∘,BC⊥AC,现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.

(1)若修建的斜坡BE的坡角为45∘,求平台DE的长;(结果保留根号)

(2)一座建筑物GH距离A处36米远(即AG为36米),小明在D处测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30∘.点B. C. A. G、H在同一个平面内,点C. A. G在同一条直线上,且HG⊥CG,求建筑物GH的高度.(结果保留根号)

【解答】解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角为45°，∴∠BEF＝45°，∵∠DAC＝∠BDF＝30°，AD＝BD＝40，∴BF＝EF＝BD＝20，DF＝，∴DE＝DF﹣EF＝20﹣20，∴平台DE的长为（20﹣20）米；

（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．在Rt△DPA中，DP＝AD＝×40＝20，PA＝AD•cos30°＝20，

在矩形DPGM中，MG＝DP＝20，DM＝PG＝PA+AG＝20+36．在Rt△DMH中，HM＝DM•tan30°＝（20+36）×＝20+12，则GH＝HM+MG＝20+12+20＝40+12．

答：建筑物GH高为（40+12）米．

题型二：解直角三角形的应用之用方程方法解直角三角形

8．（2022·湖南怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明． （参考数据：≈1.73，≈1.41）

【详解】不穿过，理由如下：

过点A作AD⊥BC，交BC于点D，根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°.

设CD=x，则BD=2.4-x，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，∴∠CAD=45°，∴AD=CD=x．

在Rt△ABD中，，即，

解得x=0.88，可知AD=0.88千米=880米，

因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园．

9．（2022·辽宁朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7）

【详解】解：延长DF交AB于点G，

由题意得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，设AG＝xm，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，

∴FGx（m），∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，

∴tan30°，∴x＝44，经检验：x＝44是原方程的根，

∴AB＝AG+BG≈12（m），∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．

10．（2022·重庆）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．

(1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）；

(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）

【详解】（1）解：过点作垂线，交延长线于点，如图所示，

由题意可得：，，米，则，

设，则，，，在中，，

∴，解得，在中，，

∴（米），∴湖岸与码头的距离为1559米；

（2）解：设快艇将游客送上救援船时间为分钟，由题意可得：，，

∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．

11．（2021·四川内江）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）

【详解】解：作于点，设米，

在中，，则（米，∵，且AE=8

∴ ∴，在直角中，米，

在直角中，，米．

，即．解得：，则米．

答：的高度是米．

12．（2022·湖南邵阳）如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：，）

【详解】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示：

根据题意可知∠BAC=90°−60°=30°，∠DBC=90°-45°=45°，AB=30×1=30（km），

在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=45°，tan∠DBC=，即=1∴CD=BD

设BD=CD=xkm，在Rt△ACD中，∠CDA=90°，∠DAC=30°，∴tan∠DAC=，即

解得x=15+15≈40.98，∵40.98km>40km，∴这艘船继续向东航行安全．

13．（2019·四川广安）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．

（1）计算古树BH的高；

（2）计算教学楼CG的高．（参考数据：≈1.4，≈1.7）

【详解】（1）由题意：四边形ABED是矩形，可得DE=AB=7米．在Rt△DEH中，∵∠EDH=45°，

∴HE=DE=7米，∴BH=EH+BE=8.5米.

（2）作HJ⊥CG于G．则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ=GJ=BC=x．

在中，， ，，

米．

14．（广益）如图，某中学依山而建，校门处有一坡度的斜坡，长度为13米，在坡顶处看教学楼的楼顶的仰角，离点4米远的处有一个花台，在处仰望的仰角是，的延长线交校门处的水平面于点。

（1）求坡顶B的高度；

（2）求楼顶C的高度CD。

【解答】解：（1）过点B作BM⊥AD，过点E作EN⊥AD，∵i＝5：12，∴，

∵AB＝13米，设BM＝5a（米），AM＝12a（米），∴（5a）2+（12a）2＝132，∴a＝1，∴BM＝DF＝5米，

则坡顶B的高度是5米；

（2）设EF为x米，则BF＝（4+x）米，∵∠CBF＝45°，∴BF＝CF＝（4+x）米，∵∠CEF＝60°，

∴tan60°＝，解得x＝2+2，∴CF＝（6+2）米，∴CD＝CF+FD＝（11+2）米，

答：DC的长度为（11+2）米．

15.（师大）如图,在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站,A在B的正东方向,AB=0(单位：km).有一艘小船在点P处,从A测得小船在北偏西60∘的方向,从B测得小船在北偏东45∘的方向。

(1)求点P到海岸线l的距离；

(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后,到点C处,此时,从B测得小船在北偏西15∘的方向。求点C与点B之间的距离.(上述两小题的结果都保留根号)

【解答】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD＝xkm．在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，∴BD＝PD＝xkm．在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，

∴AD＝PD＝xkm．∵BD+AD＝AB，∴x+x＝2，x＝﹣1，∴点P到海岸线l的距离为（﹣1）km；

（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC＝105°，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，

∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝1km．在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°．

在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，∴BC＝BF＝km，∴点C与点B之间的距离为km．

题型三：解直角三角形的应用之含非特殊角的直角三角形

16．（2022·浙江绍兴）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东方向上，同时位于A处的北偏东方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求的长（结果取整数）．参考数据：，取1.73．

【详解】如图，过点B作BH⊥CA，垂足为H．

根据题意，．∵在中，，，∴．

∵在中，，∴．又，

∴．可得．

∴．

答：的长约为168海里．

17．（2022·贵州毕节）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角 （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（结果精确到1米；参考数据：）

【详解】解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°，

∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米，

∵∠MEF=45°，∠EFM=90°，∴MF=EF=x,∴FB=FE+EB=x+3.5，

∴tan∠MBF=，∴解得 米，经检验米符合题意，

∴MN=MF+FN=6.5+1.6=8.1≈8米．

18．（2022·新疆乌鲁木齐）如图，海面上一艘船由西向东航行，在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为，再向东继续航行到达处，测得该灯塔的最高点的仰角为．根据测得的数据，计算这座灯塔的高度（结果取整数）．参考数据：，，．

【详解】解：如图，根据题意，，，，．

∵在中，，∴．∵在中，，

∴．又，∴．∴．

答：这座灯塔的高度约为45m．

19．（2022·天津）如图，某座山的项部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：．

【详解】解：如图，根据题意，．

在中，，∴．在中，，

∴．∵，∴．

∴．

答：这座山的高度约为．

20．（2022·新疆）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，已知两楼之间的水平距离为，求这栋楼的高度．（参考数据：）

【详解】解：过A作于E，

∴

由依题意得：，

和中，

∵，

∴，

∴

∴这栋楼的高度为：米．