2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积问题
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一、选择题
- 如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，与 轴分别交于 ， 两点，将该抛物线平移后分别得到抛物线 ，，其中 的顶点为点 ， 的顶点为点 ，则由这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为
A． B． C． D．无法计算
- 已知二次函数 的图象交 轴于 ， 两点．若其图象上有且只有 ，， 三点满足 ，， 的面积都等于 ，则 的值为
A． B． C． D．
二、填空题
- 如图所示，用长 的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框（包括窗棱），若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为 ．（结果保留 ）
- 已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线上的一个不与点 重合的一个动点，若 ，则点 的坐标是 ．
三、解答题
- 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 ，， 三点，点 是直线 下方抛物线上一动点．
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 是否存在点 ，使 是以 为底边的等腰三角形？若存在，求出点 坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 动点 运动到什么位置时， 面积最大，求出此时 点坐标和 的最大面积．
- 如图，抛物线 经过点 ， 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线上一个动点，设点 的横坐标为 ．连接 ，，，．
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 的面积等于 的面积的 时，求 的值；
(3) 在（）的条件下，若点 是 轴上的一个动点，点 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 ，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
- 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 ，，，其对称轴与 轴相交于点 ．
(1) 求抛物线的解析式和对称轴．
(2) 在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 连接 ，在直线 的下方的抛物线上，是否存在一点 ，使 的面积最大？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
- 已知抛物线 与 轴交于 ， 两点， 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交 轴于点 ，连接 ，且 ，如图所示．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设 是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点 作 轴的平行线交线段 于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，连接 ，，求 的面积的最大值；
②连接 ，求 的最小值．
- 如图，已知二次函数的图象过点 ，，与 轴交于另一点 ，且对称轴是直线 ．
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 若 是 上的一点，作 交 于 ，当 面积最大时，求 的坐标；
(3) 是 轴上的点，过 作 轴与抛物线交于 ．过 作 轴于 ，当以 ，， 为顶点的三角形与以 ，， 为顶点的三角形相似时，求 点的坐标．
- 如图所示，二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，另一个交点为 ，且与 轴交于点 ．
(1) 求 的值；求点 的坐标；
(2) 在抛物线的对称轴上有一点 ，使 的值最小，求点 的坐标；
(3) 该二次函数图象上是否有一点 使 ，求点 的坐标．
- 已知抛物线 的对称轴为直线 ，其图象与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ．
(1) 求 ， 的值；
(2) 直线 与 轴相交于点 ．
①如图 ，若 轴，且与线段 及抛物线分别相交于点 ，，点 关于直线 的对称点为点 ，求四边形 面积的最大值；
②如图 ，若直线 与线段 相交于点 ，当 时，求直线 的表达式．
- 如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 是等腰直角三角形，，．
(1) 求点 的坐标；
(2) 求经过 ，， 三点的抛物线的函数表达式；
(3) 在（）所求的拋物线上，是否存在一点 ，使四边形 的面积最大？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
- 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边长为 ，顶点 ， 分别在 轴、 轴的正半轴上，抛物线 经过 ， 两点，点 为抛物线的顶点，连接 ，，．
(1) 求此抛物线的解析式．
(2) 写出其图象是由二次函数 的图象如何平移得到的？
(3) 求四边形 的面积．
- 已知抛物线 经过 ， 两点，与 轴交于点 ，直线 与抛物线交于 ， 两点．
(1) 写出点 的坐标并求出此抛物线的解析式．
(2) 当原点 为线段 的中点时，求 的值及 ， 两点的坐标．
(3) 是否存在实数 使得 的面积为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
- 如图，抛物线 （，， 为常数，）经过点 ，，．
(1) 求抛物线的解析式．
(2) 如图，在直线 下方的抛物线上是否存在点 使四边形 的面积最大？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 若点 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出 为等腰三角形的点 一共有几个？并求出其中某一个点 的坐标．
- 已知二次函数 ．
(1) 求证：不论 为何实数，此函数图象与 轴总有两个交点．
(2) 设 ，当此函数图象与 轴的两个交点的距离为 时，求出此二次函数的表达式．
(3) 在（）的条件下，若此二次函数图象与 轴交于 ， 两点，在函数图象上是否存在点 ，使得 的面积为 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
- 如图，已知抛物线 经过两点 ，， 是抛物线与 轴的交点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 点 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 的面积为 ，求 关于 的函数表达式（指出自变量 的取值范围）和 的最大值；
(3) 点 在抛物线上运动，点 在 轴上运动，是否存在点 、点 使得 ，且 与 相似？如果存在，请求出点 和点 的坐标．
- 如图，二次函数 的图象交 轴于 ， 两点，并经过 点，已知 点坐标是 ， 点的坐标是 ．
(1) 求二次函数的解析式．
(2) 求函数图象的顶点坐标及 点的坐标．
(3) 该二次函数的对称轴交 轴于 点．连接 ，并延长 交抛物线于 点，连接 ，，求 的面积．
(4) 抛物线上有一个动点 ，与 ， 两点构成 ，是否存在 ？若存在，请求出 点的坐标；若不存在．请说明理由．
答案
一、选择题
1. 【答案】B
2. 【答案】C
二、填空题
3. 【答案】
【解析】设圆的半径为 米，框架围成的面积为 ，
则矩形的一条边为 米，
另一条边为 米，
也就是最大透光面积为 ．
故答案为：．
4. 【答案】 ，，
【解析】在 中，当 时，，
点 的坐标为：，
设点 的纵坐标为 ，
若 ，则 ，
解得 ．
当 时，，解得 （舍去）或 ，此时点 的坐标为 ；
当 时，，解得 ，此时点 的坐标为 或 ；
综上，点 的坐标为 或 或 ．
三、解答题
5. 【答案】
(1) 设抛物线解析式为 ，
把 ，，
三点坐标代入可得：
解得：
抛物线解析式为
(2) 作 的垂直平分线 ，交 于点 ，交 下方抛物线于点 ，如图 ，
,此时 点即为满足条件的点，
,
,
点纵坐标为 ,
代入抛物线解析式可得：，
解得：（小于 ，舍去）或 ．
存在满足条件的 点，其坐标为 ．
(3) 点 在抛物线上，
可设 ，
过 作 轴于点 ，交直线 于点 ，如图 ，
，，
直线 解析式为 ，
，
，
，
当 时， 最大值为 ，此时 ，
当 点坐标为 时， 的最大面积为 ．
6. 【答案】
(1) 抛物线 经过点 ，，
设抛物线的函数表达式为 ，，，
所以抛物线的函数表达式为 ．
(2) 作直线 轴于点 ，交 于点 ，作 ，垂足为 ，
因为点 的坐标为 ，
所以 ，
由 得 ，
所以点 的坐标为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
直线 的函数表达式为 ，
所以点 的坐标为 ，
所以 ，
因为点 的坐标为 ，
所以 ，
所以 ，解得 （舍），，
所以 的值为 ．
(3) ，，，．
【解析】
(3) 如下图所示，以 为边或者以 为对角线进行平行四边形的构图．
以 为边进行构图，有 种情况，采用构造全等进行求解．
因为 点坐标为 ，
所以 ， 的纵坐标为 ，
，解得 ，（舍），
可得 ，
所以 ，
所以 ， 的纵坐标为 时，，
解得：，，
可得 ，
所以 ，，
所以 ，
以 为对角线进行构图，有 种情况，采用中点坐标公式进行求解．
所以 ．
7. 【答案】
(1) 由题知抛物线在 轴上的交点为 和 ．
设抛物线表达式为 ，
抛物线过 ，
，
解得 ．
抛物线表达式为 ，
即 ，
对称轴为直线 ．
(2) 存在，连接 交对称轴于点 ，连接 ，．
， 关于对称轴对称，
．
此时 的周长最小．
设直线 的表达式为 ，将 ， 代入可得
解得
即 ．
当 时，，
点 的坐标为 ．
(3) 存在．
设 ．
过点 作 分别交 轴和 于点 ，，过点 作 的延长线于点 ，连接 ．
根据（）中 的表达式 ，得 ．
．
，，，
当 时， 的面积最大，最大值为 ．
此时 ，
此时点 的坐标为 ．
8. 【答案】
(1) 根据题意，可设抛物线的解析式为 ．
是抛物线的对称轴，
．
又 ，
，即 ．
代入抛物线的解析式，得 ，解得 ．
二次函数的解析式为 或 ．
(2) ①设直线 的解析式为 ，
解得
即直线 的解析式为 ，
设 坐标为 ，则 点坐标为 ，
，
的面积 ．
．
当 时， 的面积最大，且最大值为 ；
②如图，连接 ．
根据图形的对称性可知 ，．
，
过点 作 于 ，
则在 中，，
，
再过点 作 于点 ，则 ，
线段 的长就是 的最小值，
，
又 ，
，即 ，
的最小值为 ．
9. 【答案】
(1) 抛物线过原点，对称轴是直线 ，
点坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，把 代入得 ，解得 ，
抛物线解析式为 ，即 ．
(2) 设 ，易得直线 的解析式为 ，
设直线 的解析为 ，把 ， 代入得 解得
直线 的解析式为 ，
，
设直线 解析式为 ，把 代入得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，解方程组 得 则 ，
，当 时， 有最大值 ，此时 点坐标为 ．
(3) 设 ，
，
当 时，，即 ，
，即 ，解方程 得 （舍去），，此时 点坐标为 ；解方程 得 （舍去），，此时 点坐标为 ；
当 时，，即 ，
，即 ，解方程 得 （舍去），（舍去），解方程 得 （舍去），，此时 点坐标为 ；
综上所述， 点坐标为 或 或 ．
10. 【答案】
(1) 把点 代入 得
，
；
二次函数解析式为 ，
令 ，解得 ，，
．
(2) 据题意，连接 ，交抛物线对称轴与一点 ，点 即为所求点．
，，
直线 的解析式为 ，
抛物线的对称轴为 ，
所以直线 与抛物线的对称轴的交点坐标为 ，
即 ．
(3) 当 时，点 的纵坐标为 ，
当 时，（舍）或 ，
；
当 时， 或 ，
，．
，，．
11. 【答案】
(1) 由题意，得
所以 ，．
(2) ①如图 ，连接 ．
因为点 关于直线 的对称点为点 ，
所以 ．
由（）可得抛物线的表达式为 ，
令 ，解得 ，，
所以 ，．
设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入，得
解得
所以直线 的表达式为 ．
设 ，，
所以 ，
四边形 的面积为
所以当 时，四边形 的面积最大，最大值为 ．
②当 时，
，，
所以 ．
因为 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
如图 ，过点 作 交 于点 ，
所以 ．
设 ，则 ，，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
设直线 的表达式为 ，则 ，
所以 ，
所以直线 的表达式为 ．
12. 【答案】
(1) 如图 ，过 作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，
为等腰三角形，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，，
．
(2) 由抛物线过 点，可设抛物线的解析式为 ，
把 ， 两点坐标代入可得 解得
经过 ，， 三点的抛物线的解析式为 ．
(3) 由题意可知点 在线段 的下方，过 作 轴交 于点 ，如图 ，
设直线 的解析式为 ，
，
，
直线 的解析式为 ，
设点 坐标为 ，，则 ，
，
由题意可得 ，
，
，
当 时，四边形 的面积最大，此时点 坐标为 ．
综上，存在使四边形 面积最大的点 ，其坐标为 ．
13. 【答案】
(1) 由已知得 ，，
把 ， 两点的坐标代入 ，
得 解得
该抛物线的解析式为 ．
(2) 抛物线的解析式为 ，
该图象是由二次函数 的图象向上平移 个单位长度，向右平移 个单位长度得到的．（合理即可）
(3) 由（）可知，抛物线顶点 的坐标为 ，
14. 【答案】
(1) 令抛物线 中 ，则 ，
点 的坐标为 ．
抛物线 经过 ， 两点，
有 解得：
此抛物线的解析式为 ．
(2) 将 代入 中得：，
整理得：，
，．
原点 为线段 的中点，
，
解得：．
当 时，，
解得：，．
，．
故当原点 为线段 的中点时， 的值为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(3) 假设存在．
由（）知：，，
，即 ．
非负，无解．
故假设不成立．
不存在实数 使得 的面积为 ．
15. 【答案】
(1) 设 ，
把 代入得 ，
，
．
(2) 存在，
如图 ，连接 ，，分别过 ， 向 轴作垂线 和 ，垂足分别为 ，，
设 ，四边形 的面积为 ，
则 ，，，，，
当 时， 有最大值为 ，这时 ，
．
(3) 这样的 点一共有 个．连接 ，，
；
因为 在对称轴上，
所以设 ，
是等腰三角形，且 ，
由勾股定理得：，
，
．
16. 【答案】
(1) 因为 ，所以不论 为何实数，此函数图象与 轴总有两个交点．
(2) 设 ， 是 的两个根，
则 ，．
因为此函数图象与 轴的两个交点的距离是 ，
所以 ．
即 ，
变形为 ，
所以 ．
整理，得 ，
解得 或 ．
又 ，所以 ．
所以此二次函数的表达式为 ．
(3) 设点 的坐标为 ，
因为函数图象与 轴的两个交点间的距离等于 ，
所以 ．
所以 ．
所以 ，
即 ，则 ．
当 时，，即 ，
解得 ．
当 时，，即 ，
解得 ．
综上所述，存在这样的点 ，点 的坐标是 ，， 或 ．
17. 【答案】
(1) 将 ， 代入 ，
得： 解得：
抛物线的解析式为 ．
(2) 过点 作 轴，交 于点 ，如图 所示．
当 时，，
点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，
得： 解得：
直线 的解析式为 ．
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
，
，
当 时， 面积取最大值，最大值为 ．
点 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
．
(3) 存在点 、点 使得 ，且 与 相似．
如图 ，，当点 位于点 上方，过点 作 轴于点 ，
，，
，
若 与 相似，则 与 相似，
设 ，，
，，
当 时，，
，解得 ，
，此时 ，
，
当 时，，
，解得 ，
，此时 ．
如图 ，当点 位于点 的下方，过点 作 轴于点 ，
设 ，，
，，
同理可得： 或 ， 与 相似，
解得 或 ，
或 ，此时 点坐标为 或 ．
综合以上得，， 或 ， 或 ， 或 ，，使得 ，且 与 相似．
18. 【答案】
(1) 二次函数 的图象过 ，，
所以
解得
二次函数解析式为 ．
(2) 由 ，得 ，
函数图象的顶点坐标为 ．
点 ， 是 与 轴的两个交点，
点 ，对称轴为 ，
点 的坐标为 ．
(3) 二次函数的对称轴交 轴于 点．
点的坐标为 ．
，
设 所在的直线解析式为 ，
解得
所在的直线解析式为 ．
点是 与 的交点，
，
解得 ，，
当 时，，
，
(4) 存在．
设点 到 轴的距离为 ．
，．，
，解得 ．
当 在 轴上方时，，
解得 ，．
当 在 轴下方时，，
解得 ，．
，，，．
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